Reprise du message précédent :
Salut
 
A peine Noel passé, deja un DM de 3 pages a rendre
Je bloque sur une question sur l'exo des complexes.
 
Soit A d'affixe -1 et B d'affixe 1.
1) Placer les points sur un graphique.
Ca c'est pas tres dur
 
2) pour tout M(z) on associe le point N(z²) et P(z^3).  
a) Prouver que M,N,P sont distincts 2 a 2 puis avec le théorème de Pythagore, démontrer que MNP rectangle en P si et seuleument si |z+1|²+|z|²=1
 
Donc je prends le point d'affixe a+ib et pour N et P je trouve:
N d'affixe (a²-b²+2iab)
P d'affixe (a^3-3ab²+i(3a²b+b^3))
 
Mais après je sais pas comment montrer qu'ils sont distincts, ou plutot montrer que les affixes sont différentes.
 
Ensuite pour le triangle, j'arrive pas a développer |z+1|²+|z|²=1
 
Voila, si vous pouviez m'aider
Merci

Sers toi plutôt du module et de l'argument, c'est souvent plus efficace lorsqu'on élève le nombre à une certaine puissance, puisque |z^n| = |z|^n et Arg(z^n)=n*Arg(z).
 
 
 

Donc pour montrer qu'ils sont distincts, je developpe pas je me sers juste de ces 2 relations ?
Merci

En fait, M est de coordonnées z, N de coordonnées z^2 et P est de coordonnées z^3 ? Tu veux juste montrer que ces trois points sont distincts ?
 
Dans ce cas, tu sais que z est différent de z^2, sauf si z=0 ou z=1 ... De même pour z^2 et z^3 et la question n'a pas beaucoup d'intérêt ...

oui je dois montrer que M distinct de N, M distinct de P et N distinct de P. Et avec la relation que tu m'a donnée, c'est évident
 
Mon DM est fait d'exos de type bac, donc je pense que comme tous les sujets, c'est des questions faites pour donner un peu de points

A combien est égal le produits des impairs.
C'est à dire le produit de k variant de 1 à n des 2k-1 ?  
Merci beaucoup.

 
des 2k+1 pardon...

1*3*5*7*9*...*2k-1*2k+1 = (2k+1)! / 2^((k)*(k+1)/2)
 
Je l'ai fait en speed sur une feuille, ça peut être faux.

 
ben en fait non ça marche pas
mais pourquoi qd tu développes t'as du 2k+1 ?  
C'est le produit des 2k-1 avec k variant de 1 à n...

X = produit des 2k+1 pour k variant de 1 à n = prod{k=1..n} (2k+1)
 
On multiplie par les termes pairs de 2 à 2n (produit qui apparait au dénominateur pour que ca reste égal, évidemment). Au numérateur, on a maintenant (2n+1)!
 
X = (2n+1)!  /  prod{k=1..n} (2k)
 
Dans ce produit au dénominateur, on peut évidemment sortir le 2 (à la puissance n puisqu'il y a n termes dans le produit. Il reste :  
 
X = (2n+1)!  /  (2^n . prod{k=1..n} (k) )
X = (2n+1)!  /  (2^n . n!)
 
Fait en speed, ca peut être faux aussi

(2k)!/(2^k*k!)
 
Fais le produit de tous les nombres jusqu'à 2k et divise par le produit de tous les pairs. Pour le produit de tous les pairs, met les facteurs 2 de côté, tu en a k, et tu retrouves k!
 
(j'ai fait ça en speed, il faut peut-être ajuster les indices, mais l'idée y est ...)
 
edit:   tu fais chier Junior

J'ai fait une erreur grossière, comme prévu.

Je retente.

Edit : Je retrouve bien le résultat de Juni0r et koxinga, (2n+1)!/(2^n * n!)

koxinga > Retourne courir dans la boue toi

En plus tu retournes un résultat avec une variable muette, bravo pour un X

C'est fini depuis longtemps la boue, dans la pratique je ne suis plus un militaire moi.
 
Et pour la variable muette, c'est la faute de GosudO, j'ai regardé son post pour voir quelle variable utiliser

surement un X qui a fait PC ou PSI

 
il vient de MP en plus

Devin ?  

L'énigme mathématique du monde du 26/12/2006:

Pour le premier point, c'est simple:
si pour p,q>0 p(p+1)=q² alors p=(q-p)(q+p) donc (q+p) divise p et comme q,p>0 ce n'est pas possible.
Par contre pour le reste c'est plus chaud.

Pour le rang deux, j'aurais dit:
p² < p(p+1) < (p+1)²  
donc si q² = p(p+1) alors p² < q² < (p+1)² ce qui est impossible.
Par contraposition, on en deduit que l'égalite q² = p(p+1) n'a pas de solutions en p et q.
 
