Reprise du message précédent :

Il y a deux façons d'interpréter Zénon, la première est comme tu dis qu'il ne nie pas le mouvement mais conteste sa continuité parce qu'elle lui semble paradoxale, il aurait donc souffert d'une difficulté technique, et si Newton l'avait aidé il aurait résolu le paradoxe. Cette interprétation est réductrice en cela qu'elle postule arbitrairement l'existence du mouvement et se concentre sur l'argument technique de la cohérence de la continuité, ce qui est bien un problème mathématique (il faut tout de même noter ici qu'on ne peut pas vraiment prouver que Zénon ait voulu contredire que la somme d'une série infinie puisse être finie, la mention "temps fini" n'est qu'une interprétation d'Aristote).

La deuxième interprétation est que Zénon nie fondamentalement le mouvement, dans le sens (ultramoderne) de Parmenide, pour qui tout changement est illusoire et le monde est statique et éternel. Il ne nie pas l'apparence du mouvement, mais sa réalité. Le paradoxe émerge alors plus en profondeur, par la comparaison entre le phénomène du mouvement et sa disparition impliquée par l'analyse approfondie de son modèle : qu'il soit continu (dichotomie) ou qu'il soit discontinu (flèche). La question posée est alors une question purement physique : pourquoi l'expérience du mouvement si le mouvement apparaît logiquement impossible?

Ce terme "étape" dans le modèle continu ne représente pas un état, mais un ensemble infini d'états. Un nombre fini d'étapes c'est donc un nombre fini d'ensembles infinis d'états. La flèche doit assumer une infinité d'états pour parcourir la distance AB ou toute autre distance. Si une telle séparation infinie entre chaque couple d'événements (modelisée par l'absence de successeur d'un nombre réel) équivaut ou non à leur isolement physique, est une question physique. Les raisonnements sur la catastrophe ultraviolette qui amenèrent à la mécanique quantique relèvent du même type de questionnement.

Pour ce qui est du modèle discret (paradoxe de la flèche), l'argument de Zénon est encore plus inattaquable et il est même reformulé tel quel en cosmologie quantique, où le temps est considéré une variable de pure jauge, ce qui implique son inexistence fondamentale.

Je n'ai jamais dit le contraire.
Il m'avait semblé que c'était compatible avec l'aspect ondulatoire de la meca quantique.
A+,

vous allez peut être pouvoir m'aider    
 
il faut que j'estime le temps de vie des solutions de dx/dt=(x^2+1)*cos(Pi*x)
si j'utilise le lemme de gronwall j'ai une majoration par tan mais ca me sert à rien    
merci par avance    

temps de vie ? c'est quoi ?
 
tu peux intégrer numériquement et tracer histoire de voir ce que ça donne.

non c bon g trouvé
c t archi simple en fait    
le temps de vie est l'intervalle sur lequel on peut définir les solutions

Quelqu'un pourait il me mettre sur la voie montrer que la suite Un= sigma(de k=1à n)f(n)/k^2 avec f(n) une fonction de IN dans IN il faut montrer que Un est divergente à l'aide de la suite harmonique.

Sans précision sur f(n) on risque de pas aller bien loin ...

bah si tu prends f(n)=1 pout tout n, tu as un=somme des 1/k^2 et ça ça converge ... Il faut que f soit bijective ou un truc comme ça ?
 
 

Salut,
évidemment je suppose qu'il faut avoir en plus l'hypothèse f bijective (ie f est une permutation). Dans ce cas c'est vrai, on peut le montrer en minorant la tranche de Cauchy entre N+1 et 3N par exemple, en utilisant le fait qu'entre N+1 et 3N, il y a au moins N valeurs de f plus grandes que N d'après la bijectivité de f. On peut donc minorer la tranche par N*N/(3N)^2=1/9, et donc la tranche de Cauchy ne tend pas vers 0, donc la série diverge.

tu as rien de plus sur ta fonction f ? parce que si f est la fonction constante qui donne 1 ou 0 elle converge cette suite.

edit: bon archi grillé, c'est ça de faire 3 choses en meme temps
je pensais plutot à f strictement croissante moi

 
Oui ça marche aussi, la preuve est plus directe.

