Reprise du message précédent :

 
 
copy that  

oui, et à partir de quoi ?
sachant que ça n'est utilisé que si on connais la solution à un problème "homogène" (sans "second membre" ) pour en déduire la solution à un problème avec second membre.

et si j'impose y' =! 0 en x_0 ?
il y a toujours des problèmes à ce niveau en terme d'existence et d'unicité de solution

a priori, cela donne quelque chose (sauf erreur de ma part)
cependant, à part dans le cas b=0, il n'y a qu'une constante dont la valeur est "libre" (le coefficient de x dans le développement en série entière) ce qui est gênant pour un problème du "second ordre"
sauf pour le cas où b=0, on a alors y affine.

Oui en effet, c'est vrai que c'est une équation homogène, donc pas de méthode de la variation de la constante

Il n'y avait pas de conditions initiales imposées donc j'ai pris des libertés  

Je pense avoir trouvé quelque chose avec le développement en série entière, la suite (a_k) est (sauf erreur) définie par :
 
a_0 quelconque et a_k+1 = (b-k²)/(k+1)².a_k
 
Si je n'ai pas fait d'erreur, il est alors clair que cette série entière admet un rayon de convergence égal à 1.

tu devrais regarder du cote des eq. diffs pour les polynomes orthogonaux. Ton eq. diff. ressemble au cas des polynomes de Jacobi .

 
oui j'ai aussi trouvé un truc du genre, je pense que ça va le faire (croisons les doigts), merci
 
 
 
un grand merci à tous en tout cas
 
 
 
edit: euh, tu pourrais préciser l'histoire du rayon de convergence (sorry mais ça fait loin ces histoires ) ?

Le rayon de convergence R d'une série entière est le plus grand réel positif (éventuellement infini) tel que la série entière converge pour tout |x| < R, donc pour tout x € ]-R;R[ si x est réel, et pour tout x appartenant au disque ouvert de centre 0 et de rayon R si x est complexe.
 
On le calcule à l'aide du critère de d'Alembert, ou de Cauchy (au choix selon le cas), si je me souviens bien :
 
Critère de D'Alembert : On calcule la limite du module du quotient a_n+1/a_n quand n tend vers +infini, si elle existe on la note L
Critère de Cauchy : On calcule la limite de la racine n-ième du module de a_n quand n tend vers +infini, si elle existe on la note aussi L.
 
Concrètement, R se calcule ainsi : R = 1/L.
 
Ensuite :
Si L = 0, alors R = "1/L", et donc R = +infini  (ça converge absolument pour tout x réel ou complexe selon le cas)
Si L = +infini, alors R = "1/L", et donc R = 0  (ça converge donc uniquement pour x = 0)
Si L est finie et non nulle , alors R = 1/L est fini et non nul aussi
 
Et on a dans ce dernier cas que :
- La série entière converge absolument pour tout x vérifiant |x| < R
- La série entière diverge pour tout x vérifiant |x| > R
- Dans le cas où |x| = R, on ne peut pas conclure tout de suite, il faut alors étudier les cas où x prend les valeurs aux bornes de l'intervalle ou "en le cercle de centre 0 et rayon R".
 
Pour plus d'infos sur les séries entières et le calcul de leur rayon de convergence :
- http://74.125.39.104/search?q=cach [...] =firefox-a
- http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3% [...] onvergence
- http://c.caignaert.free.fr/chapitre11/node1.html
 
Dans le cas de ton équation différentielle, le fait que le rayon de convergence ne soit pas nul implique (il me semble) qu'il y a des solutions

waaa merci pour ce pitit cours

J'ai réussi à faire ce que je voulais alors encore merci

Sympa le numéro spécial de La Recherche "Jeux mathématiques". 400 énigmes mathématiques généralement solubles de tête ou avec très peu de calculs. J'en ai résolu quelques-unes, et il y en a pas mal d'autres qui résistent.

Parmis ceux que j'ai résolus (donc faciles):

Combien 67^2008 a-t'il de diviseurs entiers ?

Que vaut le produit des cos(n x pi/24) pour n=1...23 ?

Par contre, un que je ne vois pas, et que je soumets à votre sagacité:
si x = 1/2 + i racine(3)/2
que vaut x^999 ?

