Reprise du message précédent :

OK mais je me demande pourquoi le prof nous fais pas de cours avant de nous filer des exos de ce genre

Deux questions  
- Soit A une matrice inversible, si A*A'*A^(-1) = I alors det(A) = ±1 ? (je note A' la transposée de A)
 
A^(-1)*A*A'*A^(-1)*A = A^(-1)*I*A
A' = I
A = I
det(A) = 1
donc faux.
 
C'est bon ?
 
- Soit A une matrice orthogonale qui commute avec B, alors A' commute avec B ?
Là en revanche j'en ai aucune idée, dans mon bouquin il y a même pas 2 lignes sur la commutativité...

Tu pouvais aussi utiliser les propriétés multiplicaties du déterminant :
det(A*A'*A^(-1))=det(A)*det(A')*det(A^(-1))=1 donc det(A')=1 et on sait que det(A')=det(A).
 

 
A et B commutent, ça veut dire que A*B=B*A, mais ça veut aussi dire que A^(-1)*B=B*A^(-1).
Une façon de faire (pas optimale hein, j'ai pondu ça au feeling en 30' et il est près de 2H du mat', donc ... ), ce serait de partir de A'*B de faire apparaitre le terme A*A' (qui vaut I puisque la matrice est orthogonale et de jouer avec la commutativité de A et B).
 
Pour mémoire, une fois que tu auras bien trituré tes égalités :

Mais flemme de rédiger.  
 
++

Et on peut s'arrêter là, vu que si A est orthogonale, A^(-1) = A'

y a de l'effacement sauvage à cette heure-là

ben faudrait montrer AB=BA => A^-1*B=B*A^-1
sinon c un peu léger comme exo    
 
bon c pas très dur mais faut le dire qd meme

Histoire d'être complet alors
 
AB = BA
A^(-1)*A*B*A^(-1) = A^(-1)*B*A*A^(-1)
B*A^(-1) = A^(-1)*B

Ah ouais ça je sais
 
Merci tout le monde

juliansolo> Là tu exprimes T dans la base E, non ? Regarde la réponse que Juni0r m'a donnée
 
 
oui, c'est T dans E, c'est la matrice de transition de E dans F.

 
 
1-toute matrice inversible est de déterminant non nul, et det(A*A^-1)=1.le déterminant est symétrique,donc det(A*A'*A^(-1))=det(A*A')det(A^(-1))=detA'detAdetA^-1=detA'=1.comme par définition on a detA'=detA il vient  
 
det A=1.
 
2-A orthogonale commutant avec B est telle que AB=BA et detA=+-1 et A'A=I. de ceci il vient AA'AB=BA c'est a dire AA'ABA'=B et comme A'A=AA'=I il vient alors ABA'=B puis par equivalence A'ABA'=A'B soit BA'=A'B et donc cela prouve bien l'implication.

Salut
 
pour l'exo de complexes :
 
(1) z² - (4+i)z + 5-i = 0 et (2) z^3 = √3 - i
 
pour (1) je fais comme si c'était une équation du second degré donc ça fait :
∆ = (4+i)² - 4(5-i)
= 15 + 8i - 20 + 4i = -5 + 12i mais comment se fait il qu'il reste du i dedans bon sinon le module c'est 13...
z1 = -4-√(-5 + 12i) / 2
z2 = -4+√(-5 + 12i) / 2
 
J'ai l'impression que c'est faux  
 
Sinon pour (2) |z| = 2 et l'angle c'est -pi/4 donc z = 2ei(-pi/4) après pour le cube ça fait z^3 = 8ei(-3pi/4) mais je vois pas comment trouver les solutions  
 
Merci

|z^3| = 2 et l'angle pour z^3, c'est pas en pi/4 (sinon, tu aurais des valeurs identiques au signe pres pour la partie reelle et la partie imaginaire.
Trouver a quel angle correspond le complexe z^3/|z^3| = (√3)/2-i/2 c'est pourtant pas bien sorcier. L'angle dont le sinus vaut -1/2 ca doit faire partie des valeurs connues.
 