 
On dirait qu'il y a un problème de français dans cette phrase.

 
et utilise la suite harmonique comme demandé dans l'enoncé

Merci oui j'ai omis que la fonction était injective mais en voyant vos explications j'ai l'impression que la question est d'une trivialité évidente pour vous. En tout cas merci je crois avoir compris on utilise le critère de cauchy et on examine la différence et on minore c'est ça?

En effet.

Avec l'hypothèse injective, tu vas pas pouvoir le faire avec simplement la divergence de la série harmonique, tu vas en effet devoir utiliser une preuve du type de celle que j'ai donnée. Sinon oui tu as bien compris l'idée de la preuve, mais ne crois pas que c'est ultra trivial, je l'ai déjà vu dans un livre d'oraux de l'X, avec d'autres du même genre par exemple f(n)/(n^2*ln(n)), ça ça va encore diverger, ou f(n)/n^3, ça ça va dépendre de f, si f=id(IN) par exemple ça converge, mais ça peut diverger si par exemple f(n)=n^2 pour une infinité de valeurs (si on veut f seulement injective, on peut prendre directement f(n)=n^2, mais si on veut que f soit bijective, il faut travailler un petit peu plus). En plus je crois que tu es en terminale, moi j'étais loin de connaître le critère de Cauchy en terminale...

 
d'un point de vue mathématiques les dérivées  permettent de dresser le tableau de variation de la fonction de depart. Car quand la dérivée est positive sur un intervalle => la fonction est croissante sur cet intervalle et inversement quand la dérivée est négative sur un intervalle => la fonction est décroissante sur cet intervalle
 
par exemple la fonction f(x) = x² + 2x + 1 a pour dérivée f '(x) = 2x+2  
donc f ' (x) est négative sur ]-infini ; -1[ et positive sur ]-1;+infini[ donc f est décroissante sur ]-infini ; -1[ et décroissante sur ]-1;+infini[
 
sinon d'un point de vue physique la dérivée a des tonnes d'utilisation.

 
le calcul infinitésimal a de nombreuses applications ne t'inquiètes pas    
Dans le cas de la dérivée, tu peux voir ca comme la pente de la tangente à la courbe de la fonction, si un bonhomme parcourt la courbe de ta fonction il s'agit de son vecteur vitesse  

c'est utile à mort les dérivées et les intégrales.
 
Ca te permet d'analyser l'instantanéité pour faire simple...

Sans dérivées, pas de physique...
D'où l'intérêt... (d'ailleurs le calcul infinitésimal a été inventé par Newton pour pouvoir expliquer les  mouvements des planètes)

En fait l'étude des fonctions, c'est à peu près la moitié des points aux bac de maths, et c'est plusqu'utile pour le bac de physique, donc c'est assez rentable de comprendre ça en fait...
Pour te donner une idée, si la fonction f représente la position de ta voiture en fonction du temps, sa dérivée f'(t) représente ta vitesse instantanée

en gros, c'est ça !
 
Faut vraiment comprendre que la dérivée, elle fait ceci:
 
pour évaluer ta vitesse moyenne, tu dois comparer ta [distance(t)-distance(t0)] que tu divises par (t-t0)
 
en rapprochant de plus en plus t de t0, tu obtiens une vitesse moyenne qui se rapproche de plus en plus de l'instantanéité
 
quand tu passes à la dérivée, tu obtiens ta vitesse instantanée au temps t=t0
 
et c'est super utile dans plein d'autres applications.
 
Et trouver la dérivée d'une équation, c'est ultra simple: soit tu utilises les formules que tu as appris, soit tu calcule la limite du quotient différencielle, celui-ci était égal à ce que je t'ai dis plus haut: [f(x+h)-f(x)]/h et la limite c'est quand h tend vers 0
 
voila !

 C'est également le cas.
 
Tu peux aussi voir la dérivé comme la représentation du taux de variation d'ordre 1 (pour les dérivées premières et n quand on généralise) de ta/tes focntions selon ta/tes variables.
 
Ensuite, on décrit les lois de la physique (et la géométrie et "tout" le reste) par des relations entre ses variations. Le fait d'être infinitésimal permet d'écrire au niveau local. On étend ensuite la résolution selon la définition propre de l'environnement.
 
