Reprise du message précédent :
Bonjour à tous,
 
Cela faisait depuis longtemps que je me disais qu'il y avait quasi-sûrement une manière de "bien" jouer à la bataille, liée à la manière dont je dispose les cartes gagnées à la fin de mon paquet, mais je n'avais pas creusé davantage.
Et puis, quand ma nièce m'a sorti qu'à la bataille, il n'y avait que de la chance, après lui avoir expliqué que sa théorie n'avait que peu de chances d'être vrai, je me suis dit que je devais quand même être capable de sortir des indicateurs plus précis.
 
J'ai donc créé en Excel une simulation de jeu de bataille :
-initialisation des cartes de chacun des deux joueurs
-simulation des "tours" : un tour, c'est l'étape entre deux ramassages de cartes, c'est quand un joueur joue (une bataille fait un tour).
-récupération du nom du gagnant (celui qui n'est plus en mesure de fournir le nombre de cartes nécessaires pour achever le tour [exemple, les deux jours abattent un 10, il y a bataille, mais il ne reste au J1 qu'une seule carte -> il a perdu]), du nombre de tours, du nombre d'as de chaque camp
 
Trois méthodes simulées :
M1 : quand je gagne, je mets mes cartes en-dessous du paquet en commençant par la plus grande et puis ensuite dans l'ordre décroissant
M2 : quand je gagne, je mets mes cartes en-dessous du paquet en commençant par la plus petite et puis ensuite dans l'ordre croissant
M3 : quand je gagne, je mets mes cartes dans un ordre aléatoire
On est d'accord qu'aucune de ces stratégies n'est optimale, la vraie stratégie quasi-optimale serait de dire "ah, je viens de prendre un 6 avec mon 10, je sais que ces deux cartes feront face à un valet et un 5 en face, je vais donc placer le 10 face à son 5 et le 6 face à son valet pour perdre un 6 plutôt qu'un 10", mais :
-cela aurait été plus compliqué à programmer
-une telle stratégie est irréalisable en pratique, puisque quand on joue à la bataille, c'est avec généralement un enfant donc on ne se prend pas la tête, et puis c'est irréaliste de vouloir retenir toutes les cartes de l'autre, à supposer même que l'on puisse faire attention à l'ordre dans lequel il ramasse et met les cartes en dessous de son paquet
-le but n'était pas tant de tracer la stratégie optimale que de démontrer qu'il existait bien une stratégie là-dessus, et de quantifier de combien de pourcents cela augmentait les chances de gagner
 
Et avec un programme VBA (boucle), j'ai simulé un peu plus de 3000 batailles (je reconnais que j'aurais pu / dû faire cela en R plutôt qu'en Excel / VBA et que cela aurait été plus appropriée, mais j'ai assez largement oublié R, que je n'ai d'ailleurs même pas installé sur mon nouvel ordi), avec, pour que la page s'actualise (la page fait 598 colonnes et je vais jusqu'au "tour" 2234, cela fait plus de 1,3M de cellules avec des formules), un temps de latence de 3 secondes (j'aurais sans doute pu prendre moins, mais bon...).
 
Les enseignements :
-La méthode M1 marche bien face à la méthode M3, le gain est significatif, j'arrive à un taux de victoire de 72% (sur 309 batailles), l'intervalle de confiance 95% (IC95) est entre 61% et 83%, c'est donc statistiquement significatif
-La M2 face à la M3 l'emporte, taux de 56% sur 1004 donnes, l'IC95 est de [50,19% - 63%] donc le taux de 56% est significativement différent de 50%
-> Ce n'était absolument pas intuitif, puisque la M3 consiste grosso modo à, une fois sur deux (dans tous les cas où il n'y a pas bataille, c'est-à-dire a priori dans 12 cas sur 13), classer ses cartes dans l'ordre croissant, et une fois sur deux dans l'ordre décroissant. Hé bien cette "stratégie" perd face au comportement systématique de classer ses cartes en ordre croissant, et au comportement systématique de classer ses cartes dans l'ordre décroissant. Bref, la pire des stratégies, c'est de ne pas en avoir !
-Le match M1 - M2 montre un truc très intéressant : la longueur des batailles augmente très significativement. C'est bien simple, en M3 vs. M3, seule une bataille, sur des centaines, n'est pas close au 2234e tour (dernière ligne remplie de mon fichier Excel). En M1 vs. M2, le taux de parties non terminées est de 70% !!! Et quand on regarde une partie non finie au 2234e tour, clairement, on n'est pas systématiquement proche de la fin : par exemple, le Joueur 1 a 27 cartes et le second 25, soit un truc que l'on avait à l'étape 4 du fichier, soit 2230 étapes "pour rien" (certes, modulo les valeurs des cartes détenues et de l'ordre). Ainsi, si le taux de victoire de M1 sur M2 est de 63%, on ne peut rien en conclure puisque l'IC95, très large en raison de la faible valeur du nombre de batailles ayant donné lieu à un vainqueur, inclut la valeur 0,5
-Enfin, dans le match traditionnel M3-M3, je me suis focalisé sur le taux de victoire en fonction du nombre d'as : 9% à 0 et 33% à 1 as. Ainsi, ce critère est très important (le seul moyen de remporter un as adverse est une bataille d'as, ou alors, qu'un as soit pris en sandwich [la carte face retournée] lors d'une bataille) ; àmha, il doit être le critère déterminant.
 
