Reprise du message précédent :

 
Moi c'est quand j'ai vu "Première" pour le discrimant que j'ai eu peur

Hello,
 
Je révise un exam pour lundi, et y'a un exo d'equa diff que j'arrive pas à refaire...
 
x'' = - 4x + x' - 4y + y' + 8t - 2
y'' = x + 2x' + y + 2y' - 2t - 4
 
Il faut 1) deviner une solution particulière et 2) résoudre le système homogène associé. Je laisse 1) de côté car la divination ne m'intéresse pas trop...
 
J'ai réécrit le système homogène sous la forme d'un système de 4 EDO du premier ordre :
 
x1' = x2
x2' = -4x1 + x2 - 4x3 + x4
x3' = x4
x4' = x1 + 2x2 + x3 + 2x4
 
Du coup x' = Ax et on a la solution générale x = C e^(At); reste à calculer e^(At) et avec cette matrice 4x4 je sèche, j'arrive pas à trouver ses valeurs propres (car 4ème degré).
 
Alors je pense qu'il y a une approche plus simple, surtout que l'équa diff est très symétrique (-4x+x' et -4y+y' ; x+2x' et y+2y'). Je suis sûr qu'il faut exploiter cela, mais je trouves pas comment   . Help !

Bonjour!
 
On me donne la fonction f(x)= x^3 +3x -4 définie sur R.
Je dois démontrer qu'elle est strictement croissante.
 
Pour cela il faut donc prouver que f(a)<f(b) avec a<b
 
je fais donc
f(a) - f(b)  
f(a) - f(b) = a^3 - b^3 +3a -3b
f(a) - f(b) = (a-b)(a²+ab+b²+3) (en factorisant)
 
(a-b) est < 0 car a<b <=> a-b<0
 
il faudrait donc que je prouve que (a²+ab+b²+3)>0
pour conclure que f(a) - f(b) < 0 et que par conséquent la fonctionne f est croissante.
je sèche là dessus!
 
merci!

 
Je suppose que tu n'as pas encore vu les dérivées  

Je dirais que si a et b sont de même signe alors a^2 + ab + b^2 + 3 > 0 est trivial.
 
Sinon (signe différent) par exemple :
 
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 >= 0
a^2 + ab + b^2 >= -ab
 
Comme a et b sont de signe différent, on a -ab >= 0 donc
a^2 + ab + b^2 >= 0

Pas besoin
 
Si |a| < |b| alors a² < |ab| < b² donc b² + ab > 0  (et a fortiori (a²+ab+b²+3)>0)
Si |a| > |b| alors a² > |ab| > b² donc a² + ab > 0  (et a fortiori (a²+ab+b²+3)>0)
Si |a| = |b| alors a² = |ab| = b² donc a² + ab = 0 (car a et b de signe different vu que a<b) (et a fortiori (a²+ab+b²+3)>0)
 
et grilled

Oui bon ce serait quand même un poil plus direct

 
non, pas encore  
 
djdie:
merci; mais dans ce cas f(a) pourrait être plus petit ou égal à f(b); dans ce cas la fonction ne serait pas strictement croissante?
non?
 
merci encore!!
 
eudom

Si tu regarde ma reponse, tu verra qu'elle ne comporte que des superieur stricts (> ) et que donc la fonction est bien strictement croissante.

rectification; avec le +3 la fonction ne peut être que "strictement" croissante; non?

C'est cela

 
 
Pour le (1), il existe très probablement une solution du type x=at+b et y=ct+d. Et comme dans ce cas x''=y''=0, l'équation est parfaitement symétrique et donc ta solution particulière est de la forme x=y=at+b
 
(2) Ce sera surement plus simple avec ta solution particulière

Pas mieux que Svenn (éventuellement poser x et y comme second degré en t et identifier les coeffs, ça peut ptêt marcher...)