998 = 999 - 1
donc 998 pi/3 = 333 pi - pi/3 = pi - pi/3 = 2 pi/3 (bien sûr ce ne sont pas des égalités, tout ça modulo 2 pi quoi)
et je te laisse deviner la réponse

p: en fait dans l'énoncé, c'est 999 et non 998, désolé. Mais j'ai pas encore trop pigé où tu veux en venir pour l'instant.

Tu as mod(x) = 1 et arg(x) = pi/3.
Donc mod(x^999) = 1 aussi et arg(x^999) = 999 pi/3 = 333 pi.
Et comme 333 pi est congru à pi modulo 2 pi, en fait tu as arg(x^999) = pi.
 
Et des complexes de module 1 et d'argument pi, y en a pas 36

Ah ben oui, c'est plus clair comme ça

J'essaye de ne pas donner la solution complète de suite, que tu puisses réfléchir par toi-même un peu d'abord

Ouais, j'aurais dû trouver avec ton indication. Et même sans d'ailleurs.

Pour ceux qui aiment les problèmes de maths intéressants, en voici un en proba que, perso, j'aime beaucoup :

Bonne recherche

Remarque : C'est la fameuse réponse à la question : "Combien en moyenne dois-je acheter de boites de cette marque de céréales, où se trouve actuellement dans chacune 1 des N babioles pour enfant à collectionner, pour être assuré(e) de les avoir toutes ? (sans recourir au moindre échange avec une tierce personne, et en supposant que les babioles sont réparties équitablement)

Et la recherche de juillet 2008 : je vous passe le baratin en français, les équations sont :
x+y+z+t=xyzt=4,71.
 
Trouver x, y, z et t.
 
A par numériquement, je vois pas.

 
Si tu as besoin d'une unique solution, voilà comment je ferais :
 
Voilà ma méthode, x, y, z et t sont solutions d'une équation du quatrième degré
 
x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 = 0  
 
avec x+y+z+t=-a3  et xyzt=a0
 
Tu as une infinité de solutions : a3 et a0 sont imposés par le problème, a1 et a2 sont libres. L'idée est donc de choisir a1 et a2 pour que l'équation se factorise simplement, par exemple en prenant a2 = 0 et a1 = -1.
 
Tu as alors x^4 - 4,71x^3 - x + 4,71=0
soit (x-4,71)(x^3-1)=0
Et c'est gagné.

Je ne suis pas d'accord, surement car j'ai oublié de préciser que x y z et t devaient être tous positifs

 
J'avais deux racines positives, j'ai bon à 50%

 
J'avais pensé au coup de l'équation du 4e degres, mais j'avais pas poussé plus loin car j'ai voulu faire de tête dans le RER. N'empeche j'ai vérifié avec maple, et j'ai fait tout bon les deux autres enigmes

Allez, une dure pour les courageux:
 
s(p) est la somme des chiffres de p.
Que vaut s(s(s(2008!))) ?
 
J'ai un pote qui a trouvé la réponse en 2 mn, mais pas avec le "bon raisonnement".

Euh, soit j'ai mal compris l'énoncé, soit c'est tout bidon et la réponse se trouve en 2 secondes ?

Certes, mais il proposait simplement de trouver une solution au lieu de chercher l'ensemble des solutions.

 9 ?

Oublie pas le ! ... (factorielle 2008 )

 
En fait, ça serait bien d'avoir l'énoncé exact parce que tel que c'est posé ici, la solution est la surface (l'hyperboloide ?) d'équation xyzt=x+y+z+t=4,71 mais ça ne fait pas beaucoup avancer le débat
 
Si il faut des solutions toutes positives, ça suggère que l'énoncé ne demande pas toutes les solutions mais uniquement celles qui satisfont à certains critères.

 
C'est pas comme si ça changeait grand chose  

C'est pas dans ce genre de trucs qu'il faut compter modulo 9 et utiliser les propriétés d'arithmétique ?
Parceque j'ai déjà fait ca une fois avec 4444^4444 au lieu de 2008! mais je suis une quiche en arithmétique
 
Edit 1 : Je me rappelle que s(p) = p [9]

Rah oui j'avais pas vu

Pas bête. Ce résultat se démontre en remarquant que p - s(p) est toujours un multiple de 9.

Suis pas sûr qu'on puisse parler d'hyperboloïde en-dehors de R2.
 