Je n'ai pas trop cherché si de la littérature mathématique existait là-dessus, j'ai parcouru quand même en diagonale un article : https://arxiv.org/pdf/1007.1371 qui indiquait que "We show that if the players use both rules to return the cards to their hand, the mathematical expectation of the number of moves in the game is finite, (i.e., there is a zero chance of never finishing the game)." J'en déduis qu'a contrario, en cas de règle différente, on peut avoir des jeux infinis, ou a minima longs, ce qui peut expliquer du coup l'extrême longueur des parties M1 vs. M2 vs. les parties plus courtes (la palme revenant à M1 vs. M1 : toutes les parties sont finies au 2234e coup, et elles se terminent en moyenne au 235e coup (c'est plus long en M3 - M3, et les parties M1 - M3, M2 - M3, M1-M1, M2-M2 ont une durée intermédiaire).
 
Voilà !
 
Bel été à tous, n'hésitez pas à commenter !

Je coince, sans doute stupidement, sur le problème Euler 207. En fait je ne le comprends pas. (^ = fonction puissance)
Le début du problème :

https://projecteuler.net/problem=207
https://projecteuler.fr/p/207
Dès cela, je suis perdu... 4^t-2^t est une fonction continue croissante..., donc quelque soit k, il existe un t tel que 4^t = 2^t + k, non?
 
Donc évidement, la suite du problème est incompréhensible pour moi.
 
Qu'est ce que je ne vois pas ici?

J'imagine que la feinte c'est que 4^t et 2^t sont des entiers aussi.

AAAAAAAaaaaaaaaaaaah! Merci

c'était explicite dans l'énoncé :

A+,

Je mets en spoiler au cas où Aesculapius veut chercher.
 

Finalement le problème était relativement facile. Je suis arrivé à la même conclusion. Maintenant, je dois piocher un nouveau problème

Je me rappelle, j'avais planché (sans grand succès d'ailleurs) sur plusieurs problèmes que je m'étais posé, et puis j'avais abandonné pour me mettre au droit.
 
Si cela se trouve, et c'est même probable, ils ont déjà été tous résolus par quelqu'un...
 
M'enfin si quelqu'un s'ennuie et a envie de se casser la tête...
 
Problème n°1
 
A choisit une loi de distribution sur l'intervalle [1, N] et la communique à B.
Ensuite, A simule une valeur selon cette loi (qu'il garde pour lui).
B doit ensuite trouver le nombre par tâtonnement, A ne peut que répondre "plus grand", "plus petit", "trouvé" (ex : valeur choisie=4, B essaye 6, A lui dit plus petit)
Quelle est la loi que doit prendre A pour complexifier le travail de B (au sens "B prendra en moyenne le plus grand nombre d'essais" )? Quel est le nombre de coups (essais) moyen ?
Si N=2, c'est 1/2, 1/2, Nb de coup=1,5 en moyenne
Si N=3, c'est 2/5 ; 1/5 ; 2/5 Nb de coups=1,6  
Si N=4, j'ai l'impression qu'il y a une infinité de cas qui va, du style 1/4 1/4 1/4 1/4 mais aussi 3/8 1/8 1/8 3/8, avec espérance de 2
Et puis après c'était trop compliqué et j'ai laissé tomber.
J'ai juste vu que l'on pouvait travailler par récurrence en introduisant la fonction f(a1, a2, ... , an) (qui représente le nombre de coups moyens si la loi de distribution a1, ..., aN) avec :
f(a1,...,aN)=somme des ai + max (f(a2...an), f(a1)+f(a3...an),f(a1,a2)+f(a4,...an),...,f(a1...an-2)+f(an), f(a1...an-1))
avec f(ensemble vide)=0.
Et donc f(x)=x, f(x,y)=x+y+max(x,y), etc. Mais le "max" perturbe beaucoup, il faut tout comparer...
Question bonus : cela change-t-il quelque chose si A n'est pas tenu de communiquer la loi de distribution qu'il a choisie et peut en changer à chaque coup ?
 
