Reprise du message précédent :

 
Une des définitions du compact est que toute suite y admet une valeur d'adhérence (bref, il existeune sous suite qui converge dans l'espace): bref un compact, c'est un espace suffisemment "compact"/petit pour que dès qu'on y mette une infinité d'objets, il y en ait qui soient vraiment très proches (et en plus il est fermé).
 
Un compact est donc forcément assez réduit, et en fait c'est obligatoirement un fermé borné (la réciproque est vraie en dimension finie, et dans ce cas là seulement d'ailleurs (théorème de Riesz)...): les segments, les boules (fermées) sont des compacts classique. Ils ont plein de propriétés pratiques en tous cas: une intersection dénombrable de fermés non vides emboités est non vide, les suites y admettent des sous-suites convergentes (par défintion), on peut les découper en un nombre fini de morceaux aussi petits qu'on veut (car ils sont petits, - en fait c'est un autre définition des compacts - propriété de Borel-Lebesgues), ils sont pratiques pour les fonctions continues etc....

Précise que tu parles d'espaces métriques : il est faux de dire que la compacité séquentielle est équivalente à la compacité en dehors de ce cadre, et il faut la condition que l'espace ambiant est de Hausdorff pour conclure la fermeture de la compacité

Bah je veux pas une définition @ wiki (aussi complète puisse t elle etre). Mais un exemple d'espace compact, et un non compact (donc ca devrait etre deux intervalles si j'ai bien compris), ou on voit bien la différence entre compact et non.

Prenons l'exercice suivant :
[Omega]= un intervalle de R
M=B([Omega])
u (lire mu)=mesure de Lebesgues

Et on nous demande en distinguant les cas [Omega] compact et [omega] non compact de justifier deux trois réponses...
Mais alors pour distinguer les deux cas  

Compact=[0,1], non compact:IR

 
 
Dans le cas de R les compacts sont exactement les fermés bornés. En particulier les segments [a;b] (fermés)

Et un peu de nomenclature : les espaces métriques dans lesquels les fermés bornés sont les compacts se nomment des espaces propres.
 
Ils sont localement compacts, puisque les boules fermées sont compactes : les propriétés locales qui exigent la compacité (par exemple le fait que toute suite de Cauchy convergent) sont vérifiées.

 
Merci je comprends déjà un peu mieux que sur wiki

Euh pour toi IR c'est ce que j'appelle R? Et est ce que RU{+00} est un compact? (R ac une barre au dessus )  
 
Ah ok, du concret de chez concret, donc ca veut dire que si on prend dans R un intervalle du type ]a,b[, ou autre ac une extrémité "non incluse" c'est un non compact?
 

Disons que ça n'a pas de sens de se demander si un ensemble est compact. Il faut une topologie.  
 
Quelle topologie tu mets sur RU{+00} ?  
 
-> En général, on construit RU{+00} avec une topologie correcte dessus, exactement dans le but de le compactifier (on appelle ça le compactifié d'Alexandrof : il est homéomorphe à un cercle).

En fait en ce moment on étudie tout ce qui est (sigma)-algèbre, donc on prend des espaces en (Omega, B(Omega), u)... donc RU{+00} doit etre un compact? mais pas R?

Euh, c'est quoi "Omega" ? Et B(Omega) (la tribu borélienne sur Omega ?)
 
Si c'est la topologie usuelle de R, encore une fois ça dépend comment tu l'étends à la droite complétée. Mais il y a de grandes chances, oui.
 
R n'est pas compact avec sa topologie : s'il l'était, comme espace métrique il serait nécessairement borné. Or ce n'est manifestement pas le cas.

Omega c'est l'intervalle que l'on considère, un intervalle de R dans le cas qui m'interesse... Pour B (omega) c'est bien ca
Merci je vais essayer de m'en sortir ac tout ca... y va etre temps de se mette a travailler  

Pour ]a;b[, exactement  Un compact est fermé, on en sort pas par passage à la limite. Or 2^(-n) est une suite de ]0;1], et converge vers 0 qui n'est pas dans ]0;1].
 
