Reprise du message précédent :

 
 
Plus précisément, le terme de degré nul d'un polynôme annulateur est un multiple du terme de degré nul du polynôme caractéristique (par Hamilton Cayley). Or le terme de degré nul du caractéristique est le déterminant, donc le terme de degré nul d'un annulateur est le déterminant à multiplication par un scalaire non nul près. Ca permet de trouver l'affirmation.

ok merci bien

   
Je pensais que c'était une simple implication, en fait y'a même équivalence

En fait il y a plus simple que mon raisonnement avec Hamilton Cayley pour trouver l'équivalence : il suffit de factoriser la partie de degré non nul d'un annulateur donné par A, et là on peut montrer facilement l'équivalence
 
Mais j'aime bien sortir Hamilton Cayley, même si c'est la grosse artillerie pour flinguer un puceron (en général c'est ce que dit un étudiant pour montrer l'existence d'un annulateur alors qu'il est si simple de regarder la dimension de l'espace des matrices carrées )

Justement, c'est là que je m'étais posé la question.
Dans ce sens ça marche bien, mais quand on part de A inversible, je vois pas comment "remonter" l'implication
 

En fait, je voyais une contradiction qui apparaissait en supposant A inversible et possédant un annulateur avec un terme constant nul, en multipliant l'annulateur évalué en A par l'inverse de A : je voyais deux formes pour l'inverse. Mais une fois posé sur le papier, il semblerait qu'il faille bien passer par la méthode avec Hamilton Cayley

Hamilton Cayley, Hamilton Cayley, vous avez que ce mot à la bouche. J'avoue que c'est puissant, tellement je souffre de son absence. Et oui, dans le programme de Math spé PC, il est interdit de l'employer

Après conversation avec un pote en spé PC (:D) qui a fait cette démo y'a pas longtemps, on peut bien montrer l'implication sans passer par Cayley Hamilton.
 
On sait que pour toute matrice A de Mn(R), il existe un polynome annulateur de degré n²+1 de la forme
P(X) = alpha_0 + alpha_1*X + .... + alpha_ {n²+1}*X^(n²+1)  
avec au moins un alpha_i non nul (famille de n²+1 élements dans un espace de dimension n²)
 
Soit i = min {k dans [0,n²+1], alpha_k non nul}
On a alors :  
P(X) = X^i*(alpha_i + alpha_{i+1}*X + .... + alpha_{n²+1}*X^(n²+1-i))
 
L'inversibilité de A nous assure que A^i est non nul, on a donc  
alpha_i + alpha_{i+1}*X + .... + alpha_{n²+1}*X^(n²+1-i)
qui est un polynôme annulateur de A, avec un terme de degré zéro non nul.

J'avais fait un truc similaire, mais là tu prouves simplement que si A est inversible, alors il existe un annulateur de terme constant non nul, moi je pensais que tu voulais montrer que tout annulateur a son terme constant non nul
 
Sparkus, tu veux qu'on te donne une alternative à Hamilton-Cayley pour faire quoi ? Parce qu'il y a des usages où il n'est pas utile, mais pour d'autres, je me vois mal le remplacer. D'autant que ce n'est pas un résultat très complexe (je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi il n'est pas abordé - ou qu'il est interdit de l'employer).

Nonon, c'était juste l'existance qui m'intéressait
C'est en énonçant la propriété que j'ai écrite à ximothov que je me suis demandé si la réciproque était vraie. Mais merci quand même  

 
1-c'est bon, c'était à propos de la démo que Talen vient de rédiger avec brillo ().
2- je pense qu'utiliser H-C simplifie bien des choses, en effet, dans certains cas. Mais j'imagine que les concepteurs des programmes se disent qu'utiliser H-C sous-entend que les élèves savent faire les exos plus basiques, or en PC, le niveau était plus, comment dire..., élémentaire qu'en PSI ou MP, eh bien ils demandent à ce que des choses plus élémentaires soient testées, d'où sans H-C. ie pour tester si es élèvent savent les choses simples, ce qui n'est finallement pas évident, quand on voit le niveau même des premiers de classe...

