Reprise du message précédent :

Je l'aime beaucoup celle-là
 

OMG j'espère que c'est une faute de frappe.  
 

Oui, mais ça ne définit pas une relation d'ordre (ce n'est pas antisymétrique).

Toujours pas.  
 

 
Bah non, il n'y a pas de relation d'ordre sur C. C'est dur mais c'est comme ça.

 
 
La norme est différente de la valeur !!!
 
Je parle d'un ordre de valeurs !
 
Contrairement à ce qu'on fait dans R, on ne peut pas introduire la notion d'inégalité dans C, donc impossible d'avoir un ensemble ordonné dans le sens de R !
 
Il est impossible de placer sur un axe les différentes valeurs des nombres complexes !

C'est assez fascinant en effet...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3 [...] G%C3%B6del
 
 
 
Et si !
L'ordre lexicographique, mais il sert à rien...

Et tout ce que vous racontez à propos de la continuité, dérivabilité, etc... est vrai, mais uniquement dans R
 
Mais on ne va pas commencer à tout brouiller dans sa tête avec le reste pour le moment !

Ah? Qu'est-ce que c'est cet ordre, je ne vois pas bien?

EDIT: en fait je corrige ce que j'ai dit, il n'existe pas de relation d'ordre sur C compatible avec les lois d'addition et de multiplication, donc en gros pas de relation d'ordre "utile" comme tu l'as dit.

Celui du dico :  
On classe selon la partie réelle, et si elle est égale, on fait ça selon la partie imaginaire.

Ca établi un classement, mais ça ne démontre en rien l'inégalité de deux nombres complexes...
On sait juste que a+ib = c+id ssi a=c et b=d

Ca fait une page que je lis plus, ca me fait peur

 
Oui, mais c'est vrai que c'est bien une relation d'ordre au sens mathématique.

On ne peut donc pas créer une droite des complexes comme on a créé une droite des réels, où chaque réel a sa place unique entre deux autres réels et où ils sont comparables...

Tout à fait    
j'ai bien précisé que cet ordre ne sert pas à grand chose car il n'a pas les propriétés utiles de l'ordre de R.
 
Mais ça reste du point de vue mathématique un ordre total (et heureusement, on serait bien emmerdés pour faire des dictionnaires sinon)

ok, je comprends ce que tu voulais dire, et je suis d'accord avec toi
 
 
Bon, pour jouer avec la continuité, on l'extrapole dans R^n ?

La continuité dans R^n ?
Rien de bien compliqué, on remplace les valeurs absolues par des normes...

ouf non... on introduit le concept de dérivabilité partielle, de continuité partielle, de différenciabilité et enfin de continuité totale...

oui c'est bon ! pas besoin de plus !

Dans ce cas c'est l'ensemble des réels positifs qui est ordonné.

Mais ceci dit on peut trouver des ordres partiels un peu partout.

kikoo  

J'ai quelques questions sur les bornes sup/inf  que je maitrise pas totalement
j'ai A+B = {a+b/(a,b)€AxB}, avec A,B non vides majorés, et je dois trouver Sup(A+B).
Déjà 1ere question : comment un bon ferait pour torcher ça ?  
Ensuite j'ai voulu le faire selon la caractérisation du cours, je dois donc montrer, en posant M=Sup A + Sup B :
M majore A+B (je l'ai fait)
Pour x €R < M, il existe un élément de u de A+B tq x < u. Bon là je traite 2 cas :
1. x €A+B, donc x = a + b avec a€A et b€B, donc en caractérisant de meme les bornes sup de A et B, j'arrive facillement a demontrer ce qu'il faut.
2. x € R\(A+B) : là déjà je bloque parce que déjà je sais pas si j'ai forcément x minore A+B, ou si il est possible que x majore A+B (je dirais non à 99% mais bon). Et en suite je suis un peu paumé, c'est quasimment achevé nan ? Si x minore A+B "strictement" n'importe quel élément de A+B majore "strictement" x, donc c'est torché, mais je suis pas convaincu  

Bref j'ai deux questions :
Comment démontrer ce résultat rapidement (ça m'a l'air bien long pour un truc qui est intuitif) ?
Que faire pour finir proprement ce que j'ai commencé ?

voilà thx  

Une fois que tu as intuité le résultat, il s'agit de montrer l'égalité entre deux expressions à base de bornes supérieures. Dans ce cas, il est plus efficace de montrer les deux inégalités, en utilisant le fait que le passage à la borne supérieure conserve les inégalités larges.
 
