Reprise du message précédent :
Oui, en te repondant, je me rendais compte de ca (voila ce que c'est que taper a la va vite avec un "A Table" qui resonne en bruit de fond )
En fait, ce que j'avais calculé ce matin (et oublie sur le soir quand j'ai tape mon premier message), c'est qu'il y a la solution constante n -> 1/2 pour tout n (dont 0)
[et quand j'ai tapé ma reponse suivante f(0) = 0, la j'ai fait une connerie, car c'est justement le contraire, comme quoi il faut pas taper a la bourre, et sans regardere ce qu'on a ecrit sur un brouillon le matin meme]
 
f(0 + 0) = f(0) = f(0)^2 + f(0)^2
2 f(0)^2 = f(0) d'ou f(0) = 0 ou f(0) = 1/2 ( je regarde les solution dans Q comme dit ptecedemment)
 
Pour f(0) = 0, on tombe sur la fonction n -> n
Mais pour f(0) = 1/2, on tombe sur la fonction n -> 1/2 (tout simnplement parce que 1/2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 )
 
A+,

De toutes façons, la solution 1/2 est à exclure, fonction de N dans N .

Euh si tu lis ce que j'ai ecrit, j'ai dit  

Parce que en generalisant, a une fonction qui est de R -> R et qui verifie f(x^2 + y^2) = f(x)^2 + f(y)^2 pour tout x, y reels (on connait donc au moins 2 telles fonctions ), on va peut etre pouvoir montrer que ce sont les deux seules de R -> R et conclure. Avec des variables sur R, on a par exemple droit a la racine .
C'etait une des pistes que j'explorais en tout cas.
A+,

Bonsoir !
 
J'ai un petit problème, j'ai 3 fonctions :
sin : t -> sin t
f : t -> U(t) sin t
g : t -> f(t - pi)
h : t -> f(t) + g(t)
 
J'ai fait les premières questions (exprimer f(t), g(t), h(t) en fonction de t. Construction des courbes et détermination des transformées de Laplace de ces fonctions) mais la dernière question me laisse complètement sans idée.
 
"Déduire des transformées de Laplace, sans faire de calcul direct, la valeur de l'intégrale : \int_0^pi e^(-3t)sin(t) dt."
 
Vous pourriez me donner une piste ? Merci beaucoup.

 
c'est bien ça le problème, rien ne prouve qu'on a le droit de le faire.
 
Si c'est le cas, la conclusion est facile :
pour tout m,n :
f(m²+n²)=f(m)²+f(n)²=f(m²+0²)+f(n²+0²)=f(m²)+f(n²)
on appelle g(x)=f(x²) donc :
pour tout x,y superieur ou egal à 0, g(x+y)=g(x)+g(y)
donc g est linéaire, donc blablabla, et donc f(n)=n

> c'est bien ça le problème, rien ne prouve qu'on a le droit de le faire.
 
On a toujours le droit de generaliser un pb pour avoir une idée de la solution.  
La deja tu as montre que si une telle fonction existe dans R et si f(0) = 0 alors elle est unique. C'est pas ce qu'on veut, mais c'est peut etre un pas vers la bonne soluce.
 
A+,

 
En fait ce qu'on a le droit de dire, c'est que la solution dans N est contenue dans l'ensemble des solutions dans R restreint à N. C'est déjà pas mal .

Mais bon perso, je me pose la question... est ce que l'auteur de l'exercice a une solution niveau terminale? Est ce que l'auteur CROIT avoir une solution de niveau terminale mais qui est en fait fausse?
 
Ou alors y a t'il un truc gros comme le nez au milieu de la figure qu'on n'a pas vu?

Non justement pas: Tu pourrais avoir des fonctions sur R verifiant la formule sur N, mais pas sur tout R, a priori.
A+,

C'est aussi mon avis. Si on savait a quel chapitre du cours est associe cet exo, ca donnerait peut etre une indication utile.
A+,

et si on résout sur R, ça tombe tout de suite:
f(x²+y²)=f(x)²+f(y)²=> f(x²)=f(x)²
=>f(x²+y²)=f(x²)+f(y²)
 
=>f(sqrt(x)²+sqrt(y)²)=f(sqrt(x)²)+f(sqrt(y)²) soit f(x+y)=f(x)+f(y)
 
on montre par récurrence que si x est dans N, f(x)=x
 
j'ai beau me dire que c'est rapide et simpliste et qu'il y a probablement une faille, je vois pas laquelle, à priori on a le droit de la prolonger comme on veut cette fonction tant qu'on respecte la donnée sur N

Mon, sur R , le raisonnement est OK, a la faute d'ecriture sur les carres que je rectifie ici: f(sqrt(x)²+sqrt(y)²)=f(sqrt(x)²)+f(sqrt(y)²)  Ca nous donne pas l'unicite de la solution au pb restreint a N, mais si on avait trouve plusieurs solutions, on aurait alors sans doute eu un contre exemple.
A+,

oui, exact pour les carrés
 
mais ça montre quand même que si on admet qu'on peut prolonger cette fonction à R, on a f|N = Id, non?

