Reprise du message précédent :

Donc t'as interet a lire ce que j'ai ecrit un peu avant (les bonnes defs) si c'est ta definition d'une suite geometrique.
A+,

Merci pour ton paragraphe en page précédente, je vais étudier ça de plus près

Jp3fR t'es en terminale ?
 
parce que la methode Gilou c'est vrai que c'est comme ca qu'il faut faire mais ca me parrait un peu hard pour qqun en term
 
Si t'es en term, on te demandera plus de prouver un resultat par recurrence comme le propose fffff2mpl4.
 
enfin s'il te donne pas la formule a demontrer par reccurence t'es bien obliger de passer par la methode bourinne ou d'avoir pas mal d'intuition et faire la bonne hypothese sur la formule.

Ouais bah en fait quand j'ai S = 1 + 2 + ... + n et P = 1² + 2² + ... + n²
 
Je dois faire comment car n = 0 on sait pas ?
Donc n + 1 non plus
Et on ne peut pas conclure

Grosso modo, la methode de Gauss c'est ceci:
 
Tu veux la formule pour la somme des k-ieme puissances: 1+ 2^k + 3^k + ... + n^k
Tu connais deja les formules pour les valeurs jusqu'a k-1
Tu calcules la differences des puissances (k+1)-iemes de n+1 et n:
(n+1)^(k+1) - n^(k+1)
Ca te donne un polynome en n de degre k  (elimination des termes de degre k+1)
(n+1)^(k+1) - n^(k+1) = a_k n^k + a_(k-1) n^(k-1) + ... + a_1 n + a_0
Le premier terme du polynome va t'aider a etablir la formule
Les autres termes (de degre inferieur a k), tu vas les connaitre, parce que tu connais deja les formules pour les valeurs jusqu'a k-1 (hypothese de depart)
(n+1)^(k+1) - n^(k+1) = a_k n^k + a_(k-1) n^(k-1) + ... + a_1 n + a_0
n^(k+1) - (n-1)^(k+1) = a_k (n-1)^k + a_(k-1) (n-1)^(k-1) + ... + a_1 (n-1) + a_0
(n-1)^(k+1) - (n-2)^(k+1) = a_k (n-2)^k + a_(k-1) (n-2)^(k-1) + ... + a_1 (n-2) + a_0
..........................................
3^(k+1) - 2^(k+1) = a_k 2^k + a_(k-1) 2^(k-1) + ... + a_1 2 + a_0
2^(k+1) - 1^(k+1) = a_k 1^k + a_(k-1) 1^(k-1) + ... + a_1 1 + a_0
 
On somme le tout, ca fait:
(n+1)^(k+1) - 1 = a_k ( 1+ 2^k+ ... + n^k ) +  a_(k-1)( 1+ 2^(k-1)+ ... + n^(k-1) ) + ... + a_1 (1 + 2+ ...+ n) a_0 n
d'ou
1+ 2^k+ ... + n^k = [ (n+1)^(k+1) - [a_(k-1)( 1+ 2^(k-1)+ ... + n^(k-1) ) + ... + a_1 (1 + 2+ ...+ n) a_0 n + 1] ] / a_k
 
Le terme de droite peut s'exprimer en fonction de n a partir des formules établies pour les valeurs jusqu'a k-1 (connues par hypothese), et donc, on peut en deduire une formule pour la valeur k.
 
On sait donc grace a cette methode que pour toute entier k, la somme des puissances k-iemes des n premiers entiers est donnée par un polynome en n de degre k+1.
 
A+,

 

 
alors pour S, tu part de l'hypothese que S(n)=n(n+1)/2 que tu veux demontrer
 
intitialisation :
  cette hypothese est vrai pour n=0, s(0) = 0 = 0*(0+1)/2=0
 
heritage :
 supossons que S(n) est vrai alors
  S(n+1) = [1 + ... + n] + (n+1) = s(n) + (n+1)
  par hypothese de reccurence s(n) = n(n+1)/2
  S(n+1) = n(n+1)/2 + n+1 = (n²+n+2n+2)/2 = (n+1)((n+1)+1)/2
  donc S(n+1) est vrai
 
Par reccurence qq soit n, S(n) = n(n+1)/2
 
Mais pour utiliser cette methode il faut plus ou moins connaitre le resultat avant de commencer, et autant pour la somme des entier ca peut se deviner, pour la somme des carré c'est nettement plus dur a deviner ...
 
 

Au fait, tant qu'on est dans ces sommes, il y a une identite remarquable a connaitre:
 
 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2
 
A+,

Voilà, je suis un peu perdu sur un point :  
 
On a la fonction f telle que :  
f(x) = x + √ | 4x² - 1 |  
 
Il faut trouver la limite en moins l'infini, et je n'arrive pas à démontrer que c'est plus l'infini. Comment le démontrer ?  
 
