Reprise du message précédent :
 
 
 
ébé alors elle est longue  
mais je veux bien la copier
 
Distinguons trois cas
(i) la fonction est positive et bornée
quelque soit x, on a donc 0<= f(x) <= M
 
Soit Ak={x |  kM/(2^n) <= f(x) <= (k+1)M/(2^n) }
 
où n est un entier et k = 0,1,2,...2^n-1
 
La fonction fn =somme sur k( (kM/(2^n))*1Ak) est étagée car les ensembles Ak, images réciproques par f des intervalles [kM/2^n, (k+1)M/(2^n)[ sont mesurables et on vérifie que la suite fn est croissante et qu'elle cv uniformément vers f
note : 1Ak(x) = 0 si x n'appartient pas a Ak
       1Ak(x) = 1 si x appartient a Ak
 
(ii) la fonction f est positive, à valeurs finies ou infinies (nota bene : je vois pas ce qu'ils appellent à valeur finies ou infinies)
 
soit gn = inf(fn,n) où n est un entier positif  
cette fonction est positive et bornée
d'apres ce qui précède, il existe une fonction étagée hn telle que 0<=hn< gn et sup |hn - gn| <1/n
 
on vérifie que la suite hn converge vers f( nota bene : ah? ca m'a pas l'air évident ca...^^)
 
(iii)
 
la fonction f est à valeur dans R ou dans Rbarre
on pose f= f+  - f-
 
f+ et f- st respectivement les parties positives et negatives de f
on applique les deux résultats précédents a ces fonctions positives
si f est a valeur dans C on considère les parties rélle et imaginaires de f
 
et voilà

tu l'as écrit toi meme! les Ak sont mesurables (car f l'est)

Voilà, les A_k sont mesurables comme préimages de boréliens. Rien de plus sorcier
 
A noter que c'est une manière de définir un ensemble mesurable si on prend les choses à l'envers (on part d'une mesure comme une forme linéaire sur les fonctions continues à support compact) : un ensemble est dit mesurable si son indicatrice l'est

Coucou, je suis prof de maths et je suis en train d'écrire le concours de la MJC de ma ville pour les 6eme/5eme et 4eme/3eme.
Pendant que je me creusais la tête pour trouver des questions originales j'ai imaginé ça:
Quel est le plus petit nombre formé par les chiffres 1 2 3 4 5 6 7 8 9, chacun utilisé une et une seule fois, tel que l'on n'ait jamais deux chiffres consécutifs côte à côte?
 
Qu'en pensez-vous?
 
Et si vous avez des questions originales et faisables en 2minutes (25 questions en 1h pour le concours) je suis preneur.

Très sympa et originale comme questio, ça risque d'en gêner plus d'un

 
oui, mais là je commence à sécher un peu. Pas facile d'être imaginatif sur 25 questions.
 
au fait, quelle est la réponse?

C'est un piège que tu tentes de me poser ?  

La tehon si c'est faux

félicitation ,tu peux concourir dans la catégorie 6eme/5eme!

Bah 1 3 5 2 4 7 9 6 8 non ?
 
edit : j'avais mis 1 3 4 2 5 7 9 6 8

 
exact, tu devrais mettre une balise spoiler cela dit.
 
Mais sinon la vraie question est: pensez-vous que la question soit bien formulée et qu'un 6ème puisse répondre?

 
non les 3/4 se planteront en pensant que 3 et 2 ne se suivent pas.

 
c'est ce que je crains aussi!

* l'angle des pointes d'une etoile à cinq branches (et donner le dessin)
* nombre de faces d'un Triacontadoèdre ou autre polyèdre barbare
* en sachant que si quelquechose fait 10dB et que deux fois cette chose en fait 3 de plus, combien de ces choses faut-il pour faire 40dB?
 
réponses

Salut.
 
J'ai un problème :j esuis en terminale S et le prof de math a donné un exo un peu chaud.
 
Je suis blocké à l aquestion 2  

 
Sinon, comment résoudre ceci?

 
D'avance merci

 
pour le triconbidule je sais pas repondre, j'imagine que pour des 6emes...
De même, en 6eme on ne sait pas encore (enfin mes eleves si, mais pas tous) que la somme des angles d'un triangle fait 180°. Alors les angles d'une étoile... Par contre ça sera bien pour le concours de 4 eme.
 
Merci pour ces idées.
 

 
Hum pas facile facile quand même... Pour la derniere par exemple ok les puissances doivent être vu au collège, mais penser a "transformer" les additions en multiplications (si on peux dire ca comme ca) en les utilisant, ca fait un peu lycée (exponentiation).Ils ne verraient sans doute même pas que quand les décibels augmentent linéairement le nombre de choses augmentent exponentiellement. Enfin je suis pas prof et je conais pas vraiment le niveau des collégiens (car ne pas connaitre l'analyse ne veut pas dire qu'ils ne sont pas tout simplement astucieux)
D'ailleurs..

 
tiens pendant que je suis là je peux te filer un coup de main, même si j'enseigne pas en TerminaleS:
la 2a) c'est Chasles
2) sin^n(x) est croissante positive donc chacune des deux intégrales est majorée par sin^n(borne supp) * borne supp, d'où le résultat
3) sin(pi:2 - alpha) = cos(alpha)
0<cos(alpha)<1
donc à la puissance n ça tend vers 0
donc l< alpha
4) donc l < alpha pour tout alpha de ]0;pi/2[ donc l=0
bien sur faut rédiger tout ça, mais je pense pas avoir dit de bêtises, enfin j'espère.