Pour le (1), tu resouds ça comme on fait ordinairement avec une equation du second degre, sauf que là on est en complexes:
Tu calcules le discriminant delta, tu vas trouver un nombre complexe.
Tu vas resoudre l'equation complexe w² = delta (ca va se faire comme la premiere question que je t'ai faite hier) et quand tu auras trouve la solution, tu pourras calculer les racines de l'equation (1) par la methode habituelle.

A+,

En fait il te faut exprimer ce nombre que tu as écrit : √(-5 + 12i)
Ce qui revient à trouver w complexe tel que w² = -5 +12*i
Exercice assez similaire à la question 1)
 
edit : burned by gilou the rhume soldier

Oops désolé je voulais dire -pi/6 et pour le 2) j'ai compris comment faire, merci

Donc tu sais maintenant que z^3 = 2.exp(-pi/6) tu devrais donc pouvoir en deduire z.
A+,

Bon sinon pour le 2) qui est z² - (4+i)z + 5-i = 0
on calcule delta :
(4+i)² - 4(5-i) = -5 + 12i
 
On pose z² = -5 + 12i avec z = a+ib (3) => z² = a²-b² + 2abi
d'où a²-b² = -5 (2)
       2ab = 12 (1)
Dans (1) on a 2a = 12/b => a = 6/b
On remplace dans (2), (6/b)²-b² = -5
36/b² - b² + 5 = 0
On multiplie tout par b², 36 - b^4 + 5b² = 0
On pose b² = B,
-B²+5B+36 = 0
delta = 169 soit deux solutions :
B1 = (-5-13)/-2 ou B2 = (-5+13)/-2
B1 = 9 ou B2 = -4
b1 = 3 ou b2 = 2i
 
On remplace les solutions dans (1) :
2a*b1 = 12 ou 2a*b2 = 12
6a = 12 ou 2a*2i = 12
a = 2 ou a = -3i
 
On remplace dans (3), ça nous fait :
z1 = 2+3i ou z2 = -2 -3i
 
Je sais pas si c'est bon?

B= b² donc une seule solution: B = 9 (B negatif impossible, car B est reel), d'ou b = 3 ou b = -3
...
Si tu corriges et continues la suite avec cette rectification, tu devrais arriver a finir l'exo.
Tu trouves en effet que les solutions de w² = -5 + 12i sont 2+3i  et -(2+3i).
A partir de ca, tu vas pouvoir trouver les solutions de l'equation de depart, en appliquant les formules usuelles.
A+,

La solution est bonne, mais 2 astuces qui simplifient le calcul dans le futur :  
1) les solutions z1 et z2 sont toujours opposées (z² = (-z)² = delta )
2) au système a²-b² = -5 (2)
                    2ab = 12 (1)
   tu peux toujours rajouter une équation (3) qui découle de l'égalité des modules : a² + b² = √( (-5)² + 12²)  (3)
Ainsi, tu fais (3) + (2) et le a est trouvé automatiquement

Merci pour vos réponses...
 
Si je comprend bien il faut trouver les solution a z et pas à z²...
w² = -5 + 12i sont 2+3i  et -(2+3i). ?

Je ne comprends pas ta phrase.
La tu viens de trouver les deux solutions racines du discriminant.
Apres tu n'as plus qu'a utiliser la formule du type (-b +/- racine du discriminant)/2a pour trouver les solutions de ton equation de depart en z.
A+,

Oui mais en fait dans le 1) z² = 11 -5i sqrt(3)
on c'était arrêté au z1 = 2+3i et z2 = -2-3i du 2) donc je capte pas

Coucou,
 
Je profites de ce topic pour vous solicitez
 

Je trouve -457 :
-5^3 = -125
(-5)² = 25
donc t'as f(-5) = 3*(-125) - 2(25) + 5*(-5) - 7 = -375 - 50 - 25 - 7 = - 457

ta oublier 5x (= 5 x -7 ?) -7 à la fin

Tu avais commence par:

Deja il fallait pas ecrire z² = -5 + 12i mais w² (ou autre chose, mais surtout pas un z) = -5 + 12i histoire de pas confondre avec l'équation de depart en z.
Tu viens de trouver donc que w = +/- (2+3i).
Tu as donc trouvé  +/-√delta.
Et tu vois toujours pas comment resoudre ton equation de depart (a laquelle correspond le delta??)
A+,
 
 

Non c'est pas bien formulé:  
f(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 7 (première valeur -5) -> 3(-5)³ - 2(-5)² + 5(-5) -7
[ Moi j'aurais ecris: f(-5) = 3(-5)³ - 2(-5)² + 5(-5) -7 ]
Et aucun de vous deux n'a bon...
 