Je me suis dit qu'il y aurait au moins une personne ici qui pourrait m'aider !
 
Merci !

1) tu minores x + √ | 4x² - 1 |  par quelque chose qui va te permettre de virer la racine.
2) tu montres que ton minorant tend vers +infini
 
A+,

Et d'où tu sors

Comment on fait pour minorer s désolé !!!!!! je suis pas douée !

p.ex.
abs(4x²-1)>abs(3x²) en moins l'infini.
donc ta fction elle est plus grande que x+sqrt(3x²)=[1-sqrt(3)]x

 
on a f(x)=2|x| (x/(2|x|) + sqrt(|1 - 1/(4x^2)|)) ,  le terme de droite tend vers -1/2 + 1=1/2 et celui de gauche vers plus l'infini lorsque x tend vers moins l'infini ...

C'est quoi SQRT ?

 
je suppose que tu parle du S(n)=n(n+1)/2 tout au debut
 
Je le sors de mon chapeau magique, ce qui ne m'empeche pas de prouver que la formule ensuite. Ce qu'il faut bien comprendre a ce type de recurrence c'est que ca sert a prouver une formule dont tu as l'intuition qu'elle est juste parce que tu as remarqué une certaine forme des premiers termes de la suite, parce que tu as fait des ptits calculs pas tres propre mathematiquement parlant et que tu veux une jolie demonstration, que ton exos de math te dit "prouver que S(n)=..." , ect
 
Bien sur si tu as aucune idee du resultat auquel tu dois parvenir, tu peux pas utiliser cette methode et tu dois prendre une autre (celle de Gauss que Gilou a donné dans ton cas)
 

 
square root : racine carré en anglais (et dans les languages de programation)

Je dirais ca comme ca:  
 4x²-1 > 3x² <=> x² > 1 <=> x > 1 ou x < -1
 
Donc, si  x < -1 on a 4x²-1 > 3x² > 0  d'ou sqrt(4x²-1) > sqrt(3x²)  
Donc si  x < -1 on a x + sqrt(4x²-1) > x + sqrt(3x²)  
De plus x < -1 on a x + sqrt(3x²) = x + (-sqrt(3) x) = (1-sqrt(3)) x
Donc si x < -1 on a x + sqrt(4x²-1) > (1-sqrt(3)) x  
 
On vient de minorer la fonction sur ]-infini, -1[ par quelque chose dont on sait determiner le comportement en -infini...
 
A+,

Salut tous,
 
J'aurais besoin d'un tout petit coup de pouce... vous allez surement trouver ca facile mais la je fatigue et j'ai du mal a me comprendre moi meme
 
 
Je dois montrer qu'il existe un point anguleux sur f(x)=Arcsin ((2sqrtx)/1+x)          
donc que :
 
lim  f(x)-f(1)/x-1 != lim f(x) - f(1)/x-1
x=>1+      x=>1-
 
(1+ et 1- : par valeurs inferieures et sup.)
 
Et j'arrive pas a calculer cette pauvre limite....
Je sais que vous n'etes pas la pour faire mes devoirs mais la je bloque... je tombe facilement sur 0/+oo ou 0/-oo, mais cay pas ca...

 
moi je préfère faire ça ... on dérive la fonction: f '(x) = 1/sqrt(1 - 4x/(x+1)^2) ((1+x)/sqrt(x) - 2 sqrt(x))/(1+x)^2
= |1+x|/|x-1| (1-x)/(sqrt(x)*(1+x)^2) = ((1-x)/|x-1|) * 1/(1+x)
 
d'où lim f '(x)= -1/2 en 1+ et lim f '(x)=1/2 en 1-  

Merci de ta reponse, c'est vrai que la lmite est plus simple a calculer comme cela..
En plus j'ai besoin de la dérivée par la suite donc ca doit etre la methode à appliquer
A+

Salut
 
J'ai un exo que j'arrive pas à résoudre  
 
Le voici :
 

 
 
Merci de m'aider

Pour le 1), calcule Vn+1/Vn en utilisant l'expression de Vn en fonction de Un. Si tu trouves une constante, c'est gagné.
 
Pour le 2), Sn est une somme de termes d'une suite géométrique : 1+b+b^2+....+b^n= [(b^(n+1))-1]/(b-1). Une formule du même genre que celle citée plus haut donc (récurrence tout ca.. )
Pn est un produit de produits donc pas de soucis, il suffit d'avoir la bonne expression de Vn en fonction de Uo et de r.