Ex : le mouvement d'un disque en chute libre et de celui d'une barre est différent. Or tu commenceras par écrire localement ce mvt, cad le plus souvent au centre de gravité. A ce moment de ta résolution ton équation sera identique pour les deux cas. Puis tu "étends" (on dit intégrer) ta solution sur ton solide en entier en prenant compte de sa forme particulière : c'est l'aspect de resolution globale.
Là les résultats différe selon le disque ou la barre.
 
Intérêt : il suffit de retenir comment on écrit l'équation locale (au pire on l'apprend ) puis la méthode pour transcrire ça en global.
 

Bonsoir

Pendant mon cours de maths de ce matin, notre prof nous parlait de la fonction cardinal sinc(x)= sin x/x  pour x=/=0
La fonction sin(x)/x n'est pas définie en 0, et pourtant sinc(0)=1. Elle nous a expliqué que la premiere fonction n'etait pas définie en 0 (normal) mais que sinc l'etait parce que c'est comme si "on collait une pastille" sur le point (0;1) que la courbe de la fonction butait sur cette pastille, et donc qu'il etait commode de dire que elle etait définie en 0.

Ce qui me trouble, c'est qu'une fonction f quelconque définie par sin(x)/x n'est pas définie en 0 alors que sinc l'est parce que c'etait "pratique". N'est-ce pas contradictoire avec la rigueur mathémathique ?

Deuxieme interrogation (j'ai beaucoup réfléchi ce matin ): Les complexes. On nous a expliqué que les mathématiciens avaient "inventé" les nombres complexes car certaines equations ne pouvaient etre résolus sans eux. Cependant, on a nous a expliqué que les nombres complexes n'existaient pas réellement, pas comme les réels... que c'etait des nombres imaginaires

Donc a partir de ces 2 exemples, j'ai l'impression que les mathématiciens ont "inventé" certaines notions pour pouvoir résoudre des problemes qui se posaient à eux avec les outils qu'ils possédaient, et donc que certaines fois ont invente pour résoudre, que ca découle pas d'autres règles/théorèmes...etc, que des fois c'est en contradiction avec des propriétés énoncées avant.
Par exemple i²=-1, alors que on nous a toujours appris que un carré etait positif (oui, les complexes disent ca, mais c'est un peu contradictoire non ?), tout comme le cas de la fonction cardinal

Je sais pas si je suis très clair, mais merci de vos réponses

Tu as appris que le carré d'un nombre réel était toujours positif... Cherche i sur ta droite des réels, tu ne le trouveras pas... il n'y a donc pas de raison que les "non réels" obeïssent à une loi des réels

Ensuite je ne suis pas d'accord pour cette histoire de "les uns sont réellement vrais les autres non", un complexe c'est aussi une façon de manipuler un couple de réels (x + iy  c'est le couple (x,y) dans le plan)... dirais-tu que le plan RxR (le bon vieux plan où on trace nos courbes) est "moins réel" que la droite ?

Pour les complexes : ce n'est pas un problème de rigueur mathématiques mais un problème de pédagogie. On t'a appris que les carrés sont positifs mais c'est en fait car on étudie le cas particulier des réels pour que cela soit plus simple au début. Dans un cadre plus général, un carré n'a aucune raison d'être positif. Il n'y a pas de contradiction dans les mathématiques, c'est juste qu'on t'a menti pour faire passer la pilule. Au lieu de dire: "Un carré est positif", on aurait dû te dire : "un carré d'un nombre réel est positif", mais cela aurait embrouillé le cours.
 
Pour la fonction sinus cardinal, il n'y a pas non plus de problème. C'est juste un procédé de construction très courant. On définit la fonction pour tout x différent de 0, puis pour x=0, puis on vérifie que le raccordement se fait suivant certaintes règles (continuité, dérivabilité). On peut en construire une infinité comme cela mais seules certaines sont suffisamment pratiques pour avoir un nom et être connues.
 
De manière plus générale, tu as raison, les mathématiciens inventent des objets mathématiques pour résoudre les problèmes auquels ils sont confrontés mais ils le font de manière rigoureuse. Il n'y a pas de manque de rigueur dans la construction des complexes ou la fonction sinus cardinal, peut-être as-tu cette impression car on ne te l'a pas expliqué ...