 
 
la conception des programmes de taupe suit des lois d'évolution que je qualifirais d'ésotérique. Certaines choses apparaissent et disparaissent cycliquement sans qu'on sache pourquoi (par exemple, la notion de convergence uniforme en physique-chimie, la notion d'ensemble quotient en maths-physique), certaines coupes dans les programme n'ont parfois pas de sens. C'est flou.
 
cela dit les profs de PC avec qui j'en ai parlé estiment qu'il feraient bien d'ajouter une heure en plus ( pour en moyenne une demi heure de cours une demi heure de TD ) quite à avoir un chouilla plus de choses à aborder, les élèves y retrouveraient bien plus leur compte (le rapport connaissance / heures de cours serait plus faible.)
 
Il faudrait savoir ce que l'ont veut, si on veut qu'une filière ai des resultats, il ne faut pas lui couper l'herbe sous le pied

Que des choses apparaissent ou disparaissent n'est pas choquant en soit, c'est le cas dans tout premier cycle universitaire au monde suivant les changements des professeurs et les aspirations de ceux-ci. Il y a toujours une consultation des collègues pour que l'on ait un programme plus ou moins cohérent, et que les prérequis pour les cours des années suivantes soient plus ou moins là. A ce titre, en dehors de l'étude des endormorphismes d'un espace de dimension finie (ce qui ne se fait tout de même pas tous les jours en master je crois), la non-présence de Hamilton-Cayley peut ne pas être un problème. C'est si le cours d'algèbre est dédié en partie à cette étude des endomorphismes que c'est étrange, là c'est un outil puissant, peu compliqué à prouver, et qui permet d'arriver à des choses très fines très rapidement en exercice.
 
Sans doute que la conception des programmes est âprement discutée (mais qui est consulté ?), et ça apparaît ésotérique parce que les choix ne sont pas motivés d'emblée (on doit pouvoir trouver l'explication quelque part tout de même - dans le procès verbal de la 12ème réunion annuelle de tel ou tel organe).

le programme d'algèbre de la deuxième année de PC est centré sur la reduction d'endomorphisme (avec quelque cours en plus, qui sont plus des retours et légers approfondissements de l'algèbre qui a été faite en première année)
ça se justifie tout à fait pour les gens qui continueront la physique, qui feront tous un moment ou à un autre de la mécanique quantique, ou l'on aime bien les modèles simples, qui impliquent des matrices de Mn(R) (ou C)à diagonaliser.

le truc que je trouve pas logique dans le programme de taupe, c'est de ne pas faire l'integration de lebesgue directement

c'est pour éviter aux taupins de se taper des Concours encore plus chauds et aussi parce qu'il y'a des gros prérequis topologiques

Pas gros, mais des prérequis tout de même

ben faut connaitre la topologie générale de base quoi

Je ne suis pas vraiment d'accord, mais c'est peut-être juste une histoire de nomenclature.
 
Pour la théorie de la mesure et l'intégration au sens de Lebesgue, tu as besoin en gros de savoir ce qu'est une topologie, de connaître les ouverts et les fermés de R^n, de sorte que tu comprennes la notion de mesure borélienne.
 
Ca me paraît très léger, pas de compacité locale, de condition de Hausdorff T2 ou d'être de Lindelöf là-dedans
Evidemment, pour une théorie plus générale de la mesure (où l'on parlera de mesure de Haar), il faudra connaître un peu plus de choses en topologie.
Là où le bagage en topologie est intéressant, c'est qu'il a appris à jouer avec les familles d'ensembles, ce qui est fondamental

oui c'est plutot à ça que je pensais (analogies Tribu/Topologie)..
 
Enfin il faut vaguement connaitre la théorie des cardinaux.

parce qu'un ingénieur ne fait quasiment que des calculs d'intégrale ?
or l'intégrale de Lebesgue n'apporte pas grand chose sur ce point là. (et ça n'est pas pour ça qu'elle a été inventé)

 
Pour le calcul d'intégrales en tout genre il faut plutot regarder vers l'analyse complexe (à la limite en admettant tous les théoremes), là on obtient énormément de résultats.  

un ingénieur fait j'ai l'impression bcp de probabilités et de stats. Et Faire l'intégrale de Lebesgue aide a mieux assimiler ces notions pas toujours évidentes que l'intégrale de Riemann.

