Reprise du message précédent :
Une possibilité :
Je considère la forme linéaire g définie sur Mn(IR) par g(A)=tr(f(A)).
Il est clair que g(AB)=tr(f(AB)))= tr(f(BA))=g(BA).
Un théorème affirme alors que g est un multiple de tr : il existe un scalaire k tel que pour tout endomorphisme A, g(A)=ktr(A). (on trouve ceci par exemple chez Arnaudiès).
De plus, g(In)=tr(f(In))=tr(In)=n et g(In)=ktr(In)=kn, d'où k=1.
Donc g(A)=tr(A), ce qui montre que tr(f(A))=tr(A) : f conserve bien la trace.

C'est à mon avis le point génant de cette résolution, elle se base sur un resultat à démontrer en plus (parce que ça n'est pas "du cours" ), qui n'est pas forcement trivial.
on déplace juste le problème.

Oui mais c'est uen exercice assez classique, c'est bien de connaître ce truc en prépa. Ceci dit, je sais plus comment on le démontre.

  tu te ferais défoncer à l'X
heureusement que tu n'as plus à passer les concours

 
Sinon tu peux essayer de cette façon : montrer que c’est vrai pour les matrices diagonalisables, puis utiliser la densité dans Mn(C) et la continuité de f.

Bonjour.
 
J'aurais besoin d'un petit rappel mathématique, mais j'ai l'impression que mon problème n'est pas si simple que ça    
Bref. En gros, je veux chercher LE chemin le plus cours sur un parallélépipède, qui va d'un point A sur une des face, vers un point B sur la face opposée. (A et B sont fixes).
Donc, je me suis dit, tout bêtement : tu crées 3 points sur les trois arrêtes où tu passes, et hop, tu fais une dérivée sur le tout /o/ (le chemin le plus cours n'est pas en ne passant que par 2 faces).
Bref, j'ai calculé les 4 distances(du point A au point sur la première arrête, du point B au point sur la seconde arrête ...), et ainsi, faire la somme des 4 distances me donne la distance du point A au point B en passant par mes autres points. Et il ne me reste plus qu'à faire bouger mes points intermédiaires pour trouver le chemin minimum \o\
Donc, mes 4 distances sont dans l'espace, et donc ... il faut que je la fasse comment ma dérivée, là ?    
 
Si vous avez besoin de précisions (je sais pas si j'ai été clair   ) ...

Tu peux essayer d'aplatir ton pavé, en dessinant son patron, et là tu traces ta ligne droite

 
Han °o°
Comment t'as cassé mon siouper dur problème °o° Effectivement, ça donne la meilleur solution.
Par contre, mon problème précédent, il peut se résoudre comment ?  

les matrices inversibles sont denses dans Mn(IC), ça je savais, par contre, la même chose pour les diagonalisables, ça me dit rien... on est censé voir ça à quel niveau ? j'ai raté quelque chose ?

Hmm souvenir de taupe. Tu dois pouvoir le démontrer en trigonalisant la matrice et ensuite en passant de façon continue d’une matrice à valeurs propres distinctes à une matrice quelconque en ajoutant des epsilons aux valeurs propres.

C'est même écrit dans le merdix d'algèbre p.268    
Et on a mieux, Int(Dn(C))= {ensemble des matrices de Mn(C) ayant n valeurs propres distinctes} est dense dans
 Mn(C)    

 
Des "distances dans l'espace" ça n'existe pas : une distance, c'est une réel. Tu as tes trois distances qui dépendent de deux variables (la position de l'intersection sur chacune des arrêtes), donc tu peux additionner les trois distances et dériver la somme des trois en fonction de chacun des variable, puis trouver la liste des minimums locaux afin d'arriver à la solution proposée plus haut.

