Reprise du message précédent :

 
Bah dit comme ca c'est une definition, prk tu veux la verifier ?

ah ouais merci
je savais pas kon pouvait faire comme ça !!

et pourkoi pas ?

 
Bah c'est par definition ...  
 
(enfin je sais plus quelle definition on voit au lycée ceci dit )

 
Bah parce qu'une definition ca a pas besoin d'etre demontré, par definition ..  
 
Enfin là c'est plutot une proprieté, mais qu'on pose parfois comme defintion, donc c'est different ...

C'est l'une des propriétés qui permettent de définir un produit scalaire de manière formelle, comme forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) symétrique (hermitienne) symétrique. Mais c'est une autre histoire.
 
Juju_zero : IR^3 c'est l'ensemble des triplets (x,y,z) avec x,y,z dans IR. Indépendamment de la structure d'EV, cela existe - et donc indépendamment de la notion de base. Il se trouve que pour la structure d'EV usuelle, tu as une base naturelle (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) - dite canonique - relativement à laquelle l'élément (x,y,z) du produit cartésien s'écrit sous la forme (x,y,z) - c'ést à dire (x,y,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1). Par rapport à une autre base il ne s'écrit bien sûr pas de la même manière (sauf cas pathologique genre x = y = z = 0 ).
 
Donc dire (x,y,z), c'est dire (x,y,z) dans la base canonique Remarque qu'une base canonique n'existe pas toujours - pour ainsi dire jamais, les sommes directes de copies du corps et les anneaux de polynômes c'est à peu près tout.
 
C'est cette spécificité qui te permet d'écrire "soit f(x,y,z) = 3x + 2y - z", cette écriture étant alors indépendante du choix d'une base - elle est dite canonique pour cette raison (canonique signifiant qu'on n'a pas eu à faire de choix, ce qui n'est pas une démarche anodine en mathématiques).
 
Un autre exemple d'application linéaire canoniquement définie, c'est pas exemple celle qui à f continue sur (0,1) associe son intégrale sur (0,1) : tu n'as pas besoin de base pour la définir (et encore heureux, parce que là ce serait axiome du choix )

(j't'avais dit de pas m'expliquer )

(je peux pas résister )

( Et comment on fait les bébés ? )

(oh ! Une bouteille de lait !)

(et ca, c'est ta mere )

stephen : je suis à la fois d'accord et pas d'accord
en fait, on est d'accord, mais je l'aurais pas dit de la meme facon
 
je préfererais plutot dire qu'un produit scalaire est par définition une forme bilinéaire, symétrique, définie positive (en tout cas, dans le cas réel : on ne parle pas ici de produit hermitien) : cette définition est effectivement intrinsèque : le choix d'une base n'est donc pas nécessaire.
 
PS: c'est d'ailleurs assez intéressant de remarquer que c'est l'une des distinctions fondamentales entre une forme bilinéaire symétrique, et un endomorphisme symétrique (les sup verront ca l'an prochain ...)
 
 
 

Tu es à quel niveau?
Dans le secondaire ça ne se démontre pas.
 
Au niveau post bac, il faut passer par la définition du produit scalaire comme une forme bilinéaire symétrique telle que i.i=1 j.j=1 et i.j =0 ou 0,i,j est une base du plan.

Pfff...ça m'apprendra à pas remarquer qu'il y a une page suivante...

 
je répète que la notion de produit scalaire existe très bien sans la notion de base (on peut d'ailleurs définir une infinité de produit scalaire sur des espaces vectoriels de dimension infinie n'ayant aucune base : les applications continues de [0,1] dans R par exemple...)
 
par contre, c'est vrai que quand on a un joli espace vectoriel euclidien bien gentil, effectivement, ca peut etre pratique (:D) d'utiliser une base orthornormale pour le produit scalaire considéré

 
désolé de t'avoir répondu alors, en meme temps, c'était pas spécialement pour toi

Oui mais non, si on définit le produit saclaire à partir d'un espace Euclidien ( donc à peut de chose près déjà muni d'un produit scalaire), on tourne en rond.
 
Pas besoin d'avoir une base orthonormale pour cette définition.
Soit i,j une base du plan.
Le produit scalaire est l'unique forme bilinéaire symétrique telle que
i.i=j.j=1 et i.j=0

les conditions avec les bases c'est pour définir des bases orthonormales, mais un produit scalaire à la base c'est simplement une forme bilinéaire symétrique définie, sur un espace de dimension 2, si je ne m'abuse
 
par contre j'ai vu comme définition d'un ev euclidien que ct un espace sur lequel on pouvait définir un produit scalaire, on m'aurait menti ?

Erf. Fous toi de ma gueule gros malin
 
@boudje : ta définition en est une. Mais elle nécessite le choix d'une base. Au final avec une méthode il y a du Gram-Schmidt qui traîne, avec la tienne il faut montrer que ça réagit bien aux changements de base (i.e. c'est un tenseur en fait...).

positive effectivement désolé de l'oubli

Le fait que ce soit défini posiitive est une conséquence pour le produit scalaire du plan.