 
 
Non, tu ne peux pas. La raiso est un peu compliqué, mais voici en gros pourquoi :
 
Si tu as calculé les valeurs de f(0) à f(12), tu as du remarquer que pour déterminer la valeur de f(x), il fallait appliquer une des recettes suivantes pour le deduire a partir de valeurs deja connues :
 
-si x=m²+n², et que f(m) et f(n) sont déjà déterminé, tu peux déduire f(x) (avec le cas particulier x=m²)
-si m=x²+n², et que f(m) et f(n) sont déjà déterminé, tu peux aussi avoir f(x) (toujours avec en particulier le cas m=x²)
 
Donc pour calculer f(x), il faut donc pourvoir relier x à 0 et 1 en utilisant successivement un nombre fini des deux opérations précédentes.  
(Par exemple, pour calculer f(3) :
2=1²+1² --> f(2)
4=2²+0² --> f(4)
5=2²+1² --> f(5)
25=5²   --> f(25)
25=4²+3²--> f(3))
 
Sauf que rien ne prouve que tous les entiers n peuvent être atteint de cette façon. Dans ce cas, f(n) n'est pas forcément égal à n.
Par contre, si tu généralises à R-->N, tu vas imposer dans ce cas f(n)=n et tu vas supprimer une solution qui était valable dans N-->N.

il y a une chose qui m'échappe : si tu fais abstraction de la manière dont on calcule les premiers termes et que tu considères une fonction quelconque f : N->N, qu'est-ce qui t'empêche d'étendre f de N à R d'un point de vue mathématique?

 
 
Ce qui me gêne, ce n'est pas que tu étendes f dans R, mais que étendes la relation f(m²+n²)=f(m)²+f(n)² pour m et n appartenant à R. De cette façon, tu rajoutes des conditions et tu changes le problème.
 
Pour prendre un exemple. Imagine que tu cherches à déterminer l'intersection de deux droites non parallèles. Ton raisonnement revient à dire :
"je rajoute une infinité de droite, je constates qu'elles ne passsent pas toutes par le même point, donc il n'exsite pas de point d'intersection commun à toutes ces droites, donc mes deux droites de départ n'ont pas d'intersection"
Ce qui, bien entendu, est faux.

Non, car tu n'as pas fait que prolonger la fonction, tu as aussi prolongé la formule, qui elle a priori, n'est valide que sur les entiers. Rien ne dit qu'il n'existe pas d'autres prolongements pour laquelle la formule soit fausse pour des reels pas entiers.
A+,
Grilled de qques secondes

ok, vu, c'est ça qui m'échappait depuis tout à l'heure
 
Gilou > aussi

Bref, tout ça pour dire qu'au bout de 48 heures, on en est toujours au même point.  
 
Vous avez essayé quoi comme stratégies pour démontrer le cas général ?
 
Moi j'ai essayé :
-montrer l'unicité de f. J'ai essayé par l'absurde, en appelant a le plus petit entier tel que f(a)=/=g(a). J'ai tourné en rond puis abandonné
 
-peut-être qu'il faut démontrer au préalable la relation pour des sous-ensembles de N, puis généraliser. On démontre assez facilement f(n)=n pour toutes les puissances de 2, par exemple. Mais, je vais pas plus loin
 
-prendre un verre de muscat. Ca rafraichit, ca permet de penser à autre chose, mais ça fait pas avancer le problème.
 
Cela dit, je trouve pas, mais j'ai une excuse, je suis biologiste

-tenté de montrer l'unicité -> échec
 
-tenté de montrer que f(n²)=n² par récurrence -> échec
 
-géométrie (pas longtemps) -> échec
 
(moi aussi, j'suis mécanicien )

J'ai pas essaye le muscat, mais les deux autres methodes si, sans trop de resultat
A+,

Indice:
(2n+1)^2 + (n-2)^2 = (2n-1)^2 + (n+2)^2

Effectivement, c'est plus facile avec cette relation, j'ai la démo complète.
 
Cela dit, c'est peut-être du niveau terminale, mais je ne pense quand même pas que ce soit à la portée d'un terminale, même un très bon.

 
Bon alors NON je n'ai pas la réponse de l'exo, elle n'est pas fournie dans le bouquin mais je pense que je vais appeler l'éditeur pour l'avoir.
Sinon apres reflexion, il existe une méthode assez simple pour trouver f(0) ---> f(12). Je posterais le resultat plus tard.
Pour la généralisation ... par contre je ne vois toujours pas.
 
Edit :
   burned par Verdoux  
Le truc etant de chercher a trouver toutes les relations du genre a²+b²=c²+d² (on y arrive facilement avec un tableau où on fait la somme des n premiers carrés)

 
 
Réponse à l'exo  

Perso, la solution donnée ne me semble pas etre du niveau de terminale avec juste l'énonce et sans passer par des indications comme mises dans le spoiler
A+,

Je suis d'accord, en l'état c'est loin d'être accessible pour un niveau terminale

est ce que une fonction continue sur un intervalle fermé est bornée?  
 