Salut,
pour sin(x)/x, t'as qu'à dessiner ta fonction sur IR\{0}, et tu verras bien que quand x tend vers 0 la fonction tend vers 1 (ça se voit facilement par le calcul aussi hein, mais avec un dessin c'est mieux ), donc en fait pour être rigoureux, il faut définir une nouvelle fonction qui vaut sin(x)/x pour x différent de 0, et 1 pour x=0, mais pour simplifier les notations on l'appelle toujours sinc c'est tout.
 
Pour les complexes, est-ce que tu peux expliquer pourquoi "l'existence des réels" est plus évidente que celle des complexes. A la limite je pense que le seul ensemble de nombres qui existe naturellement dans l'esprit humain est IN (d'ailleurs on les appelle bien les naturels!), déjà avant d'être choqué par les complexes, tu aurais du l'être par les nombres négatifs, leur constructon n'est pas évidente a priori. Essaie de voir que concevoir les nombres complexes n'est en rien contradictoire, c'est ça qui est important en mathématiques, et il est naturel dans l'évolution des mathématiques d'étendre les ensembles que l'on considère, d'abord les entiers, les négatifs, les réels etc.

Bon je vais répondre a tout le monde, je maitrise pas encore le multi-quote

Pour la fonction sinc, je vois bien que sa limite en 0 est 1. En écrivant sin(x)/x et ensuite sinc(0)=1, j'ai du mal a le concevoir ...
Pour répondre a Fixio, ce que tu veux dire, c'est que il faudrait "décomposer" la fonction sinus cardinal en 2 fonctions disctinctes, mais que finalement ca reviens a peu pres au meme ?

Pour les complexes, je dirais que que c'est une question de représentation. Par exemple j'arrive a me représenter 3.5 crayons (3 crayons + 1 cassé en 2 ), mais je m'imagine moins 2+5i, si tu vois ce que je veux dire
Puis ce qui me gêne, c'est que les complexes sont "imaginaires", alors pourquoi les utiliser s'ils n'existent pas vraiment ? Enfin c'est comme ca que l'on me les a décrit ... (Xavier_OM, elle est pour toi celle-là )

Koxinga : Pour le carré, je comprends pas trop en fait, parce que depuis toujours on a -*-=+ et +*+=+. On l'utilise partout (produits, dérivées ...) mais tu dis que c'est uniquement parce que on ne l'utilise que sur les réels que je pense ca ?

Je suis d'accord avec toi sur le fait que l'on prends pas le temps de nous l'expliquer (manque de temps ? complexité ?), et que ca peut paraitre flou. En tout cas, c'est ce qui ressort des certaines conversations avec un pote en cours.

Merci a vous en tout cas

 
et -5 septièmes de crayon tu visualises?

Tu vas me demander Pi et SQRT(3165110) après ?
 
Je dit pas que je visualise tous les réels, mais mieux que TOUT les complexes

Les imaginaires ne sont pas représentables ni comparables.
 
On ne peut pas dire que -5 + 2i est plus grand, plus petit ou égal à 3+6i
 
On ne peut que comparer séparément leurs parties réelles et imaginaires
 
D'où le fait qu'on ne puisse les classer sur une échelle, un axe.
 
D'où l'impossibiliter de se les représenter puisque ce ne sont pas des grandeurs scalaires
 
 
Ils ont été inventés car la solution rac(-4) peut, dans des calculs précis devant répondre à des conditions précises (comme en électricité par exemple) signifier quelque chose et répondre à la question posée de manière précise, complète et unique.

Yep, une fonction f peut être défini par "morceaux", genre :
pour x < 1000   f : x --> 2x
pour x = 0        f : x --> 67
pour x > 7        f : x --> sin(x)
(oui oui c'est UNE seule fonction ca )
Certes une fois tracée c'est moche, pas continu, troué, mais c'est une fonction quand même. Pour sin cardinal on a 2 "morceaux", le point en 0 et tout le reste.