C'est très lourd l'intégration de lebesgue, j'en ai fait et ce que j'ai trouvé dur (par rapport à la spé) ce sont les démonstrations ( demos de théorèmes sur les boréliens etc ), ca ferait bizarre a côté d'un programme qui m'a l'air très simple ...
 

 
j'ajoute que c'est même indispensable  

 
essaie un peu de faire tous les exos des Gourdons tu vas voir si c'est si simple    

euh honnetement, je trouve l'integrale de lebesgue bcp moins chiante que l'intégrale de riemann.
en sup : on fait l'integrale de riemann sur IR, puis les intégrales multiples a la sauce riemann.
en spé, on remet ça avec les fonctions réglées en définissant l'intégrale sur les limites uniformes de fonctions réglées (dans différents espaces)
tout ce temps pourrait etre mis a profit pour l'integrale de Lebesgue, qui resout tous ces problemes d'un coup

C'est pour mieux noyau le poisson  
A+,

Bonjour a tous
 
On va revenir a des choses plus "simples"
 
Je voudrais savoir si -1/x² est une primtive de 2/(x^3)
 
Merci

Oui.
De rien.

oui
Suffit de dériver ta primitive

Si t'as encore des intégrales à calculer, vérifie les là dedans:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

Les intégrales j'ai pas encore commencé a les voir, ca va sans doute pas tarder.
 
Mais merci pour le lien, ca me servira a coup sur

Salut,
Tu as encore largement le temps d'apprendre à travailler... mais ça va être dur pour toi.
Il faut également que tu comprennes qu'au vu de tes objectifs, il faut être le meilleur de la meilleur classe du meilleur lycée de ta ville. pas le second. Si tu arrives à te donner les moyens pour atteindre ces objectifs,   les portes des Grandes Ecoles te seront ouvertes. Si tu n'arrives pas à te donner les moyens, tu feras partie de la cohorte des douées qui font des études moyennes (ce n'est pas pour cela que tu ne seras pas heureux et que tu gagneras moins bien ta vie... voir même... mais c'est un autre débat!)

je parlais de calculs numérique aussi.

non.  Tous les physiciens statisticiens que je connais ( qui ne sont pas des branques) utilisent l'intégrale de Rieman, et enseignent avec l'intégrale de Rieman. Elle permet de mieux mettre en avant certaines grandeurs qui ont un sens physique ( plus des hypothèses, approximations), elle ne necessite pas d'apprendre des choses supplémentaires. C'est à mon avis plus simple.

 
c'est juste que dans pas mal d'endroits on enseigne les stats avec l'intégrale de Lebesgue (des fois je me demande si c'est pas par chauvinisme) mais on peut tout à fait faire les mêmes choses avec celle de Rieman.

Salut j'ai un souci complexe :
Donc je dois mettre sous forme algébrique :
 
(1+i)²-(1-i)²/(3+2i)^3-(2+i)²
 
J'ai essayé de développer mais ça fait du 50*50 au dénominateur et je pense qu'il y a une autre méthode.
 
Merci

j'ai du mal à voir s'il s'agit de  
 
((1+i)²-(1-i)²)/((3+2i)^3-(2+i)²)
ou de
(1+i)²-((1-i)²/(3+2i)^3)-(2+i)²
 
dansle premier cas tu peux factoriser simplement le haut (où le développer, c'est kif kif)
pour le bas, la solution bête et méchante est de s'accrocher, de tout développer, puis multiplier le haut et le bas de la fraction par le conjugué.
on se retrouve alors bien avec un truc du style a+ib.
 
dans le second la méthode développer/réduire/conjugué/réduire marche aussi.
faut pas avoir peur des calculs ( faut apprendre à les faire à un moment ou à un autre. )

OK merci, là sinon j'ai un autre exo, ils demandent la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument de (1-e(ia)) / (1-e(ib)), je serais tenté de mettre le 1 sous la forme e(i2pi) mais après je vois pas de suite...  
 
Pareil pour ((2+i) / (1-i))^3 car on voit pas de valeur remarquable
 
Merci de m'aider

 
L'astuce dans ces cas là c'est de dégager la partie imaginaire du dénominateur :
 
Tu as du a + ib en bas, tu multiplie en haut et en bas par a - ib, et tu te retrouves avec du a² + b² en bas.

Je trouve pour z = ((2+i)/(1-i))^3 comme module 25/4
Re(z) = 1/16
Im(z) = 81/16
 
Après pour trouver l'argument je vois pas peut-être pi/3??

 
Hmmm je trouve pas ça... t'as vérifié ton calcul ? Tu trouves bien (2+i)/(1-i) = (1+3i)/2 ?
 
Sinon pour l'argument, t'as des formules sympas avec les produits : arg(a*b) = arg(a) + arg(b)
(ce qui te permet par exemple de dégager les réels positifs en facteur, vu que leur arg est nul)