Reprise du message précédent :
Peut être parce que c'est {0,1}

 
Z/2Z c'est l'ensemble constitué de (l'ensemble des nombres pairs) et de (l'ensemble des nombres impairs), muni d'une loi d'addition et de multiplication (avec les regles pair+impair=impair; impair*impair= impair etc....)  si on reste très formel. Après pour faire les calculs on peut assimiler tous les pairs à 0 et tous les impairs à 1 et donc on est isomorphe à l'ensemble {0;1} muni de l'addition et la multiplication binaire. Mais ceci est aussi isomorphe à l'ensemble {true,false} muni des lois "ou" et "et", on encore à {-1;1} muni de la multiplication et de l'exponentiation.
 
Tout ça pour dire que Z/2Z n'est pas formellement égal à {0,1} ou {-1;1} (muni des lois correspondantes) mais les calculs y sont identiques (ce sont des calculs binaires quoi...)

ok mais
 
d'un point de vue, disons, preuve analytique, comment j'arrive à {-1,1} ,{0,1} etc ?
 
je définie une projection canonique p, de Z dans Z/2Z; très bien
 
et je remarque que p(2Z)=0, super, donc ça me vire tous les relatifs multiples de deux
 
donc a priori dans Z/2Z, je n'ai pas zéro, mais j'ai tous els relatifs impairs ? donc pas juste deux éléments

Suffit que tu considères Z comme un anneau et Z/2Z comme un anneau quotient (avec 2Z etant l'ideal par lequel tu quotiente), ce que tu fais c'est commencer avec Z comme anneau, et tu imposes la relation d'équivalence que deux éléments sont équivalents si leur différence (additive) est dans 2Z, donc si tu prends [0] (la classe d'équivalence de 0) tu obtiens 2Z (les nombres pairs), et si tu prends [1], tu obtiens 2Z + 1 (la classe suivant 2Z de 1 (a gauche ou à droite, c'est pareil ici)).
Ca forme une partition de ton anneau Z (vu que chaque élément est soit pair soit impair) donc ton groupe quotient devient naturellement {0,1} sous addition et multiplication (ensuite tu peux dire que c'est isomorphe à {1,-1} sous multiplication et exponentiation avec l'isomorphisme phi défini par phi(g) = (-1)^g car phi(0)=1, phi(ab)=(-1)^(ab) = ((-1)^a)^b = (par "chance" ) ((-1)^a)^((-1)^b) = phi(a)^phi(b) et phi(a+b) = (-1)^(a+b) = (-1)^a (-1)^b = phi(a)phi(b), ce qui montre bien la correspondance addition -> multiplication et multiplication -> exponentiation )

Sinon tu peux aussi voir l'anneau quotient Z/2Z comme l'image du groupe Z sous l'homomorphisme psi : z |-> z mod 2, ce qui montre bien que ses deux éléments sont 0 et 1 avec addition modulo 2 et multiplication modulo 2.
En fait, ta projection canonique elle envoie tous tes pairs à 0 et tous tes impairs à 1, ce qui te donne l'anneau avec deux éléments {0,1}.

Bonjour à tous   ,
 
J'ai un petit problème de probabilités à résoudre et j'aimerais connaître votre opinion:
 
1) Soit 18 lettres (de A à R) dont l'ordre est le suivant: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q et R  
 
     Après un tirage au sort de toutes les lettres, quelle est la probabilité pour que de 0 à 18 lettres changent de place?
 
     En cherchant un peu, j'ai trouvé la formule et les résultats suivants:
 
     p(k) = C(n,k) a(k) k! /n! = 1/(n-k)! Som ((-1)^i / i ! , i=0..k)
 
     Pour n=18:
     p[0] = 1/6402373705728000, p[1] = 0, p[2] = 1/41845579776000, p[3] = 1/3923023104000, p[4] = 1/232475443200,  
     p[5] = 1/16982784000, p[6] = 53/68976230400, p[7] = 103/11176704000, p[8] = 2119/20901888000,  
     p[9] = 16687/16460236800, p[10] = 16481/1806336000, p[11] = 1468457/20118067200, p[12] = 16019531/31352832000,  
     p[13] = 63633137/20756736000, p[14] = 2467007773/160944537600, p[15] = 34361893981/560431872000,  
     p[16] = 15549624751/84536524800, p[17] = 8178130767479/22230464256000, p[18] = 138547156531409/376610217984000
 
     Est-ce que vous pouvez me confirmez que c'est bien ça?
 