M'enfin je pense qu'il faut s'abstenir de toute considération géométrique, les surfaces dans R4 c'est pas franchement trivial à se représenter  
 
Ce qui m'intrigue, c'est ce 4.71. Il sort d'où celui-là ?

Ouaip, mais le résultat demande une petite majoration (finalement, mon pote a trouvé).
Au passage, je n'avais jamais entendu parler de la "preuve par 9"...

Ayé j'ai retrouvé :
Alors sachant que s(p) = p [9]     (1)
Appelons X = s o s o s (2008!)
 
(1) => 2008! est congru à X modulo 9     (2)
 
Si A = a [9] et B = b [9]
Alors A*B = a*b [9]            (3)
 
(3) => 2008! = 2008 * 2007 * 2006 *...*1 = 1 * 0 * 8 * 7 *... [9] = 0 [9]
 
Donc X = 0 [9] d'après (2)
Bon en l'occurence on le sait tout de suite qu'il y a un facteur 9 dans 2008! mais par exemple pour 4444^4444  la propriété (3) est utile.
 
Donc on sait que X appartient à {9, 18, 27, 36, ...,} = {n * 9}
 
Reste à trouver à quel multiple de 9 X est égal. On va donc majorer le nombre de chiffres dans la réponse.
 
2008! est inférieur à (2000^1000) * (1000^1000)
< (10^4000) * (10^4000)
< 10^8000
 
Donc il y a moins de 8001 chiffres dans l'écriture de 2008!
=> s(2008!) < 8000*9
     s(2008!) < 80000
 
Il y a 5 chiffres dans 80000 donc  
[s o s(2008!) = s(80000) ] < [ 5*9 = 45 ]
s o s o s (2008!) < s(45)                                (i)
=> X < [ 2*9 = 18 ]
 
X < 18,  la seule possibilité non nulle plus petite que 18 c'est 9
 
Bon par contre je trouve bizarre c'est que si je remajore pas après la ligne (i) ca donne
X < s(45) soit X < 9    
 
 
En fait l'idée de compter modulo 9 ca vient du fait que, par un exemple en cherchant s(395) :
 
395 = 3*10^2 + 9*10^1 + 5*10^0
 
Nous on cherche à faire 3 + 9 + 5, donc à virer les puissances de 10
Or toutes les puissances de 10 sont congrues à 1 modulo 9
 
Je suis content parceque ce truc là on me l'a expliqué en 20 minutes y a un bout de temps et j'avais quasiment jamais fait d'arithmétique de ma vie. Enfin tout ca c'est si je me suis pas planté
 
Edit: En fait c'est con, de nos jour même (10^5)! Maple sait le calculer en moins d'une seconde

Je n'ai pas poussé le raisonnement rigoureusement jusqu'au bout avec la majoration, je me suis contenté du modulo 9   (j'étais au boulot )

L'hypothèse (1) est même trop forte en fait, il suffit de savoir que la somme des chiffres d'un multiple de 9 est aussi un multiple de 9. Comme c'est le cas pour 2008!, c'est le cas pour le nombre recherché de proche en proche.

edit : pour ce que tu trouves bizarre, celà vient du fait qu'après un certain nombre de compositions par s, tu finis toujours par obtenir 9. En effet, 2008! étant un multiple de 9, la somme de ses chiffres aussi. Ce nombre en étant un également, la somme de ses chiffres aussi. Et ainsi de suite. Quel que soit le multiple de 9 initial, tu finis par tomber sur 9 au bout d'un certain nombre de compositions, c'est-à-dire que l'implication a < b => s(a) < s(b) n'est pas vraie dans le cas général. Exemple : 9 < 18 mais s(9) = s(18).

En fait, si on sort du contexte des multiples de 9, la fonction s a même un comportement complètement bizarroïde, elle est tout sauf strictement monotone.

Un bon blog pour les matheux programmeurs:
http://alaska-kamtchatka.blogspot.com/

yop yop,
 
 
quelqu'un sait s'il y a une matrice "magique" qui diagonalise une matrice NxN "triplement diagonale" ?    *prie très fort*
 
les éléments Aij sont non nuls si  
i = j
i = j+1
i = j-1
 

 
 
marchi

C'est une matrice  de forme Hessenberg supérieure, tu peux au moins trouver les racines de son polynome caractéristique, partant de là il doit bien y avoir moyen de trouver quelque chose