Reprise du message précédent :
 
http://pagesperso-orange.fr/jean-p [...] index.html

Ouais, en fait je comprenais pas le IN et IN², j'ai répondu un peu vite.  
Mea Culpa

Tu entends quoi par solution explicite ? donner une application ?

Oui, donner une application qui à deux entiers p et q associe f(p,q), un entier, et montrer que cette application est bijective.
 
Bien entendu, je ne pensais pas aux polynômes de Cantor

D'accord, je vais essayer de réfléchir là-dessus.
 
Merci en tout cas
 
C'est au programme de 1ere année de prépa les polynomes de Cantor ?

Si je t'ai indiqué le lien, c'était pour te faire découvrir un tableau cartésien d'une bijection de IN² ---> IN. En analysant ce tableau, tu devrais pouvoir en (re)trouver une.

non

Pourrais-tu être plus explicite. Je ne vois pas comment des décompositions en facteurs premiers permettraient de démontrer l'existence d'une bijection entre IN² et IN.

 
En fait si
Si tu prends un nombre entier n, tu peux le décomposer de manière unique en : (une puissance de 2)*(un nombre impair). Essaye de trouver une application de N dans N^2 avec cette décomposition, et montre qu'elle est bijective (c'est lié à l'unicité de la décomposition).

Et toc Mais je continue à trouver que c'est très  dur comme question.

 
(une puissance de 2)*(un nombre impair)   Je prends le premier qui me tombe sous la main, 0.

Suffit de mettre d'abord N en bijection avec N* et basta.
A+,

 
OK ! basta. Quel élément de IN fais-tu correspondre au couple (2,4) de IN² ?

2^2*(le 4e impair), en gros, je crois.

ou bien 2^2*(2*4+1) ?

Si on veut une bijection il faut atteindre tous les couples de IN², pas seulement les (x,y) avec y impair.

il faudrait pas partir de N² vers n avec (n,m) --> 2^n*(2m+1) ? j'ai la flemme de vérifier si ça marche

Ben, c'est le cas. L'application ça va être, à un décalage d'indice près si besoin :
(x,y) => 2^x*(2*y+1)

(jpl38 a dit à peu près la même chose que moi)

EDIT :

je crois que c'est ça : (0,0) a pour image 1 donc on doit avoir bijection entre N² et N* de cette manière. On rajoute un -1 et on a la bijection entre N² et N.

Après, la difficulté est de montrer que l'application en question est bijective.

sinon une numérotation diagonale ça marche bien aussi.

 
C'était cette solution que je proposais dans mon premier post. Une observation du tableau cartésien amène sans grande difficulté aux polynômes de Cantor
 
 
 
 

je préfère parler de numérotation diagonale quand même

C'est vrai que c'est peut-être plutôt cette solution qui est attendue.

La numérotation diagonale est plus intuitive... et plus classique.
C'est quoi les polynômes de Cantor ?

         
a\b  :   0     1     2     3     4     5     6     7     8     9    etc
----------------------------------------------------------
 0    :   0     1     3     6    10    15    21   28   36   45
 
 1    :   2     4     7    11    16    22   29   37   46   56
 
 2    :   5     8    12   17    23    30    38   47   57   68
 
 3    :   9    13    18   24    31    39    48   58   69   81
 
 4    :  14    19    25   32    40   49    59   70   82   95
 
 5    :  20    26    33   41    50   60    71   83   96
 
 6    :  27    34    42    51   61    72   84   97
 
 7    :  35    43    52    62   73    85    98
 
 8    :  44    53    63    74   86    99
 
 9    :  54    64    75    87   100
 
etc  :
 
Remplir ce tableau NxN avec les éléments de N « diagonalement » en descendant vers la gauche comme ci-dessus ou de gauche à droite en montant. Il est évident que l’on obtient une bijection de N² vers N. A chaque couple (a,b) de N² correspond un élément de N et un seul et à chaque élément de N correspond un couple de N² et un seul.
 
Ce tableau pourrait suffire à montrer l’existence d’une bijection de N² vers N.
 
Si on recherche la relation mathématique associant les couples (a,b) aux éléments de N, il suffit de remarquer
- que la ligne de a=0 est la suite des Sb   (0+1+2+….+b)  
- que la ligne de a=1 est la suite des S(b+1) +1
- que la ligne de a=2 est la suite des S(b+2) +2   …. etc…
Chaque ligne est la suite des S(b+a)+a
Sb = b(b+1)/2  ,    S(b+a)=(b+a)(b+a+1)/2        f(a,b)= (b+a)(b+a+1)/2 + a
 
En développant partiellement   f(a,b) =  [(a+b)² + b+a  + 2a]/2  
                                                  f(a,b) =  [(a+b)²+3a+b] /2       l’un des polynômes de Cantor
 
Pour répondre à jpl38
 
Les deux seuls polynômes de degré 2, des deux variables x et y, qui soient des bijections de N2 sur N, sont les polynômes de Cantor (Montré en 1923 par Fueter et Pólya) :
 
f(x,y)=((x+y)^2+3x+y)/2 et g(x,y)=((x+y)^2+x+3y)/2.
 