Et puis, putain, au lycée on parle pas de produit scalaire sur l'ensemble des fonctions continues, ou que sais je encore

 
c'est faux de définir un produit scalaire à partir d'un espace euclidien :
 
l'unique définition rigoureuse est "forme bilinéaire symétrique définie positive" (ya toutes les infos contenues là-dedans).
 
après, en pratique, on utilise presque tout le temps des produits scalires dans des ev euclidiens, avec les bases orthonormales associées etc etc...(la notion de base ne précede pas celle de produit scalaire)
 
bon, je suis un peu pointilleux

au lycée le produit scalaire c'est xx' + yy' + zz' au pire, et roulez jeunesse

 
Je suis d'accord, c'est d'ailleurs ce que je dis: il est ridicule de définir le produit scalaire à partir d'un espace euclidien.
 
Néanmoins pour le produit scalaire dans le plan, la définition que je donne ne fait pas intervenir la notion d'euclidien:
 
Forme bilinéaire symétrique telle que:
i.i=j.j=1 et i.j=0
 
Cette définition se suffit à elle même.
Le fait que ce soit défini positif est une conséquence et n'est pas nécéssaire à la définition.
Ca ne fait pas intervenir la notion d'euclidien puisque la base I,J est quelconque, et c'est à partir d'elle qu'on définit le produit scalaire.
On la défini à postériori comme une base orthonormale.

mais par exemple, je peux vous citer un exemple ou l'on utilise un produit scalaire sur un espace qui n'est ni de dimension finie, et pour lequel il n'y a meme aucune base :
 
on prend les fonctions continues de [0,1] dans R :
 
on choisit (f.g)=Intégrale(f(x)*g(x),x=0..1)
 
(ca fait une question de cours que de démontrer que c'est effectivement bien un produit scalaire )
 
ce produit scalaire existe donc bien alors qu'on n'a aucune base...
 
d'ailleurs, ce genre de produit scalaire est assez utile pour calculer des minimum d'intégrales dépendant de plusieurs paramètres du type :
 
trouver :
 
min(Int(ln(x)-ax^2-bx-c,x=0..1)) avec (a,b,c) € R^3 (ca se fait en considérant des projections vectorielles)

D'accord, mais là on parle de produit scalaire dans le plan, pas dans l'espace des fonctions.

 
effectivement, ta définition est correcte, (le caractère défini, positif découlant de la proposition est "automatiquement verifié" )
 
pas de souci là-dessus
 

en cours on a fait la même avec min(Int(e^x - (ax + b),x=0..1)),(a,b) € IR² et c'est quand même un peu lourdingue les calculs, même si c'est quand même une bonne méthode on a refait la même avec les déterminants de Gram mais c'est pas vraiment au programme (c'était l'objet d'un sujet de Centrale qu'on a regardé à la fin de cette année )

 
bon, on finit par se comprendre...
 
c'est vrai que pour un produit scalaire dans le plan, on n'a pas trop besoin de s'enflammer, mais c'est quand meme intéressant d'avoir des idées rigoureuses sur ce qu'est un produit scalaire en général, n'est-ce pas !

On retrouve le meme type de branlage de nouille ici que sur le topic "Cours de Francais", trouvez pas ?

 
j'ai adoré ce sujet de centrale sur les matrices de gram (le seul DS que j'ai majoré de toute ma prépa )
 

 
en pire parce qu'on est matheux
 
PS: quoique, je sais pas si les "pseudo-grammairologues" du topic francais sont des littéraires donc ca nous remet un peu à égalité

 
L'utilisation de "PS" n'est pas valable dans un tel message, n'etant pas ecrit a la main ...
 
 
 
 

Non non, vu que les mathéatiques étant ultra rigoureuses, on finit forcément par être d'accord, ou au pire à démontrer à l'autre qu'il se trompe.
 
En revanche, je suis tomb hier sur un truc super bizard: le paradoxe de Banach et Tarski:
Apparemment ce mec à russi à prouver que si on découpe  une bille d'une taille d'une perle en un nombre fini de morceaux,
et que ensuite on déplace ces morceaux sans aucune déformation, on peut reconstituer une boule de la taille de la lune, ou deux boules de la même taille que la boule initiale.
 
Si quelqu'un en a entendu parler et pourrait vulgariser ce truc, ça me rendrait service, car je trouve ça assez génant...

Oué mais bon, là par exemple sur la derniere page vous cherchiez qd meme la petite bete hin  

Ouais, j'ai grave halluciné sur ce paradoxe...mais apparemment ça ne gène pas ple de monde que ça.
Je suis tombé la dessus dans un bouquin de premièreS là ou ils mettent des trucs de culture générale et je me suis dit qu'ils avaient du se planter, mais après une recherche rapide sur le net, ça semble prouvé...
 
Ca me chamboule totellement mon sens mathématique ce genre de connerie.

C'est jamais rien qu'une curiosité, pas vraiment un paradoxe.
 
Moi, il y a des trucs qui me chamboullent plus que ça : par exemple la récurrence nulle : si je regarde un processus qui part à gauche avec probabilité 1/2, à droite avec probabilité 1/2 , et ceci chaque seconde (marche aléatoire symétrique simple), le temps de retour en zéro est fini, mais sa moyenne est infinie.
 
Ca, ça me choque...

Moi ca me choque que tu puisses nous faire croire que ce que tu viens de dire est comprehensible