En 1792, Gauss très jeune remarque que les premiers sont répartis selon une loi logarithmique  
Gauss n'a pas réussi à prouver ce théorème  
La démonstration fut un des grands défis du XIXe siècle  
 
 
La première preuve de ce théorème date de 1896 par Jacques Hadamard (France) et Charles de la Vallée Poussin (Belgique)  
Elle utilise l'analyse complexe.  
Elle repose sur les travaux de Bernhard Riemann: " Quantité de premiers inférieurs à une valeur" - Berlin 1859  
 
 
Paul Erdös publia en 1949 une preuve évitant le recours aux nombres complexes, preuve dite " élémentaire ".  
 
 
D'autres s'attaquèrent à affiner cette estimation : Tchebychev et Riemann.  
Ce dernier relie cette question à l'hypothèse de Riemann : résultat relatif aux zéros dans le plan complexe de la fonction zêta de Riemann.

I Contradictions.
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1. Est-ce que 0,9999... = 1 ?
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On  note  0.9999... (avec les  points de suspension)  pour  désigner  un
"nombre" qui se termine par une  infinité  de  9.
 
Et donc, est-ce que 0.999... (avec une infinité de  9)  est  égal  à 1 ?
OUI ! Voici  5  arguments pour vous en convaincre.  Les 3 premiers n'ont
absolument  aucune rigueur  et ne peuvent pas être  considérés comme des
démonstrations  mathématiques,  mais  ils  sont  plus  simples  et  plus
convaincants  pour les gens  qui n'ont pas forcément  les  connaissances
mathématiques nécessaires pour accepter les 2 autres.
 
 a) On part de :
             1/3 = 0,33333...
    On multiplie par 3 des deux côtés :
             3 * 1/3 = 3 * 0,33333...
    Ce qui donne :
             1 = 0,99999...
 
 b) On pose x = 0,99999...
    On multiplie par 10 des deux côtés : 10 * x = 9,99999...
    On soustrait les deux expressions côté par côté :
       10 * x - x = 9,99999... - 0,99999... = 9,00000...
   Donc 9 * x = 9, c'est-à-dire x = 1, d'où 0,99999... = 1
 
 
 c) Un argument très court se déduit du fait suivant :
    "si 2 nombres réels  sont différents, alors il en existe au moins un
     3ème  entre  les  deux,  différent  des  deux  autres".
    (ce  troisième  nombre  peut  être  la  moyenne  entre   les   deux)
    Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,99999... et 1 ;  ils
    sont donc égaux.
 
Pour  les  arguments  plus  rigoureux,  il  faut  commencer  par définir
proprement ce qu'est 0,99999...
 
En écrivant 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... , on définit 0,9999...
comme une série géométrique  (c'est-à-dire une somme dont  chaque  terme
est  égal  au  précédent  multiplié  par  une  constante,   ici   1/10 -
on dit que c'est une série géométrique de  raison 1/10),  et  on  écrit:
(inf. signifie "infini" )
                           n
                          ___  
                          \     9
     0,99999... := lim     )   ---
                  n->inf. /__    i
                          i=1  10
 
 d) On peut facilement montrer que la somme des n premiers termes d'une
    série géométrique de raison q et de premier terme a vaut :
                        n
                   1 - q
          S = a * -------
           n       1 - q
 
    Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l'infini si  et
    seulement si q est strictement plus petit que 1, et cette limite est
    alors :
 
                a
          S = -----
              1 - q
 
    Ici, a=0,9, q=1/10, ce qui est plus petit que 1, donc
 
                 0,9           10
          S = -------- = 0,9 * --  = 1
              1 - 1/10          9
 
    Donc 0,99999...=1
 
 e) L'argument le plus direct est de vérifier directement, à  partir  de
    la définition de la limite, que 1 est la limite pour n tendant  vers
    l'infini de la série
 
            n
           ___    9
           \     ---
      S =  /__     i
       n   i=1   10
 
 
    Cela signifie qu'à condition de prendre suffisamment de  termes dans
    la série, on peut s'approcher  d'aussi  près  de  1  que  l'on  veut
    (c'est-à-dire rendre la différence | 1 - S_n | aussi petite que l'on
    veut).
 
    Mathématiquement, cette définition de limite s'écrit :
    (eps signifiant "epsilon" )
 
       Quel que soit eps, il existe n_0 tel que pour tout n>n_0,
       on a |1 - S_n | < eps
 
    En calculant
 
     |       n        |
     |      ___    9  |     1
     |      \     --- | = -----
     | 1 -  /__     i |     n+1
     |      i=1   10  |   10
 
    on voit facilement que si n  (nombre  de  termes)  est  suffisamment
    grand, alors notre somme peut s'approcher d'aussi près que l'on veut
    de  1, puisque leur différence, 1/(10^(n+1)) devient de plus en plus
    petite quand n augmente.
 