1) x€A+B donc x=y+z, y€A, z€B. Or y<=sup A et z <=sup B, donc x <= sup A + sup B, donc sup(A+B) <= sup A + sup B
2)y+z €A+B donc y+z<=sup(A+B). À z fixé, c'est vrai pour tout y€A, donc sup A + z <= sup(A+B). Puis c'est vrai pour tout z€B, donc sup A + sup B <= sup(A+B)
 
Cela te donne l'égalité.  
 
C'est normal que des résultats sur les bornes supérieures et inférieures qui paraissent bateaux soient long à redémontrer. Si tu es très à l'aise et que ça se voit, tu peux passer vite sur certaines étapes, par exemple à l'oral (je parle en taupin hein) mais il y a quand même quelques pièges ...

ok thx  

edit : en fait je capte pas dsl
le 1) pas de pb
mais pour le 2) je capte pas le "y+z €A+B donc y+z<=sup(A+B). À z fixé, c'est vrai pour tout y€A, donc sup A + z <= sup(A+B)"
Je suis d'accord on a bien (y+z)<=Sup(A+B), et y<=Sup(A), mais comment tu en déduis que Sup A + z <=Sup(A+B) ?

si je prend une suite y_n de A qui converge vers sup(A), pour tous les y_n, on a y_n+z=<sup(A+B)
je passe à la limite, l'inégalité reste.

Ok je comprend là
Le blème est qu'on a pas vu ça en cours et que le prof faut 0 ou pas loin direct si on utilise un truc pas vu et pas démontré    
Donc du coup j'utiliserai la methode relou qui rapporte des points

C'est une propriété très sympa des bornes sup, elles gardent les inégalités larges (par passage à la limite, comme dit joran)
 
Si tu as du mal à voir, écris y <=Sup(A+B) - z. Le membre de droite est une constante, majorant l'ensemble B, donc sup A <=Sup(A+B) - z
 
Puis z <= Sup(A+B) - Sup A ...

Bah c'est ridicule, soit c'est vrai, soit c'est faux, si tu démontres bien, il n'a pas à te pénaliser

Ué m'enfin j'ai aucune idée de comment ça se démontre aussi  

En gros je vais le faire en méthode chiante cad en "transportant" mes bornes sup/inf d'un ensemble à un autre avec des inégalités apparement tous mes exos et ceux de l'autre classe sont fait comme ça

"L'ensemble des ensembles ayant un nombre dénombrables d'éléments est-il dénombrable ?"

a priori je dirais nan ...

Il contient déjà toutes les parties de IN si je ne m'abuse. Comme l'ensemble des parties de IN n'est pas dénombrable (équipotent à IR si je ne dis pas de bêtises)...

Un ensemble dénombrable est en bijection avec IN en effet.

ce fameux ensemble comprend par exemple les ensemble de nombre de R définis par a €[0;1]+ un entier. ces ensemble là sont dénombrable (ils sont trivialement en bijection avec N) mais il y en a un nombre non dénombrable (le cardinal de [0;1])

 
sauf que sinc n'est pas défini en zéro mais on peut la prolonger de manière Cinfini....

S'il l'etait il y aurait une injection de l'ensemble de ses parties vers lui, ce qui n'est jamais vrai.