C'est quoi ce qu'il faut rechercher la dedans? a et b?
dans ce cas si (f+lg)(t)€R avec t€R(j'imagine que c pas un truc complexe; "€"="appartient à" ) alors la fonction [(f+lg)(t)]^2>=0 pour tout t€R.
Par suite si a<=b l'intégrale  I de cette fonction est >=0, et si a>=b alors l'intégrale est -I (intégrale de a à b= - intégrale de b à a, sachant que intégrale de b à a >=0 ici si b>=a) c'est a dire qu'elle est négative ou nulle.
D'ou a<=b. (je vois pas l'utilité d'une fonction aussi compliquée... j'ai l'impression d'avoir fait trop simple mais je vois pas ce qu'il y aurait a faire de plus...)

 
Mouais l'inégalité est évidente. Pour l'intérêt de la fonction : en développant on obtient un trinôme du second degré en lambda dont le discriminant est négatif ou nul (du fait de l'inégalité considérée) et dire que le discriminant est négatif ou nul revient à dire que l'inégalité de Cauchy-Schwarz est vraie.

le tri machin c'est du pif un peu orienté, il y en a souvent dans les enigmes de math de college (tri....do...=32faces)
pour les étoiles je ne connais pas de rêgle, mais on peut penser que c'est du genre 360/5 ou 180/5 donc on teste...
pour les décibels j'avais vu ca avec des mouches, c'était marrant, puis les collégiens vont y aller à tatons 10,13,16...40 et vont trouver 2^truc tous seuls  
 
sinon il y a les jeux sur les dimentions : si on multiplie les longueurs pas x, le volume le sera par x^3
ce qui donne : deux pots en metal dont l'un est 2x plus gros que l'autre : trouver son volume et son poids à vide
 

ou aussi une tour de hanoï à 3 palets : nombre de déplacements minimums (mais il faudra leur dessiner^^)

non, c'est cool pour l deuxième question/
 
lambda appartient à R.
 
J'ai en effet dit que la fct (f+lg)^2 était positive et que son intégrale est positive.  
 
Par contre maintenant, on me demande ceci (question b):  
 

 
ca a été dit!
considère le dicriminant

 
Pas bête ça, une question de plus.

cette phrase a .... voyelles

 
tiens moi je n'en compte que 10 si tu mets "onze" dans le trou

 
'y' en est une

Mais dix convient aussi alors  
(notez bien que le alors est en trop mais si 'y' n'est pas compté comme voyelle, alors onze ne convient pas non plus )
 
Au fait, 12 aussi convient

bah oui que je suis bête!

tiens ca me fait penser a un petit probleme:
 
Dans cette phrase,
il y a ... fois le chiffre 0,
il y a ... fois le chiffre 1,
il y a ... fois le chiffre 2,
il y a ... fois le chiffre 3,
il y a ... fois le chiffre 4,
il y a ... fois le chiffre 5,
il y a ... fois le chiffre 6,
il y a ... fois le chiffre 7,
il y a ... fois le chiffre 8,
il y a ... fois le chiffre 9.

Bonjour, j'ai une petite question.
En considérant a, b, c des réels positifs on a :
((a+b+c)^3)/27 > a*b*c  (inégalité de Cauchy n=3)
Avez vous une interprétation géométrique ?
 
J'ai des idées mais rien de vraiment simple.
Merci

 
 
Moi j'interpreterais en disant qu'à périmètre donné, le cube est le parallelepipède (dur à écrire ce truc...) possédant le plus grand volume.
 

c'est con, mais y a pas moyen de faire du cauchy-schwarz là dessus ?

Salut
J'aurais besoin d'un petit peu d'aide pour résoudre quelques exos niveau Première S :
 
________________________________________________________________________________________________________________________
 
Exo 1 :
 
 
1) On considère, pour x , l'équation ( E ) : 3 sin(x) - 4 sin^3(x) = 0
 
a] Méthode 1 : Déterminer sin(x) puis en déduire toutes les valeurs de x. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
 
b] Méthode 2 : A l'aide des formules d'addition et de duplication; exprimer sin(3x) en fonction de sin(x). Résoudre ( E ) en utilisant l'équivalence :
"sin (X) = sin (A) " { X = A + k.2
                               |       ou
                               { X = - A + k.2
(c'est un système d'équations)
 
 
2) Sur la figure ci-dessous AC = 1
   Trois angles ont pour mesure x.
   0 < x < /2
 
a] Exprimer CB, CD puis CE en fonction de x, à l'aide de la trigonométrie.
 
b] On souhaite que : CE = 3/4 CB
    Prouver qu'il s'agit de résoudre ( E ) avec x appartenant à ] 0 ; /2 [.
    Conclure
 