2) Ensuite, je dois utiliser la même formule avec n=15 et k=0 à 15.
 
    Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer comment calculer les résultats avec Maple?
 
Merci d'avance   ,
Julien

 
Je comprends pas très bien ta question...  
 
quelle est la probabilité pour que de 0 à 18 lettres changent de place?
 
En gros, tu fais un tirage sans remise, tu mets les lettres dans l'ordre et tu veux genre savoir quelle est la probabilité pour qu'elles soient dans l'ordre du début, puis avec un seul changement par rapport à l'ordre du début, puis deux changements...
 
Le truc qui me chagrine dans tes chiffres là, c'est que la proba de tirer toutes tes lettres dans l'ordre (ce que tu note P18 si j'ai bien compris), c'est :
 
P18 = nb de cas favorables / nb de cas possibles = 1 / nb de tirages possibles = 1/18!, ce qui fait pas beaucoup du tout

La probabilité que toutes les lettres sortent dans l'ordre, c'est la probabilité pour que zéro lettres changent de place, et c'est P(0).
P(18), c'est la probabilité qu'elles changent toutes de place.

 
Ah ok  

 
J'ai vérifié à l'arrache p[18] on a bien (nombre de dérangements pour 18 éléments)/18! =ta valeur, en prenant comme source pour le nombre de dérangement http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000166
D'ailleurs plus bas tu as la formule des permutations de n éléments à k points fixes

si tu veux comparer

 
Normalement il y a pas à réflechir, il suffit de vérifier que les opérations coïncident bien sur les ensembles (preuve algébrique donc, rien d'analytique). Mais comme les isomorphisme avec Z/2Z; {0;1} et {-1;1} sont assez naturels (et illustre bien le quotientage d'un groupe ou anneau) je vais détailler
 
Isomorphisme entre ((Z/2Z),+,*) et ({0;1},+,*)
Si on note x~y la relation "x congru à y mod 2" (relation d'équivalence) on appelle comme tu l'as dis Z/2Z l'ensemble {[x]; x€Z} où [x] est la classe de x ([x]={y€Z ; x~y}) ensuite on peut définir les relations + et * sur Z/2Z comme [x]+[y]=[x+y] (et c'est bien défini, ca ne dépend pas des représentants x et y des classes [x] et[y] choisis). En enlevant les redondances dans la définition de Z/2Z  ([0]=[2]=[4]=... et [1]=[3]=....) on décrit tout avec quelques opérations du genre [0]+[1]=[0+1]=[1]; [1]+[1]=[2]=[0] etc... Bref exactement les opérations binaires sur {0;1} (0+1=1; 1+1=0 etc...) en assimilant [0] à 0 (bref en assimilant tous les nombres pairs à 0 à 0 qui les représente bien pour les opérations usuelles, tant qu'on ne considère que le caractère pair ou impair des nombres)
(remarque: on peut aussi dire que 0 est la notation du neutre de l'addition et 1 le neutre de la multiplication dans un anneau, et là on peut vraiment écrire Z/2Z = {0;1} car c'est un anneau avec juste deux éléments, ie les neutres des 2 lois.. mais ce sont juste des notations)
 
 
Isomorphisme entre ((Z/2Z°,+,*) et ({-1;1},*,^)
Ici c'est simple on sait que exp(x+y)=exp(x)exp(y) (bref fonction parfaite pour un morphisme) et l'image de Z/2Z par la fonction (x->exp(i*pi*x)) est {{-1};{1}}, que l'on peut munir des opérations + et ^ en l'assimilant à {-1;1}

 
Merci. Ça confirme donc la formule.
 
Maintenant, j'ai besoin de calculer les probabiltés pour n=15 et k de 0 à 15, mais je n'arrive à utiliser Maple.
Est-ce que quelqu'un pourrais m'expliquer comment trouver le résultat avec Maple ou d'une autre manière.
 