 
Calculer une distance dans l'espace est tout à fait possible ... et ça ne l'empêchera même pas d'être réelle.
Ensuite, non, je n'ai pas trois distances, mais 4. Ce qui fait que non, je ne peux pas faire trois dérivées peinard pour arriver à la solution (qui ne sera pas la bonne).
La solution de jpl38 marche complêtement. Mais, j'aurais voulu avoir un rappel sur "comment ça marche la dérivée (gradient ?) sur mon équation avec mes quatres distances/équations (qui sont liées) ?"

La dérivée se fait sur la distance totale, qui est la somme des quatre distances. Ensuite, faut comparer avec le cas où tu ne passes que par trois faces, parce que ce sera quand même souvent le cas.

tu ne trouves pas gênant d'utiliser l'analyse pour traiter une question purement algébrique ? le résultat doit être vrai dans des cas où la topologie n'intervient pas. Ce genre de démonstration est commode, mais c'est une facilité car cela masque la généralité du problème, et ne le traite que dans un cas particulier.

Ya bien que des mathématiciens pour se poser ce genre de question  

Est-ce qu'on vient me faire chier si je plante un clou avec un tournevis, du moment qu'il est bien planté ?

Ouais enfin bon à l'oral de Mines-Ponts tes matrices elles sont à coefficients dans R ou C, au pire dans Z/nZ mais pas dans cet exo à mon avis. Et puis au contraire c'est bien de ne pas cloisonner les différentes parties des maths, et de voir qu'on peut mettre de la topologie sur des structures algébriques par exemple.

 
Cf. Hephaestos et Fixio. Le dogmatisme est une position contre-productive. Le richesse et la compréhension proviennent de la multiplicité des points de vue.

 
Avec ce genre de réflexion, on se retrouve vite le bec dans pour, par exemple, le théorème principal d'algèbre.
 
Pour la question d'origine, ça sent effectivement le résultat de densité. L'exercice est peut-être même dans un des Gourdons, mais je les ai pas sous la main.
 
++

Ya bien qu'un physicien pour répondre ainsi à ce genre de question.
Continue à planter tes clous, si cela suffit à ta soif de connaissances.

Pas la peine de s'énerver

Justement le théorème fondamental de l'algèbre est tout sauf algébrique.
Et la question d'origine ne sent pas la densité, vu que le résultat est vrai dans tout corps commutatif. Essaie donc de le prouver dans Z/7Z avec un argument de densité.
Ceci dit, il est vrai que la multiplicité des points de vue est un réel enrichissement en mathématiques. Mais je persiste à dire que pour notre problème une démonstration utilisant la topologie est au contraire une mutilation car valable uniquement dans des corps particuliers.
Par ailleurs, les maths ne se résument heureusement pas à l'oral du concours des mines.

Je ne m'enerve pas, je réponds avec ses arguments    
peut être comprendra-t-il ?

Ah ça quand il s'agit de parler de maths inutiles de taupe, ça se bouscule au portillon par contre pour ma question, y'a plus personne. Elle est belle la jeunesse française.
 

Sans sortir de lapin du chapeau, et sans analyse ... :  
Mij est la matrice dont tous les éléments sont nuls, sauf à l'intersection de la ligne i et de la colonne j, où on trouve 1.
On voit que MijMjk=Mik et que MijMlk=0 si j et l sont différents.
Alors f(Mik)=f(MijMjk)=f(MjkMij)=f(0)=0 si k et i sont différents.
De même f(Mii)=f(MijMji)=f(MjiMij)=f(Mjj).
On a donc f(M11)=f(M22)=....=f(Mnn)=M.
Si A=(aij) est une matrice quelconque, f(A)=f(sigma(aijMij)=sigma(aijf(Mij))=sigma(aiif(Mii))=sigma(aiiM)=tr(A)M.
Mais In=sigma(Mii) d'où In=f(In)=sigma(f(Mii))=nM.
Ainsi, M=(1/n)In, et alors tr(f(A))=tr((tr(A)/n)In)=tr(A)

 
 
Là c'est plutôt des hameçons que je plante  

 
Pour le cas où je ne passe que par 3 faces, je m'en fous vu que ce n'est pas le plus cours chemin (dans mon cas précis)
En ce qui concerne la dérivée, j'ai 4 segments, qui ne sont pas forcément alignés (même si au final, la solution optimale sera une droite). J'ai donc 3 variables.