Pour les intervalles ouverts c'est non ( cf: exp ) mais pour un intervalle fermé je trouve pas de contre exemple
Par exemple une fonction continue sur [0,1] est bornée?
 
merci

 
sur un compact
mais dans R tu trouveras pas de contre exemple car tout intervalle [a,b]=compact

oui ma fonction est à valeur dans R donc c'est bon?
 
C'est quoi un compact?

Si ta fonction est f:R->R, oui, toute fonction continue sur un fermé est bornée

Un compact est (grosso merdo) un ensemble fermé et borné. Toute fonction continue sur un compact est bornée, et atteint ses bornes.
 
Par contre, il est faux de dire que toute fonction continue sur un fermé est bornée, puisque la droite réelle elle-même est fermée, et f(x)=x n'y est pas bornée. Par ailleurs, je considère que la droite réelle est un intervalle (fermé, donc). La réponse à la question est donc non, sauf si dans tout cours il est clairement spécifié qu'un intervalle est de la forme (a,b) (ou [a,b), (a,b], [a,b]) avec a, b nombre réels.

la topo ça commence à dater, mais R n'est pas fermé que je sache, c'est R barre, non?

Effectivement, ça date : l'ensemble total et l'ensemble vide sont toujours fermés et ouverts. IR est donc fermé.
 
IR barre, c'est tout autre chose, c'est un espace qui contient IR de manière dense, et qui est compact (c'est possible de le faire parce que IR est de Hausdorff et localement compact).
 
Pour prendre un exemple, tu choisis (a,b) dans IR. C'est un sous-ensemble ouvert de IR. En revanche, comme espace topologique (muni de la topologie restreinte, i.e. les ensembles de la forme U inter (a,b) où U est un ouvert de IR), il est fermé dans sa topologie. Il est ouvert aussi dans sa topologie.
 
Pour une "preuve" que IR est fermé : son complémentaire, l'ensemble vide, est ouvert, puisque toute condition universelle sur le vide est trivialement vérifiée (pour tout x dans le vide, x vérifie P est toujours vraie).

hé ho, ça va hein
 
de toute façon, j'ai toujours détesté la topologie, je fais une syncope dès que quelqu'un prononce le mot connexe à moins de 10m de moi

> Pour une "preuve" que IR est fermé  
 
Si E est un espace topologique, il est toujours ferme pour sa topologie, par exemple parce qu'il ne peut que etre egal a sa fermeture
 
A+,

Un espace topologique E est compact si toute famille d'ouverts dont la reeunion est E contient une sous-famille finie d'ouverts dont la reeunion est E. (Ce qui equivaut a: toute famille de fermes dont l'intersection est vide contient une sous-famille finie de fermés dont l'intersection est vide).
 
Ca permet de ramener pleins de pbs a des pbs sur un ensemble fini d'ouverts, de travailler dans ces espaces.
 
A+,

@Herr Doktor Killikil : « connexe »  
 
   
 

C'est pourquoi j'ai écrit "preuve". J'ai supposé que Herr aurait été plus familier avec la définition de ouvert sur les espaces métriques (celle qu'on voit avant de faire de la topo ) : en n'importe quel point on peut centrer une boule, et fermé = complémentaire d'un ouvert (ça c'est bon).
 
Je n'ai pas voulu sortir la grosse définition de compact (de tout recouvrement ouvert on peut extraire un recouvrement fini), mais c'est une bonne idée. Faut juste quelques précisions, pour qu'il se fasse une idée : dans IR^n, c'est équivalent au fait due l'ensemble est fermé et borné. De manière générale, ce n'est pas vrai : la compacité -dans les espaces métriques- induit toujours le fait d'être borné et la fermeture. En revanche, la réciproque est fausse (en dimension infinie le cube de Hilbert est un bon contre-exemple, la boule unité aussi).
 
L'avantage de cette définition est qu'elle permet de montrer facilement que toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes (mais il faut traduire la continuité en termes de préimages d'ensembles ouverts avant).

On peut faire decouler ca entre autres du fait que si f: E -> F est une fonction continue, d'un est un espace compact E et dans un espace metrique F de distance d, alors il existe une constante M telle que pour tout couple (x, y) de points de E on a d(f(x), f(y)) <= M, pour montrer l'existence des bornes (considerant f et -f) et de ce que
a) l'image d'un espace compact par une application continue est un espace compact
b) toute suite d'un espace compact a un point d'accumulation
pour montrer que les bornes sont atteintes.
 
A+,

 
Ca fait peur l'algebre pure qd meme

C'est de la topologie.
J'aime l'algebre et la topologie [mais pas tant que ca la topologie algebrique )
A+,