A+,

Faudrait pas confondre le x qui note une inconnue et le signe de multiplication.
C'est d'ailleurs pour ça qu'on utilise * pour noter les multiplications ici, quand c'est necessaire.
Son calcul etait juste.
A+,

En fait moi j'ai mis, z1 = 2 + 3i et z2 = -2 - 3i ah si je vois comment trouver la solution, faut remplacer z (dans l'équation de départ) par z1 et z2  

ok merci

Pas du tout!!
z1 = 2 + 3i et z2 = -2 - 3i sont les solutions cherchees pour la racine de delta.
Faudrait maintenant continuer et trouver les solutions de ton equation de depart.
Tu vas utiliser la formule standard pour une equation du 2e degre.
A+,
 

ok donc si sqrt delta = 2+3i
z'1 = -1+2i ou z"1 = -1+i
si sqrt delta = -2-3i
z'2 = -3+i ou z"2 = -1-2i

  tu vas pecher ça ou??
Ton equation, c'est: z² - (4+i)z + 5-i = 0
et sqrt delta = 2+3i
 
Je te rapelle la formule: si on a ax² + bx =c = 0, on a 2 solutions
x1 = (-b + sqrt delta )/2a et x2 = (-b - sqrt delta )/2a  
 
Bon, je ne peux pas te macher plus le travail...
 
A+,

Oui mais on a 2 racines de delta ?
2+3i et -2-3i donc on devrait avoir 4 solutions?

Oui, mais en fait on s'en fout: les racines de delta sont opposées l'une de l'autre: 2+3i  et -(2+3i ) = -2 -3i
et les donc formules du type x1 = (-b + sqrt delta )/2a et x2 = (-b - sqrt delta )/2a  aboutissent aux memes solutions (pas dans le meme ordre) avec une racine de delta, ou l'autre, son oppose.
A+,

Donc c'est -1 + i ; -3 - 2i

Et tu arrives a ceci par quel calcul??
vu que c'est pas bon, sans les calculs, je ne peux pas dire ou tu te trompes.
A+,

Bah je fais (-4-i-(2+3i))/2 et (-4-i+(2+3i))/2

sauf que b = -(4+i) donc -b = (4+i)...
 
A+,

 
Ce qui serait intéressant c'est que tu montres tout ton cheminement (raisonnement), excepté les calculs intermédiaires, parce que vu tes posts précédents y'a un truc qui semble te bloquer.
Il vaut mieux montrer qu'on a compris (avec du français) et avoir un résultat (calcul) final faux que l'inverse.
 
Un truc du genre :
soit l'équation (1) z²-(4+i)z+5-i = 0 à résoudre dans C.
 
les équations du type ax² + bx + c = 0 ont pour solutions :
x1 = (-b + sqrt delta )/2a      (1')  
et x2 = (-b - sqrt delta )/2a   (1'')  
où delta = b**2 - 4ac.
 
Avec a =1 , b=-(4+i) , c=5-i , on a delta = -5 + 12i (2) ;
 
Posons w**2 = delta,
 
Cherchons w tel que w**2 = -5 + 12i (2')  
On est alors ramené à résoudre une équation identique à l'exercice 1 déjà fait.
 
les solutions de (2') sont : w1 = ? et w2 = ?
 
en reportant les résultats dans (1'), on obtient :
etc,etc...
 
Bon courage,
PS : à voir ce qu'en pense Gilou.
 
 

Merci pour ta réponse  
Y a pas de cours là dessus car moi en terminale s je m'appuyais sur un cours quand je captais pas mais là y a rien pour...

 
Raison de plus pour faire l'effort de montrer ton raisonnement avec du français.  
Il n'y a pas de mal à ne pas capter ; personne ne te le reprochera.    
 
Bon courage.