Bonjour
 
J'ai un souci sur un exo, qui est de determiner les dérivées successives de (x^(n-1))ln(x)
 
J'ai essayé par Leibniz, mais ca finit jamais, sinon de developper chaque dérivée à la main, mais ca donne rien...
 
Si vous pouviez m'aider
 
Merci

bah, moi je vois pas grand chose d'autre que Leibniz. on connaît une expression explicite de toutes les dérivées de x^(n-1) et de celles de ln(x), donc ça va être un peu moche, mais ça se fait...

Pourquoi cela ne finit jamais ? la dérivée est de la forme un polynôme fois ln(x), avec le degré du polynôme <= n-2, donc ça va finir un jour. Après, les formules générales doivent être bien moches ...

 
Tu as quatre réels. Tu fais la somme. Tu dérives. Le fait que les réels en question soient les longueurs de vecteurs pas alignés ne changent pas grand chose.

 
Il évoque une propriété algébrique (la clôture "algébrique" d'un corps, le mot n'est pas là pour rien). Ses démonstrations passent par de l'analyse en général (wikipedia dit qu'on ne connaît pas de preuve ne faisant pas appel à l'analyse, mais j'avais entendu parler d'une preuve algébrique -du moins dans la gueule- dans le cadre de la théorie de Gallois... après c'est probable que de l'analyse intervienne par si par là, donc ça ne contredit pas wikipedia)
 
edit: après c'est vrai qu'il n'est "fondamental" que du point de vue des propriétés de C, donc en analyse (en algèbre on évite de faire de C un cas particulier, en parlant à la limite des corps algébriquement clos en général). C'est donc un "théorème fondamental portant sur une propriété algébrique de C"
 
edit2: ah bah wikipedia évoque une preuve quasi-algébrique:
"Il existe une preuve presque purement algébrique du théorème fondamental de l'algèbre, valable dans tout corps réel clos (elle utilise seulement le fait, découlant du théorème des valeurs intermédiaires, que tout polynôme à coefficients réels et de degré impair possède une racine réelle). Voir Alain Bouvier & Denis Richard, Editeur Hermann, ISBN 2705613838 (Ouvrage épuisé)."

En deux siècles, on a cherché à limiter le rôle de l'analyse (diable, il s'agit d'un théorème sur les polynômes, objets algébriques), mais on n'a pas pu l'éliminer complètement. C'est dans la nature des choses : l'analyse est obligatoire pour le démontrer. La continuité intervient dans toutes les démonstrations (et il y en a beaucoup), d'une façon ou d'une autre.

Cet exemple devrait peut-être ammener chacun à réfléchir sur la pertinence des séparations algèbre/analyse.

Faire intrevenir l'analyse là où elle n'a rien à faire est une double faute:
faute de méthode (ça limite la portée de la démonstration, et ça rend la situation confuse))
faute esthétique (c'est très moche)

Pourquoi prendre ce ton docte pour parler d'esthétique en mathématiques ? Le concept de "beauté" d'une preuve est-il réellement pertinent ?