Figure :
 

 
Mes réponses :
 
1a) on prend X=sin(x)
 
3*sin(x) - 4*sin^3(x) = 0
 
devient 3*X-4*X^3=0
 
on factorise :
 
X*(3-4X²)=0=X*(V3-2X)*(V3+2X)
 
donc X=0 ou X=V3/2 ou X=-V3/2
 
mais l'inconnue est x
 
il faut donc resoudre X=sin(x)=0 <=> x=k*Pi,k dans Z
puis X=sin(x)=V3/2=sin(Pi/3) <=> x=Pi/3+2kPi ou x=Pi-Pi/3+2kPi=2Pi/3+2kPi (voir equivalence en 1b)
 
enfin X=sin(x)=-V3/2=sin(-Pi/3) <=> x=-Pi/3+2kPi ou x=Pi+Pi/3+2kPi=4Pi/3+2kPi (voir equivalence en 1b)
 
les solutions sont sont donc x=k*Pi ou x=Pi/3+2kPi ou x=2Pi/3+2kPi
ou x=-Pi/3+2kPi ou x=4*Pi/3+2kPi
 
pour la b)
 
 
sin(3x)=sin(x+2x)=sin(x)*cos(2x)+cos(x)*sin(2x)
                 sin(x)=sin(2x-x)=sin(2x)*cos(x)-sin(x)*cos(2x)
 
en faisant sin(3x)-sin(x)=sin(x)*cos(2x)+sin(x)*cos(2x)=2*sin(x)*cos(2x)
 
 
or cos(2x)=1-2*sin²(x)
 
donc sin(3x)-sin(x)=2*sin(x)*[1-2*sin²(x)]=2*sin(x)-4*sin^3(x)
 
et du coup :
sin(3x)=3*sin(x)-4sin^3(x)
 
grace a ce dernier resultat, (E) est en fait equivalente a ceci
sin(3x)=0
 
et comme sin(3x)=0=sin(0)
 
 
bien entendu on doit trouver la meme chose qu'en a.
 
pour la 2a)  
 
sin(x)=CB (en regardant le triangle ABC rectangle en B)
 
puis pour le triangle CBD rectangle en D :
sin(x)=CD/CB => sin²(x)=CD
 
enfin pour le triangle CDE rectangle en E :
 
sin(x)=CE/CD => CE=sin(x)*CD=[sin(x)]^3
 
on souhaite que CE=3/4*CB
 
donc que [sin(x)]^3=(3/4)*sin(x)
 
ce qui revient a 4*[sin(x)]^3-3*sin(x)=0
ou encore a 3*sin(x)-4*[sin(x)]^3=0
 
mais attention, dans cette question x est la valeur d'un angle dans un triangle rectangle (et ce n'est pas l'angle droit)
 
donc 0<x<Pi/2
 
conclusion pour avoir CE=3/4CB il suffit de trouver x dans ]0,Pi/2[ tel que x soit solution de E.
 
Voilà pour le premier exo, je voulais savoir si j'avais oublié de faire quelque chose et si mes résultats et rédactions étaient bons.  
Merci  

si jme base sur le 1ere S a qui je donne des cours, la rédaction est niquel chrome
 
Nan ça m'a pas l'air mal du tout mais j'ai jamais été une star en rédaction alors... pour ce qui est des résultats , sauf erreur de ma part, c'est bon. Et puis de toutes façons on sent bien que tu as compris et je pense que c'est bien là l'essentiel

Ca m'a l'air complet. (Enfin j'imagine que dans l'énoncé, pour la question 1)b), il fallait lire dans le système "x= pi-A +2kpi"...d'ailleurs tu l'as ien fait dans l'exo après)

Merci de m'avoir répondu les mecs, il m'en reste que 2, je vais en faire un :
 
________________________________________________________________________________________________________________
 
Dans un repère orthonormal (O ; ; on considère les points A (3 ; 1) et C (1 ; -3) J'ai fais une figure si ça peut vous aider
 
 
1) Calculer la mesure principale de l'angle ( ; vect(OA)) et celle de ( ; vect(OC))
En déduire la mesure principale de (vect(OA) ; vect(OC))
 
 
2) Démontrer que OAC est rectangle isocèle en O, indirect.
 
 
3) Soit B tel que OABC soit un carré.
 
a] Calculer la mesure principale de ( ; vect(OB))
 
b] Calculer les coordonnées de B sans utiliser la question précédente.
 
c] Déterminer par la méthode de son choix : cos ( ; vect(OB)) ; sin ( ; vect(OB))
 
 
Figure
 

 
Réponses :
 
1)
 

 
Pour la 2) et la 3) je ne vois pas comment faire   , j'aimerais bien que vous m'aidiez s'il vous plait, ça me rendrait un énorme service  

ça se passe bien tes cours au fait ?

pour la 2. tu as besoin d'un angle de -Pi/2 et de deux côtés égaux, à toi de voir quels sont les outils que tu peux utiliser pour montrer ça
 
pense toujours aux relations de chasles, et essaye de faire apparaître des triangles rectangles...