Un compact est aussi borné donc R (muni de la distance usuelle) n'est pas compact. En revanche "R étendu" (pas le nom rigoureux non plus, mais court.. je parle de "R barre" ici) n'est pas muni de la même distance que R, car on veut que les distances restent finies (bref l'infini n'est pas infiniment loin de 0). On se ramène donc souvent à assimilier [-inf;+inf] à [-1;1] (vu dans R) par un homéomorphisme. En ce sens, comme [-1;1] est compact, R étendu l'est aussi. Mais ca dépend de la distance (ou plus généralement, de la topologie). (en revanche même en ce sens R n'est pas compact car il est assimilé à ]-1;1[, ouvert à ses bornes)

bonsoir les gens, j'ai une petite question, je suis en TS et travaille un peu sur des exos de maths sup, est-on obliger de passer par une récurrence double pour démontrer l'inégalité de tchebychev ? ou bien on peut définir l'inégalité de somme de suites alors elles deviennent des séries de riemann, ensuite on les intègre dans Z, non ?

Ah oui j'ai une petite difficulté à un exo, pouvez-vous m'expliquer comment on démontre le prolongement par continuité en pi/2 lors du calcul de l'intégrale de dirichlet ?
Merci pour vos explications

youp,
 
 
qu'est-ce q'une astuce mathématique ?
 

Ben la même chose qu'ailleurs : une méthode astucieuse (dans le sens où c'est pas celle qu'on prendrait naturellement mais qui permet de gagner du temps, et que c'est en général assez fin de la trouver).
 
En général, on dit "waaaaaaah" quand on en voit une (et c'est là que les gens normaux nous jettent des pierres).

alors, est-ce que ceci est un truc ou une astuce ?

Bah moi je n'arrive pas à montrer que c'est vrai. Mais si c'est le cas, non, c'est pas franchement une astuce : ce serait juste un théorème permettant de faire un calcul rapide.
 
Une astuce, c'est pour un cas particulier en fait.

   (100 -x)^2 = 10000 - 200x +x^2 = 100 * ( (100 -x) - x) + x^2
C'est bien une astuce puisque ça ne "marche" que pour le carré de nombres + petits que 100, mais pas trop petits non plus .

Un théorème

En tout cas, ça s'applique bien à un cas particulier: calcul des carrés des nombres proches de 100. Si c'est trop loin de 100, ça n'a plus d'intérêt (l'astuce ne "marche plus" ).

Bon ben il semblerait que je sois définitivement largué niveau langage mathématique
Mais dans le langage commun, ça ne devrait choquer personne que j'appelle ça une astuce...

C'est comme pour multiplier par 25, on fait x100 puis /4. Je trouve que c'est une astuce (dans le sens truc).

sinon, la démo de Fred999

edit : bon ben bbquited

J'ai une petite question à propos de probas , je sens que je vais avoir honte quand on va me donner la réponse mais bon tant pis.
J'ai la densité de X et celle de Y et jdois trouver le densité du couple (X,Y) sachant que X et Y ne sont pas indépendants... comment je fais ?

salut a tous.
 
j'ai un ptit problème de suites et sais pas trop comment m'y rpendre
 
 
en fait on cré x(n) et y(n) 2 suites.
 
et si on pose y(n) majorée, il faut trouver l'ensemble des suite x(n) tq xy(n) soit majorée.
 
je sais pas trop comment faire pour expliquer, et détailler les cas possible
 
et apres faut faire le meme genre de truc avec y(n)-->0 et xy(n)-->0, et y(n) converge ==> yx(n) converge
 
any suggestion  

tes suites elles vont de N dans N ?

non
 
lénoncé précis est comme cela :  
 
déterminez les suites x(n)  (  n € |N  )  € |R vérifiant :  
 
1- quelques soit y(n) € |R^|N y(n) bornée==> (xy)(n) bornée
 
de meme avec yn convergeante et yn tend vers 0    

attention a l'utilisation des "sachant" dans une phrase d'énoncé en proba
tu dois avoir d'autres hypothèses je pense, car sinon le calcul est impossible à priori... (les marginales ne te permettent pas de retrouver la loi du couple en général..)