Clair la plus belle démo c'est la plus courte c'est tout

 
Si une propriété est énoncée sur R ou sur un de ses enfants (même obtenus par définition algébrique, comme C est un objet algébrique une fois qu'on suppose donné R) l'utilisation de l'analyse est justifiée, même si le résultat est vrai pour d'autres corps (ou leurs "enfants" ) et donc "généralisable". Tout simplement parce que la preuve algébrique est peut être introuvable, ou inexistante! (en pratique il y a quand même une sacrée différence entre les polynômes -pour rester dans le domaine- construits sur Q et ceux construits sur R, parce que sur R il existe une équivalence fonctionnelle (et donc analytique, on est sur R) avec l'évaluation d'un polynôme -sur Q aussi, mais elle donne pas grand chose je pense)
Donc "faute de méthode" non, on démontre et c'est tout (c'est déjà pas forcément simple). Quand à "moche" c'est juste subjectif... Au contraire démontrer analytiquement quelque chose alors qu'on ne pensait pas à priori à l'analyse, c'est admirable souvent.
Et le théorème fondamental de l'algèbre est un énoncé algébrique je le redis. (simplement on suppose R défini, et sa définition est à la base de l'analyse, mais ça c'est pas nouveau.. mais R reste historiquement au moins un corps essentiel de l'algèbre)

Pour le premier point, l'origine de la discussion  est le problème de lezébulon20001, sur la trace. Le démontrer par des méthodes d'analyse c'est à mon sens passer complètement à côté de la question. C'est faire intervenir des hypothèses qui n'ont rien à voir avec la véritable nature du problème et utiliser des outils disproportionnés par rapport à sa simplicité. Je n'ai rien dit d'autre.
Pour le deuxième point, je suis d'accord, l'analyse permet par exemple de très belles démonstrations en arithmétique.  
Pour le troisième point, je ne vois pas en quoi le théorème fondamental est plus algébrique que l'existence d'un seul zéro pour la fonction logarithme, ou que la non existence de zéros pour la fonction exponentielle sur IR.
Par contre, les conséquences qu'on en tire sont algébriques , comme dans tout corps algébriquement clos.
Mais ce qui me chagrine le plus, et ce que je trouve moche, c'est de ne pas utiliser les hypothèses minimales. C'est bien sûr totalement subjectif, et de l'ordre de l'opinion ...

Certes dans cet exemple il existe une preuve algébrique abordable. Mais ce n'est pas toujours le cas, ou on ne peut bien souvent pas le savoir à priori. C'est le côté dogmatique qui me gène.  
 
Car je signale que la QUESTION portait sur R, et non n'importe quel corps K(ou corps de caractéristique nulle ou autre). Tu peux donc blâmer la question , non la solution (tant qu'elle est simple... évidemment si c'est pour le principe d'utiliser l'analyse alors que c'est pas du tout approprié au problème et très complqiué, je suis d'accord). Car la question peut très bien se poser dans un contexte d'analyse (d'ailleurs il semblerait que pour toi toute question sur une propriété à priori liée à R soit une question d'analyse...).
 
La "méthode" (si t'en es qu'il y en ait une) serait de résoudre le problème de façon claire, puis seulement de chercher une généralisation indépendante des particularités de R et de ses enfants. Très souvent la première étape permet de comprendre les choses (typiquement: je passe par Mn(C) pour démontrer quelque chose dans Mn(R) -> la notion de clôture algébrique est importante, je peux l'utiliser dans le cas général. Pourtant j'ai réfléchi à partir du théorème de d'Alembert-Gauss, qui est un théorème d'analyse selon toi), et est indispensable si le problème général est obscur à nos yeux.
 
(sinon désolé d'être têtu, mais pour moi "Q(sqrt(2)) n'est pas algébriquement clos" et "R(sqrt(-1)) est algébriquement clos" je vois dans les deux cas des énoncés algébriques. Après je ne prétends pas que le théorème de d'Alembert-Gauss est purement algébrique à cause de l'utilisation de R, mais il s'agit clairement d'une passerelle monumentale entre l'algèbre et l'analyse. C'est plus explicite avec un autre théorème "Si F est un corps commutatif s'équivalent: "F n'est pas algébriquement clos, mais sa clôture algébrique est une extension finie de F." et "l existe un ordre sur F pour lequel le théorème des valeurs intermédiaires est vrai pour tout polynôme sur F." )

Il n'y a aucune faute si le résultat est correct.