A+,

Salut,
pour information (et désolé de donner la réponse, mais sans preuve!), un produit de m entiers consécutifs n'est jamais une puissance k-ième, pour tout m>=2. Ici c'est un cas particulier pour k=2 et m=2,3,4. M'enfin ça a été démontré seulement en 1975 donc ça doit être très ardu. Et puis l'arithmétique ce n'est pas du tout mon truc. J'ai une preuve du théorème dans le cas m=3 et k quelconque, et c'est vrai qu'il y a plus de travail déjà, je ne sais pas comment ils vont faire tenir ça dans le Monde eux qui donnent toujours des preuves succintes.

Bon la solution du cas avec 3 entiers consécutifs alors:
Si (p-1)p(p+1) = q² (et p>1)
alors p(p²-1) = q²
Or p(p²-1) sont relativement premiers entre eux (si un nombre premier divise p, il divise p² et ne peux donc diviser p²-1)
Or si ab = c² et a et b sont relativement premiers entre eux, a est un carré et b est un carré (facile a établir en considerant un diviseur premier de c²)  
Donc p et (p²-1) sont des carrés. Mais p²-1 est un carré est impossible.
Par contraposition, on en deduit que (p-1)p(p+1) = q² n'a pas de solution pour p>1.
 
La solution pour 4 entiers consécutifs:
si p(p+1)(p+2)(p+3) = q² (et p>=1)
alors (p² +3p+1)² - 1 = q² ce qui est impossible.
Par contraposition, on en deduit que p(p+1)(p+2)(p+3) = q² n'a pas de solution pour p>=1.
 
A+,

Merci pour l'info fixio, je me demandais si il existait résultat général.
 
Pour le produit de 4 entiers consécutifs, on peut utiliser la ruse:
n(n+1)(n+2)(n+3) = (n²+3n+1)²-1
 
Gilou> J'avais grosso-modo la même démo.

Je venais juste de taper le cas pour 4 entiers pendant que tu tapais ton post.
 
A+,

Par contre je pense pas pouvoir démontrer le résultat énoncé par fixio

Pour le cas général, j'ai trouvé ceci sur le web:

 
A+,

J'avais lu la même preuve pour le cas de 3 entiers, bon finalement elle est pas si longue. Pour 4 entiers, bon faut voir l'astuce...
 

 
  J'ai trouvé une preuve, mais je n'ai pas la place de l'écrire ici.

Bonjour,
 
J'ai eu a montré que (5555^2222)+(2222^5555) est divisible par 7.
Je n'ai pas fait d'arithmétique en terminal et... je bute sur cette démonstration.
Je vous avance un peu le travail:
5555 est congrue à 4 modulo 7 et 2222 congure à 3 modulo 7.
 
Si quelqu'un pouvais m'expliquer comment faire ou m'indiquer la démarche à suivre... Je sais que ce qui reste à faire est "bête" mais je ne trouve pas.
 
J'ASSUME.
 
Merci...

 
La méthode: tu trouve l'exposant q (le plus petit...) tel que 5555^q = 1 mod 7, ou plus simplement 4^q = 1 mod 7 (car 5555=4 mod7) (il existe car 4 est premier avec 7 et par quelque considerations sur les groupes cycliques..)
Donc par exemple ici q =3 (4^3=64). Ensuite t'ecris 2222=b*q+r (divison euclidienne par q) ainsi 5555^2222=4^2222=(4^q)^b*4^r=4^r (mod 7) ,ie ici r =2 et donc 5555^2222= 16 (mod 7) = 2 (mod7)
 
J'imagines que la meme méthode donne 2222^5555 = 5 mod 7 (sauf erreur de ma part)

waaa c'est marrant ces trucs
 
 
ca veut dire quoi congrue ?

c'est joli (et encore), mais ça ne sert pas à grand chose

c'est un terme qui vient de biologie, ça désigne les oiseaux pas très malin.

 
 
Qui ont même reste dans la division eucilidienne par l'entier q considéré (dans "congru modulo q" )
 
edit: et oui t'es neuneu, si ca peut te faire plaisir

Salut,
 
Quelqu'un pourrait il m'expliquer ou aurait un bon site qui expliquerait la methode de Cramer?
 
merci d'avance.

pour la résolution de systèmes d'equations linéaire ?

oui

tu as déjà ça

 
et puis ça et ici ^^

Hello,
Comment calcule-t-on la longueur et l'aire d'une cardioïde définie en coordonnée polaire par r=a(1+ cos(theta)) où a>0    
Intégrale curviligne en coordonnée polaire ? Et quelles seront les bornes ?

Pourquoi en coordonnées polaires ? Paramétrise ta courbe avec un paramètre t, et intègres la norme du vecteur vitesse sur l'intervalle de paramétrisation.
 
Pour l'aire, ben c'est zéro (tu parles peut-être de l'aire de la surface dont le bord est ta courbe, là c'est plus relou mais il suffit je pense de décomposer ton domaine).

Bien... J'ai jamais paramétrisé une courbe mais bon, ya un début à tout    
Pour l'aire, la question exacte est l'aire délimitée par la cardioïde. Pourquoi l'aire serait égale à zéro ?

La courbe elle-même a une aire nulle, comme une droite a une aire nulle : c'est un objet de dimension 1