 
Tu veux savoir combien vaut la somme des n premiers entiers (genre la somme de tous les nombres de 1 à 500)...
Tu écris deux lignes :
1 + 2       + 3      + 4       + ... + n    =  X
n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1    = X     (la même de droite à gauche)
 
Et là en regardant "verticalement", tu vois n colonnes, tu te rends compte que dans chaque colonne la somme est la même, à savoir (n + 1)
Donc n * (n+1) = 2*X     (on fait la somme des 2 lignes)
Donc la somme des n premiers entiers naturels vaut (n*(n+1))/2, et tu l'as prouvé.
 
 
C'est une astuce

C'est bien ce qui me semblait ! les évenements doivent etre indépendants alors ... merci (une fois encore )

donc c'était pas une question d'exo? tu testais pour savoir si tu avais compris ton cours ?

nan c'est bien un exo, mais notre prof nous a dit de calculer la densité pour la prochaine fois donc ça m'etonnait que ça revienne juste a multiplier deux densités

 
anyone?  

bon je suis pas très à jour sur les suites (j'enseigne en collège) mais voilà ce que j'essayerai pour le premier cas:

si y est la suite nulle (ou nulle à partir d'un certain rang) alors toute suite x convient
sinon, l'ensemble des suites x est  (je pense) l'ensemble des suites bornées:

x borné, y borné => xy borné c'est facile
réciproquement, par l'absurde tu supposes x non borné , y borné et xy borné et tu constates que c'est pas possible

edit: pas sur que ça marche en fait

C'est bien la réponse!
Mais c'est parce que la propriété doit être vraie pour TOUTE suite (y_n)_n bornée.
En effet la suite qui vaut 1 tout le temps est bornée et par hypothése (x_n) multiplié par cette suite doit être bornée ce qui signifie précisément que (x_n)_n est bornée.
La récipoque est triviale.

 
exacte j'avais pas lu la formulation de l'exercice, qui est différente de ce qui etait donné au depart par D@emon

salut
j'ai besoin d'aide: je dois trouver sans calculs une valeur propre ainsi qu'un vecteur propre de la matrice suivante:
 
4 9 2
3 5 7
8 1 6
 
je connais la réponse mais je comprends absolument pas pourquoi il faut faire la somme des lignes/colonnes ?
 
merci

 
c'est un carré magique  
 
Donc le vecteur (1,1,1) est vecteur propre associé à la valeur propre 15

 
en effet mais pourquoi ?
 
il y a une propriété qui dit ça ?
 

 
Ca c'est la description d'un algorithme. L'astuce réside dans l'idée même à la source de l'algorithme: exploiter la différence de grandeur dans (a-b)²=a²-2ab+b²  si b petit devant a dans un calcul pratique, où un multiple de 100 (si a = 100 et b petit, a²-2ab) et un nombre plus petit que 100 (b²). Présenté comme ça , c'est très lourd et ne fait même plus penser à une astuce: ca devient une méthode ("une astuce qui sert plusieurs fois" ) très superflue.
 
Ceci apparaitra comme une astuce si cet algorithme est utilisé sans préavis (sans qu'il ait été enseigné à l'auditoire en fait) dans une réflexion subtile (un truc qui simplifie tout... le cas général à plutot tendance à etre compliqué). C'est de toutes façons laissé à l'appréciation de chacun. Les vraies astuces sont des solutions à un problème qui ne peuvent s'obtenir avec simplement de la bonne volonté et une parfaite maitrise des méthodes classiques (il faut trouver une voie détournée quoi).