On a naturellement g(x,y)=f(y,x)
 

Merci beaucoup gipa

Mon Dieu, je suis censé trouver ca ?
 
Je continue de chercher, mais je sais pas si ce tableau est la solution qu'il attend, et encore moins pour le polynôme de Cantor ...
Je doute pas que ce soit bon, mais on a jamais rien fait de tel avec lui ...  
 
Merci quand même

t'es pas censé trouver ça, c'est beaucoup trop compliqué
 
edit : euh, j'ai dit de la merde, je lisais pas le tableau dans le bon sens regarde bien les diagonales, sans le blabla mathématique, et tu verras que c'est simple en fait

 
Et le blabla mathématique n'est pas très compliqué non plus. En première année de prépa, je suppose que l'on est capable de comprendre que 1+2+3 = 3*4/2 = 6 , que 1+2+3+....+n=n(n+1)/2.

 
Tu as l'air épouvanté, il n'y a vraiment pas de quoi. Je ne sais pas ce qu'attend ton prof, mais la solution que je t'ai soufflée n'a rien d'extaordinaire. Que cherches tu ? Une bijection de N² vers N. Il faut donc "remplir" le tableau cartésien avec les éléments de N en n'utilisant chaque terme qu'une fois. Il est évident que si tu pars sur une ligne ou sur une colonne, tu vas épuiser tout N sur la première ligne ou sur la première colonne, de même si tu pars sur la première diagonale (nord ouest ---> sud est) tu rempliras cette diagonale et c'est tout. La seule solution est de complèter le tableau en seconde diagonale (sud ouest ---> nord est) et là tu peux te laisser aller à toutes les fantaisies. J'ai choisi la plus simple, qui a en plus l'intérêt de permettre de trouver la relation mathématique faisant correspondre les couples de N² aux éléments de N.

je suis d'accord, mais pour ma part les formules ont tendance à me faire peur, et elles ne sont pas nécessaires pour comprendre le principe

Bonsoir, est-ce que quelqu'un saurait comment faire pour calculer les derniers chiffres non nuls d'une factorielle ?
 
J'aimerais calculer les 5 derniers chiffres  de (10^12)! et je sais juste que ce nombre a 249999999997 zéros à la fin et je sais pas comment déterminer les autres...  
merci d'avance

Non, c'est pas les formules qui me font peur, mais je vois pas comment de nous-même on peut penser à faire un tableau cartésien, alors qu'on a jamais eu vent de l'existence de ce tableau ... C'est ca qui me laisse perplexe.
Mais merci de ton aide gipa

t'as jamais représenté IR sur une droite et IR² dans un plan ? ben là c'est exactement la même idée

 
Tu as déjà rencontré ce tableau, n'as-tu jamais vu une table de Pythagore (table d'addition ou de multiplication), les tables de calculs booléens ? Ce sont des tableaux cartésiens : à chaque couple (x,y) on fait correspondre leur somme ou leur produit ou ... Bien sûr ce ne sont pas toujours (pas souvent) des bijections.

J'ai utilisé le tableau pour montrer que N et N² étaient en bijection, de toute facon doit pas y avoir un grand nombre de méthodes pour le montrer.
 
J'ai encore besoin de votre aide, sur l'exo 3, qu 5/6. ( http://pagesperso-orange.fr/fabien [...] PF/dm1.pdf )
5) Donc pour celle-là, comme Dk a pour équation y=k, k est fixé, donc on a: exp(Dk)=(e^x)*(e^ik).
Comme k est fixé, on a e^ik qui est un complexe "fixe" et e^x un réel.
Donc exp(Dk) est un homothétie.
 
C'est ca ?(j'ai un doute) Si oui, je vois pas comment l'interpréter ...
 
6) pour y=x, on a :
exp(D)=e^x*(e^ix)
         = e^x(1+i)
 
Et apres je sais pas quoi faire pour passer sous forme polaire ...
 
Voilà, merci à vous.

exp(Dk) est un ensemble de points, pas une transformation du plan.
Pour le déterminer, cherche à quelle condition un point M(X,Y) est l'image par la fonction exp d'un point N(x, k) appartenant à Dk.
Pour te faire une idée, D0=IR, et exp(IR)=]0 ; + infini[

quand on dit "si et seulement si" cela implique t-il que la réciproque soit vrai?

Oui, sinon on dit "si". Le "seulement si" veut dire que l'implication inverse est vraie.

Suite à ce topic : http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 6280_1.htm
puis à une petite délibération sur BashHfr : http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] #t13346638
 
On obtient l'énoncé suivant :

 
ouais donc bon c'est tellement trivial que je n'y arrive pas et comme :

 
ben voilà le deal est valable pour celui qui me fera la démo
 
 

malheureusement, je bloque au niveau de ta formalisation ^^
 
perso, j'avais compris :
10x+y=a+(10t+u)
x+10y=a+(10q+r)
et on veut montrer que t+u=q+r