Le 1 est deja extremement simple, a condition d'utiliser les definitions des suites arithmetiques et geometriques que j'ai donné plus haut.
a) Exprime que (Un) est arithmetique
b) Regardes la condition des suites geometriques pour (Vn). Utilises les proprietes des puissances et utilises le fait que (Un) est arithmetique, pour en deduire que (Vn) verifie la condition des suites geometriques.
Tu trouveras que la raison de (Vn) est 2^(raison de Un).
 
 
Pour le 2) tu exprimes Vn en fonction de U0, n et r, et le reste en decoule simplement.
Pour le premier, ca devrait te donner 2^U0 * (2^(n+1)r - 1)/(2^r - 1)
Pour le second, ca devrait etre 2^[(n+1)(2U0 + nr)/2]
A mes erreurs de calcul pres.
A+,

 
1) (Un) est une suite arithmétique donc on l'exprime en fonction de sa raison r, après on trouve que (Vn) est géométrique de raison 2^r.
 
2) pour Sn c' est évident.  
 
   Vn=produit de k=0 à n des Vo 2^(kr) donc Vn=Vo^(n+1) 2^(rn(n+1)/2) = 2^((n+1)*(Uo+(rn)/2)
 
edit: grillaid  

bonsoir
quelqu'un pourrait-il m'indiquer la solution de cette equa diff homogene du second ordre avec coefficients variables :  
 
x^2*f''(x)-x*f'(x)+(1-x^2)*f(x)=0

t'aider si tu arrives pas à trouver la solution, ça oui on peut le faire. par contre te donner la solution clé en mains non désolé, y a des calculettes pour ça.

ceci n'est pas un exercice a faire et a rendre.
Actuellement, je n'ai pas encore appris comment résoudre une équa diff avec coefficients variables et je suis assez curieux donc si tu pouvais me livrer la méthode de résolution ainsi que la méthode pour la résoudre avec une ti89, ca me plairait beaucoup
 
d'avance merci

bonsoir
 
Pour montrer qu'une droite y = ax + b est asymptote à f(x), est-ce que le fait que la limite de [(f(x) - y] = 0 quand x->+infini suffit ou il faut que ca donne 0 également en -infini ?
 
Merci

Ça dépend de la situation.
Première chose, c'est bien cette limite qu'il faut étudier. Mais en général tu cherches à déterminer si la droite est asymptote à la courbe en un point particulier (disons a), le cas le plus fréquent étant que ce point a est l'un des infinis (+ ou -).  
En pratique la limite, tu l'étudies en a justement.
 
++

Malheureusement la question n'est pas claire, on me demande juste de montrer qu'une droite est asymptote à f(x)  
 
Je me contenterais de dire qu'elle l'est qu'en +infini ( vu que c'est le cas )

Au pire, tu fais rapidement une approche graphique (calculatrice) et tu vois grosso modo où courbes et droites peuvent être asymptotes. Ensuite c'est juste une limite à calculer.
On peut trouver des fonctions (mêmes gentilles) qui admettent une droite comme asymptote en plusieurs endroits.
 
++

Juste en passant, vu que je n'ai pas la solution à ton problème (si j'atais toi, j'essaierais avec une Ti89 ou avec Maple ou tout autre logiciel de maths analytique), il n'existe pas de méthode pour résoudre les équa diff non linéaire en général, il y a juste du cas par cas (et il y a beaucoup de cas ). Si tu dis que la tienne n'est pas issue d'un exercice, il y toutes les chances pour qu'elle n'ait pas de solution analytique simple.

 
Non non les asymptotes à plusieurs endroits c'est uniquement en +/- infini.
Les autres asymptotes possibles sont verticales...
 
Ne pas confondre avec les tangentes.

un coup d'oeil sur les fonctions de Bessel (dans l'encyclopédie universalis par exemple) pourrait t'aider ... (résoudre l'équation de Bessel est à la base de nombreux énoncés de concours, tu sais donc ce qu'il te reste à faire ... )

 
 
Wronskien ?

 
Hmm, malgré une recherche google, je n'ai trouvé de lien entre le wronskien et les équations différentielles que pour les équations différentielles ordinaires, c'est à dire avec un coefficient constant devant le terme en y''.
 
Donc je dois l'avouer : Je ne connais pas la réponse à ta question

sinon avec des series entière, il me semble qu'on doit aussi pouvoir trouver des trucs sur ce genre d'equadiff

merci pour vos indications, je vais faire des recherches
 
par contre, personne ne pourrait me dire comment résoudre des équa diffs linéaires de second degré  ?

a coefficients constants? ca s'appelle la méthode de variation de la tangente et a priori (j'ai survolé mais ca m'a l'air de correspondre) c'est expliqué la dedans : http://perso.wanadoo.fr/lavau/mpsi2003/EQUADIFF.PDF
 
:jap^:

 
variation de la constante