Problème 2:
A simule une valeur selon la loi de distribution uniforme sur [0,...,N-1], appelons cette valeur Z.
Il met ensuite Z boules dans une urne, ces boules sont toutes discernables par une couleur (ou un identifiant).
B connaît juste la valeur de N. B a droit à T tirages d'une boule : il peut faire ces tirages simultanés, sucessifs, avec ou sans remise.
L'urne est opaque, mais évidemment quand il sort la boule de l'urne, il voit ce que c'est ensuite.
Evidemment, s'il tombe pluseurs fois sur la même boule au cours de tirages avec remise, cela veut dire que le nombre de boules est faible. En revanche, s'il tire 10 boules successivement avec remise et qu'il y a 9 boules différentes, il y a au moins 9 boules mais probablement bien plus.
Bref, quelle est la stratégie optimale de B en fonction de T et N?
 
Problème 3 :
A met a euros au jeu, B b euros
Puis chacun tire une carte d'un paquet de N cartes numérotées de 1 à N, qu'il regarde et garde pour lui.
A peut décider d'abandonner tout de suite ; dans ce cas, B récupère les mises et le coup est fini.
Si A veut se maintenir, A doit miser c euros.
Si B veut abandonner tout de suite, alors A récupère tout et le coup est fini.
Si B veut se maintenir, alors B mise d euros.
Si tout le monde s'est maintenu, les cartes sont abattues, celui qui a la plus grande carte remporte les mises (a+b+c+d) ; si égalité, chacun récupère la moitié du pot (on pourrait faire une variante où chacun reprend ce qu'il a misé, mais peu importe, le cas des égalités devient faible quand N augmente).
Quelles sont les stratégies optimales (se maintenir ou abandonner) de A et B, en fonction de la valeur de la carte tirée, a, b, c, et d, 4 réels connus strictement positifs fixés une bonne fois pour toutes ?
 
Problème 4
X doit passer un test.
Le test se présente sous la forme de Q questions, chaque question avec C choix : 1 seule bonne réponse, les autres fausses. Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou une absence de réponse rapporte 0 point.
X doit avoir au moins B bonnes réponses pour valider.
X a droit à E essais. A chaque essai, il sait juste s'il a au moins B bonnes réponses (dans ce cas c'est gagné) ou pas (dans ce cas il doit réessayer s'il lui reste encore au moins un essai). Il ne sait pas sa note, ni les questions auxquelles il a eu bon ou pas.
Sachant que X répond au hasard complètement, quelle est sa stratégie pour maximiser la probabilité de réussir son test dans les E essais donnés ? (alors évidemment si E<=C c'est évident, il remplit au 1er coup toutes les questions avec la réponse 1, au deuxième toutes les questions avec la réponse 2, etc. ; mais si E>C, on voit qu'au C+1e essai, il faut bien définir ce que l'on fait).

Je débarque mais je viens de découvrir que le président roumain (et ancien maire de Bucarest) est non seulement un mathématicien mais surtout que c'est l'un des 6-7 candidats aux Olympiades Internationales de Mathématiques qui avait réussi le légendaire problème n° 6 (qui a au passage collé 2 futures médaillés Fields sur les 3 qui participaient).

Comme disait aussi quelqu'un en anglais sur Twitter (message publié par je ne sais qui ensuite sur ce forum) :
"Pope Leo XIV has a bachelor degree in maths. This guy does not just know sin. He understands cos too."
 
Rq : Terence Tao, futur médaillé Fields, avait 13 ans à l'époque, c'est excusable de ne pas avoir trouvé à cet âge   . Pas vu qui était l'autre en revanche.

Les deux autres :
 
Ngo Bau Chau (qui l'a résolu entièrement) et Elon Lindenstauss (médaillé en 2010).
 
Et pas mal la blague...

Je t en prie !
 
Petit aveu, la première fois où j ai lu ta signature, j ai éclaté de rire, j ai cherché la source, et j ai regardé la vidéo de M. Clandot (RIP) plusieurs fois de suite.

Drap

Je suis fasciné par l'histoire d'Hannah Cairo qui entre dans l'Histoire des mathématiques par la grande porte à seulement 17 ans

Son domaine, c'est ça https://www.quantamagazine.org/what [...] -20250903/