Salut
 
J'ai un peu de mal avec la décomposition en éléments simple pour ensuite intégrer :
 
j'ai une expression c'est :
x² / (x-1)² ; moi ce que j'ai dis :
<=> x² / (x-1)(x-1)
<=> ((x-1)(x+1) - (-2x+2)) / (x-1)(x-1) <=> 2x-2+1 / (x-1)(x-1) <=> 2x-2 / (x-1)(x-1) <=> 2 / (x-1)  

la recette habituelle pour les décompositions en élements simple c'est de regarder le "degré" global de ta fraction, pour savoir jusquà quel ordre tu va devoir monter. ici c'est 2-2=0 ( dans le cas ou c'est négatif, tu n'auras que des "élément simple" sous forme de fraction du type a/(x-b) et c/(x-d)^2 pour le cas des racines doubles )
 
ici le développement va être de la forme a+b/(x-1) +c/(x-1)^ 2
 
quand tu dis que les deux sont égaux, tu réduit ta somme de fraction au même dénominateur et tu n'as plus qu'`a "lire" les valeurs de a, b et c.
 
Je pense pas qu'il y ai de méthode simple et globale pour les DES, c'est un peu artisanal : les racines simples n'apparaissent que sous la forme a/(x-b), les racines doubles sous cette forme et sous la forme c/(x-b)^ 2 et tu peux avoir un polynome selon le degé de ta fraction.

Hum, merci mais j'ai pas très bien capté en fait t'as pas un exemple concret ?
Par exemple quand on a (2x+3)/(x+1) je sais le simplifier, ça revient à écrire 2 + 1/x+1

 
Dans cet exemple il n'y a presque rien à faire. Dans le cas général, ta décompo s'écrira: une partie entière + une somme de terme en a/(x-r)^i avec i variant de 1 à n où n est la multiplicité de a dans le polynôme du dénominateur une fois que tu as enlevé la partie entière + une somme de termes en (bx+c)/(x^2+sx+p)^i le dénominateur étant un polynôme du 2ème degré à ∆ négatif, ces termes n'apparaissant que si tu es dans IR[X], dans C[X] évidemment il n'y en a pas.

 
Heu, pour tout ensemble, on montre que l'ensemble de ses parties est "strictement plus gros " que l'ensemble lui-même, donc il n'y a jamais d'injection de l'ensemble des parties d'un ensemble vers l'ensemble lui-même.

Heu, c'est exactement ce que je dis  

ben je sais pas, mettons (4x³-31x+40)/[(x-2)²(x+3)]

Le "degré global" de la fraction est 3-3=0
Les pôles (les racines du dénominateur) sont 2 (racine double), et -3 (racine simple)

Dans les éléments simples on va avoir une partie entière (nommons la a), des éléments simples dont les dénominateurs seront (x-2); (x-2)² et (x+3)

On va avoir un dévellopement de la forme : a + b/(x-2) + c/(x-2)² + d/(x+3).
On remet tout au même dénominateur :
[a(x-2)²(x+3) + b(x-2)(x+3) + c(x+3) + d(x-2)²] / [(x-2)²(x+3)]

Mais n'oublions pas que ca doit être égal à la fraction de départ ! Comme on s'est ramené au même dénominateur pour les deux fractions, il faut et il suffit que les numérateurs soient égaux. On développe, on identifie (les coefficients d'un polynôme sont uniques), et on se retrouve avec un système :
4x³-31x+40 = a(x-2)²(x+3) + b(x-2)(x+3) + c(x+3) + d(x-2)²
= a(x³-x²-8x+12) + b(x²+x-6) + c(x+3) + d(x²-4x+4)
= a.x³ + (-a+b+d).x² + (-8a+b+c-4d).x + (12a-6b+3c+4d)

Donc on a (via la résolution en spoiler) :

a=4 ; b=3 ; c=2 ; d=1  (exemple bien choisi n'est il pas? )

On a donc la fraction de départ égale à 4 + 3/(x-2) + 2/(x-2)² + 1/(x+3)

Par contre je ne sais plus dans quels cas on a que des termes du style a/(x-c) et a/(x-c)² , etc, ou aussi des termes du style (ax+b)/(x-c)². D'après ce que dis joran, ca a l'air de dépendre du "degré total" de la fraction.
EDIT : ah ben, cf le post de Fixio un peu plus haut.

En espérant que ca soit suffisament clair