Merci; pour la solution particulière j'ai du coup trouvé x(t) = y(t) = t mais ça ne m'aide pas tellement pour la solution du système homogène... Bon je m'y remetterai demain, si qqn a une idée pendant la nuit faut pas qu'il se gène  

 
Ton solution homogène est :
 
x'' = - 4x + x' - 4y + y'  
y'' = x + 2x' + y + 2y'  
 
Donc tu fais come tu voulais faire et tu écris ta matrice 4*4. Evidemment, ça  te fait un polynôme de degré 4 dont tu cherches les racines. Cependant, grâce à la symétrie de ton système, tu peux trouver facilement deux solutions indépendantes (je te laisse chercher), donc ça te donne deux des quatre racines de ton polynôme. Il te reste plus qu'à trouver les deux autres.

C'est normal que ça aide pas pour l'homogène : c'est juste pour utiliser le théorème de superposition et pas se faire chier avec une méthode de variation des constantes

 
Bien sur, ça n'aide pas, mais ici, ça donne des idées...

 
Mais en fait, tu as fait la plus grosse partie du travail.  
 
Mon avis :  
 
1. On suppose a < b (a ne peut donc pas être positif si b est négatif).
 
2. La question me semble absurde si l'on suppose un a négatif et un b positif, car forcément le produit a³ + 3a - 4 (avec a < 0) sera plus faible que le produit b³ + 3b - 4 (avec b > 0), en effet, tu aurais les - 4 qui se neutralisent et pour le a, le reste serait négatif tandis que pour le b, il serait postif, donc cqfd pour ce cas là.
 
3. Il reste alors la possibilité d'avoir a et b de même signe : dans ce cas là, le produit a² + ab + b² + 3 > 0, pour tout a et b. Donc cqfd selon moi.

étude du signe de : a²+ab+b²+3
 
a²+ab+b²+3=(a+b/2)²-b²/4+b²+3=(a+b/2)²+3b²/4+3>0
CQFD

Pas Michel, Jacques. Ils sont frères Au dela, Jacques est plus vaudois, plus sympa et paie des coups à boire

Où trouver des sujets ( et corrigé ) de concours Centrale, Mines, CCP de PSI*?
 
J'ai trouve qq sites mais peu complet.

Dans des annales
 
Tu sais, les trucs que tu peux acheter dans les librairies

si il y en a certains dispos sur internet c'est encore mieux

Tu demandes à tes profs... Moi sur Internet j'avais jamais trouvé grand chose..

Comme je les expliquez un peu avant, j'ai louper un cours mercredi matin (accident inside) et ils ont en plus des matrices, parler des ensembles.
 
Je voudrais savoir ce qu'est l'ensemble R² ? ou plutot, est ce que R²=[0,+inf[ ?

R² c'est l'ensemble de tous les couples (a,b) avec a et b appartenant à R
 
on obtient R² en faisant le produits cartésien de R avec lui même soit RXR = R²  
 
R²= [0,+inf[ c'est une notation qui ne signifie rien puisqu'il faut nécessairement un couple.
 
[O,+inf[ c'est tout simplement R+

oula si j'ai bien compris
 
R² ={(i,j)}avec i et j appartenant a R?

oui

C'est R croix R quoi

Oki
 
Par contre comment on représente ca? (j'ai un truc a faire ou il dise de représente les couple (a,b)

 
euh, abscisse/ordonnée, ça te dit quelque chose?

Bah, c'est le plan, quoi  
 
R, c'est la droite des reels, RxR, ou C, tu peux le representer par le plan ... a etant la premiere coordonnée, l'abscisse, et b la 2eme, l'ordonnée ...

Donc en fait je fait un graphe tout con, au lieu de x, jemet a, première coordonnée du couple et au lieu de y je met b, seconde coordonnée?

 
Désolé d'avoir jamais vu ca  

²

C'est impossible que t'aies jamais vu ca, ca se fait en .... 5eme, allez, peut etre meme 6eme

non mais si en cours tu vois les matrices, tu me feras jamais croire que tu n'as jamais vu ça avant...

ca a été fait en meme temps, cours ou je n'étais pas du a un accident.

On est en train de te dire que c'est impossible que tu l'aies jamais fait
 
A moins que tu n'aies raté un cours il y a 5 ou 6 ans, et tous les cours qui ont suivi qui reprennent ca ..  
 
Sinon, la reponse a ta question precedente, c'etait oui