Merci

Bonsoir, j'ai fait des recherches non concluantes sur google alors je vous soumet mon petit problème:
 
Une petite question: quelles sont les méthodes pour résoudre de façon approchée avec une méthode d'analyse numérique, un système d' équations différentielles ordinaire quelconque avec des conditions initiales à des points différent:  Par exemple, le problème de Cauchy suivant:
 
x'= 2y
y' = 3x
 
avec x(1)=1 et y(2)=2
 
à résoudre entre 0 et 10. Dans la pratique j'ai des systèmes avec une trentaine de variables, il me faut donc une méthode acceptable du point de vue rapidité. Je crois me rappeller de noms de méthodes qui utilisent les différences finies ou éléments finis, quelqu'un pour m'éclairer, me donner un lien pertinent ?

 
Si c'est pas plus compliqué que ton exemple, ça se résoud très simplement. Ton système se ramène à deux équations ultrasimples du second degré à variable séparés, ça va te donner des solutions pour x et y dépendant de deux paramètres chacunes, puis il n'y a plus qu'à réinjecter les solutions dans les équations et à utiliser les conditions initiales pour fixer les paramètres.

en fait le truc c'est que je résoud numériquement avec des méthode style Runge Kutta Felhberg. J'ai donc aucune solution d'explicitée

Le truc le plus basique s'appelle Méthode d'Euler il me semble, et en gros on calcule numériquement X(t+epsilon) à partir de X(t) et dX/dt, où X désigne le vecteur qui contient ta trentaine de variables

Numerical Recipes nomme des méthodes comme Bulirsch-Stoer, réputée très précise (les codes de simulation d'orbites astronomiques l'utilisent souvent), mais bon, c'est pas forcément efficace pour 30 variables séparées.
(Numerical Recipes est un bon point de départ en général.)

mais

Va dormir toi

 
A l'aide d'une matrice 2x2 dont on cherche les valeurs propres puis les sous-espaces propres associés à chaque valeur propre. Temps de la méthode : à peine plus de 5 minutes...
 
Sinon méthode : y' = 3x => y'' = 3x', or x' = 2y  => y'' = 6y et hop équa diff en y''+w²y = 0...
 
Edit : Oups, par méthode approchée, pas vu, sorry

 
dy/dx=3x
donc dy=3xdx
etc...
 
si dx est un epsilon genre 0,1 . On doit pouvoir approximer avec une calculette programmable. J'ai vendu la mienne (casion 8800 ) sinon j'aurais essayé...

Si tu as beaucoup d'équations couplées (une trentaine) il va de toutes façons être fin sur la manière de coder tout ça. Je conseille un matlab ou assimilé (scilab etc. voir le topic de Ben_be pour des suggestions) pour traiter ça de manière matricielle.
de toutes façons il faudra découper l'intervalle de temps en petit intervalle dt (et donc numéroter par "n" chaque "instant" )
numerical reciepies in fortran 77 propose : Les diverses méthodes d'Euler (implicite, explicite, adams moutlon), Du runge Kutta à tous les ordres (les classiques 2 et 4, je crois avoir vu 5 et 6), du pas de temps adapté (à ne jamais utiliser sauf quand il faut l'utiliser.)

Mais en pratique, avec beaucoup d'équation couplées, il faudra écrire sur le disque, et ne pas garder ton bouzin dans la ram. (c'est ce genre d'astuce qui fera la différence en terme de vitesse, avec la manière d'utiliser ton langage de programmation ou ton logiciel, affectation des variables, geekeries sur les matrices et les commandes spéciales matrices de matlab et consors etc.), pour un truc sur le pouce, autant faire un petit Runge kutta à l'ordre 2.

Numerical Reciepies in FORTRAN 77 propose du code en FORTRAN 77, mais il ne faut évidement pas recopier (parce que ça ne marchera pas et tu risque de ne pas comprendre pourquoi. Sinon, dans toutes les bonnes BU, tu as "analyse numérique, une approche mathématique" qui est très bien, et qui explique tout ça à la fin (et qui explique au début les trucs qui pourront éventuellement te servir.)

Seigneur, mais quel rapport avec les équations données par Grobelny?  

je sais pas, peut être la résolution numérique d'EDO
(vu qu'on a des fonctions du "temps" ou autre paramètre du genre)

Merci pour vos précisions. Numerical Recipes à l'air d'être un ouvrage bien adapté à mon cas, je vais voir à l'acheter.  
 