Ben 2+5i (complexe cartésien), tu peux le voir comme le point (2 ; 5) du plan si ca t'aides... Les complexes sont limites plus "rééls" que le reste quand tu verras tout ce qu'ils représentent en physique Et non ils ne sont pas imaginaires   C'est un objet mathématique composé d'une partie qu'on nomme réelle et une autre qu'on nomme imaginaire, mais ca ne veut pas dire que c'est un délire virtuel de matheux. Il y a aussi des nombres irrationnels, des nombres transcendants... tous sont des objets mathématiques, aucun n'est "plus réel" qu'un autre (certains sont plus intuitifs pour toi certes, tu peux mesurer ou compter avec )

Exactement   Par exemple dans le monde des matrices (un autre ensemble de jouets mathématiques très sympas ), a*b est différent de b*a
Et pourtant je t'assure qu'une énorme partie de la science se sert de ça tous les jours. Toi quand tu joues à intégrer, dériver, faire des produits, tu manipules toujours des réels je pense (tes fonctions vont de R dans R ou d'une partie de R dans une partie de R, tu multiplies des réels, tu manipules des vecteurs à 2 ou 3 composantes réelles...)

 
 
Ce qui semble te poser problème est la notion de continuité
La fonction sinus cardinal est définie et continue sur tout le corps des réels y compris en zéro.
 
Zéro étant l'unique "point" où la continuité n'est pas évidente il vaut l'expliciter ; pour cela on utilise la définition de la convergence, ou plus simplement avec la notion simplifiée de limite.
 
En gros, toute fonction f est continue en x=a si lim (h ==> 0)[ f(a+h)/h] = f(a). Ca signifie que tu n'as qu'une seule valeur de f pour le point x=a ce qui est la définition de la continuité d'une fonction.
 
Pour le sinus cardinal tu trouves qu'effectivement la limite en x=0 donne 1, et ce que tu fasses une limite en partant du 0 positif ou du 0 négatif. Tu as la même valeur finie à "droite" et à "gauche" donc ta fonction est bien continue.  
 
 Les mathématiques ne sont pas du bricolage plus ou moins cohérent (c'est plutôt la physique ça ) mais bien une architecture entièremment ordonnée qui repose sur des régles très précises.

Attention, ce n'est pas ça...
f(a+h)/h n'a aucune raison d'avoir une limite quand h->0... (et par ex dans tous les cas où f est continue et f(a) =/= 0 ça ne marchera pas...)

EDIT :
Sinon pour le reste, il faut savoir que les mathématiques reposent sur un ensemble d'axiomes, c'est à dire de chose qu'on utilise pour pouvoir faire des raisonnements, sans montrer qu'ils sont vrais ou même simplement non contradictoires.
Les mathématiques avancent en étendant les axiomes, ou en les reformulant, et en construisant de nouveaux ensembles.
La seule chose importante est qu'il n'existe pas de contradiction dans la théorie*, l'existence des éléments et leurs applcations n'est qu'une conséquence fortuite et assez mystérieuse.

* Ce qui n'a pas été démontré et ne le sera jamais (oui, il a été démontré qu'il est impossible de le démontrer)

 
 Ca depend, on peut toujours utiliser le critère de la norme.  
 Ex: norme(-5+2i) = racine (29) < racine(45) = norme(3+6i)

Bon ca y est, je me fais a l'idée (les complexes ne SONT PAS imginaires Xavier_OM, j'ai compris )
 
J'pense que passer une heure sur les complexes, nous expliquer ces choses la aurait été pas mal, mais bon, HFR est là
 
En tout cas merci a tous, ma question existencielle de l'année est résolue 5si vous voulez ajouter des choses, n'hésitez pas )
 
Bonne soirée !

partiel d'algebre demain

 heu oui j'ai oublié un bout de la définition (c'est loin tout ça)  
il faut lire (f(a+h)-f(a))/h   ; quand c'est fini ça implique que la fonction est continue.

Bien sûr qu'il existe un ordre sur C, tu peux aussi prendre l'ordre lexicographique si tu veux, mais il n'a pas les propriétés intéressantes de l'ordre sur R

Non plus, ça implique la continuité, mais là c'est la définition de la dérivabilité que tu me donnes...
Et il existe des fonctions continues et non dérivables... (et même continues sur R et jamais dérivables)

Je l'aime beaucoup celle-là