    Pour être plus précis, si on se donne eps,  la  différence  maximale
    que l'on s'autorise, alors il suffit de  prendre:
    (log représentant le logarithme en base 10)
 
       n_0 > - log(eps) - 1
 
    Si n > n_0, on aura alors :
 
     |       n        |
     |      ___    9  |     1
     |      \     --- | = -----   < eps
     | 1 -  /__     i |     n+1
     |      i=1   10  |   10
 
    la condition est respectée, donc la limite vaut 1, et 0,99999...=1
 
 
 
2. J'ai réussi à montrer que 2=1.
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Deux petites démonstrations, fausses, bien  entendu,  mais  qui  peuvent
induire   en   erreur.   N'oublions   pas   le   vieil    adage   latin:
 
                      " ex falsus, quod libet "
      (de quelque chose de faux, on peut trouver n'importe quoi)
 
 a) Par la dérivée.
    Soit x appartenant à R*
    On a la relation: x^2 = x + x + x +...+ x , x fois.
    On dérive: 2 * x= 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 , x fois.
    C'est-à-dire : 2*x = x. Et comme x<>0, on obtient 2=1.
 
    L'erreur vient de la définition de la dérivée.
    "x^2 = x + x + x + ... + x, x fois" n'a de sens que si x est entier.
    Or, pour dériver en un  point,  il  faut  considérer  un   voisinage
    de ce point   (grosso-modo un intervalle ouvert contenant ce  point)
    qui, forcément, sera loin de ne contenir que des entiers.
 
    Par exemple, si on essaye d'appliquer cela en x = 3 :
    -- Il est exact que 3^2 = 3 + 3 + 3.
    -- Par contre, pour x proche de trois mais x différent de 3,
       x^2 est différent de 3 * x
    -- la dérivée en x d'une fonction ne dépend pas de la  valeur  de la
       fonction en x mais de son comportement local et  le  comportement
       de x^2 en 3 est très différent de celui de 3 * x.
 
    De plus, si tu dérives x+..+x (x fois), tu ne  différencies  pas  le
    'x fois', que tu considères donc comme une constante.
    Quand j'étais au lycée on m'avait posé ce problème et j'avais trouvé
    un moyen (tordu et absurde) de retomber sur ses pattes, en  ajoutant
    "x+..+x ('dérivée de x' fois)",  comme  ça  on  a  aussi  dérivé  le
    'x fois'.
 
 b) Grâce aux polynômes.
    Supposons que a et b soient des nombres réels non nuls tels que a=b.
    Alors a^2=ab (on multiplie par a des deux côtés)
    D'où a^2-b^2 = ab - b^2 (on soustrait b^2 des deux côtés)
    D'où (a-b)(a+b)=b(a-b) (on met en évidence a-b)
    D'où a+b=b (on simplifie par a-b)
    D'où 2b=b (puisque a=b)
    D'où 2=1 (puisque b est non nul)
 
    Ici, l'erreur vient de la simplification  par  (a-b)  qui  est  nul.
    On a divisé par zéro, ce  qui  est  impossible.  Bien  souvent,  ces
    démonstrations trouvent leur erreur dans une division par zéro.
 
c) En utilisant les puissances.
   -1=(-1)^1=(-1)^(1/1)=(-1)^(2/2)=((-1)^2)^(1/2)=1^(1/2)=1
 
   L'erreur  vient du fait  que l'on néglige,  ici,  la définition de la
   puissance.  En effet, on ne peut pas écrire a^q pour q rationnel et a
   réel négatif.
 
   Plus  précisément,  on peut  expliquer  le phénomène  de  la  manière
   suivante.
  Définition 1:
   Dans un ensemble stable par la loi multiplicative  (pour être le plus
   général possible),  on note  (pour un élément a de l'ensemble et pour
   b entier naturel non nul)   a^b  pour désigner a multiplié b fois par
   lui-même .
  Définition 2:
   Dans le cas ou on l'on veut mettre un rationnel en exposant,  il faut
   utiliser la définition de la puissance par l'exponentielle :
   pour a réel strictement positif et b réel, a^b=exp(b*ln(a)).
 
    On a en fait le droit d'écrire  (-1)^(2/2).  Mais pas  d'utiliser la
    loi a^(b*d)=(a^b)^d, car pour utiliser cette loi de composition,  il
    faut,  du fait que d est ici rationnel,   prendre la définition avec
    l'exponentielle, qui interdit à a d'être négatif.
 
    On a bien la loi de composition a^(b*d)=(a^b)^d pour la définition 1
    et la définition 2, mais on peut l'appliquer (pour a, b et d réels):
    -- Selon la définition 1, seulement si b et d entiers naturels
    -- Selon la définition 2, seulement si a est strictement positif.