En fait j'ai déjà codé toutes les méthodes de façon rapide, ce qu'il me manque c'est vraiment la méthodologie pour les équations aux conditions limites et non plu initiales. Je résouds mes systèmes à 30 voir 50 variables avec divers méthodes que j'ai codé: Runge Kutta Felhberg (RK45), Cash Karp, RK78, Euler, RK2, Heun, Gills ... Avec un code correct et multithreadé la simulation prend guère plus de 20 secondes pour des gros systèmes (avec delay ODE). Mon problème concerne vraiment uniquement les systèmes avec des conditions aux limites.
 
@joran quand tu parles de pas adapté, tu fais référence au pas adaptatif ? Pourquoi précises-tu qu'il faut l'éviter sauf cas particuliers ? C'est pourtant beaucoup plus performant. J'ai implémenté le pas adaptatif via RK Felhberg, RK CashKarp et RK78 en minorant une erreur relative et une erreur absolue et je ne vois pas dans quel cas ne pas l'utiliser.

c'est lourd à mettre en oeuvre, pour ce que ça apporte, ça ne vaut à mon avis pas le coup. Je trouve que c'est une solution naïve au problème (comme les adaptations de maillages)
(d'ailleurs numerical reciepies, je sais pas si ça été précisé, mais tu peux le consulter sur le net.)

T'entend quoi par conditions aux limites ? des contraintes "extérieures" sur tes 30 variables ? (je suppose que tu ne parles pas de ta condition initiale)

ok

donc je fais un morphisme entre Z/2Z et {0,1} avec
[2Z]=[0]->0
[2Z+1]=[1]->1

avec [0]+[0]=[0]
[1]+[0]=[1]
[1]+[1]=[0]
mais en quoi cela montre que c'est un isomorphisme ??

Pour dire qu'une fonction est injective, ça suffit de dire que pour tout x et y différent, alors f(x) est différent de f(y) ??

 
Si la fonction est définie dans l'intervalle où du prend tes données, et si x et y font partie de Df , les difficultés sont à ce niveau là pour les histoires d'injection et tout le tralala, c'est pas des questions compliquées pour les fonctions classiques.

On met a part les domaines définiton à part
Mais tu ne réponds pas à ma question ^^
 
La définition c'est "f est dite injective si pour tous x et x' dans X, f(x) = f(x') implique x = x'" mais "f est dite injective si pour tous x et x' dans X, x différent de x' implique f(x) différent de f(x')" est il aussi vrai??
 
edit: oui
http://fr.wikipedia.org/wiki/Injec [...] atiques%29

 
Je n'ai pas voulu répondre parce que en général on donne ces exercices avec des contre exemples qui marchent pas parce qu'on est pas dans un Banach et toussa, je suis pas un spécialiste, c'est de biens vieilles réminiscences. Mais injection, surjection, bijection, ça doit être intuitif d'après mon vieux prof de math. L'aspect ésotérique des termes est trompeur.  
A quoi sert ta question, quelle est la fonction?

C'était pour une fonction strictement croissante: est elle injective?
 
Oui car x différent de y, si x<y alors f(x)<f(y) et dc f(x) différent de f(y).
Et là j'avais du mal à me convaincre que "f injective si x différent de y => f(x) différent de f(y)" puisqu'en général on donne la définition dans l'autre sens. Mais wiki confirme ce sens pour la définition, donc c'est ok.
 

 
Ok

Plus généralement, tu aurais peut être intérêt à te documenter sur la contraposée ...

Euh, je comprends pas ta réponse là, ce qu'il donne est bien la définition d'une fonction injective, c'est pas un exercice, et ça a rien à voir avec le fait que la fonction soit définie sur un Banach ou sur autre chose.

 
C'est bien que tu me le dises! Je m'interrogeai justement hier si il n'y avait pas une histoire de contraposé derrière tout ça pour prouver/arriver à ce résultat.
Je ne sais pas si wiki est en mesure de m'éclairer dessus...

Oui, ou en général, (A → B) ⇔ (¬B  → ¬A)

 
Bah je guettais la question piège, sinon y a pas de problème, c'est gentil l'injectivité en général  

 
 
comment fait on pour écrire des formules comme cela ?