Reprise du message précédent :

euh... non, vu que f(0)=0 et f(1)=1

Et d'une j'ai effacé mon post, et de 2, f(1)>0 mais pas égal à 0 .

 
 
J'ai des doutes avec ta demo, mais c'est peut-etre parce que tu vas un peu vite.  
Le fait de prolonger la fonction (donc la relation, j'imagine), revient à imposer des conditions supplémentaires qui n'étaient pas présentes initialement. A l'arrivée, il te reste la solution f(x)=x pour tout x (même si j'ai pas tout suivi la démo), mais tu ne peux absolument pas exclure qu'il n'y ait pas une autre solution, que tu aurais écarté en étendant f à R+.
 
Cela dit, je suis quasiment sur qu'a l'arrivee, il restera f(x)=x et c'est tout.

Mais effectivement, j'avais pas calculé f(1) Ca fait bien 1.

c'est très loin d'être rigoureux, mais j'avais pas le temps de passer plus de 5mn sur l'exercice

et toc

 
C'est ce qui me semblait aussi , la demonstration rigoureuse a l'air tres delicate. D'ailleurs, il me manque f(11) que j'arrive pas a attraper.

 
idem pour moi, je les ai enfin tous sauf celui là ...
putain pour un exo qui paye pas de mine, il va me ruiner ma soirée  

drôle d'exo
j'ai même pas réussi a calculer f(3)  

 
La solution c'est que pour tout entier p s'écrivant m²+n², f(p)=p et f(p)=0 pour les autres .

tu peux prouver qu'il n'y en a pas d'autre?

Il y en a une autre. f(1)=1 et f(n)= 0 pour tout n>1

 
Si on calcule dans R on a f(2x)=2f(x). Donc f est une fonction linéaire

ben non, f(2)=2

exact. donc cf ma première réponse .

et cf ma question à ta 1ère réponse

d'ailleurs ta 1ère réponse est fausse :  
on prouve facilement que f(n²)=f(n)²
donc, f(n)=sqrt(f(n²))=/=0

Faut voir
 
En fait, y a peut être une solution géométrique .

 
Nananan, ton passage à la racine à gauche est totalement illicite!

non, pas si je considère ta solution, puisque f(n²)=n², ça nous donne simplement f(n)=n pour tout n

 
Si ce n'est que rien ne prouve que tu peux obtenir tous les entiers en partant de f(m²+n²)=f(m²)+f(n²)
 
D'ailleurs le fait que le 11 résiste vient peut être de quelque part!

 
Non c'est pas vrai.
 
Je pense que tout le monde a f(4)=4 et f(5)=5
Donc : f(5)²+f(0)²=f(5²)=f(4²+3²)
donc 25=16+f(3)², soit f(3)=3
Or, tu ne peux pas trouver m et n dans N tels que m²+n²=3

Ok la dessus. En revanche, j'aimerais être certain qu'on peut obtenir tous les nombres de proche en proche ainsi

il est résistant cet exo, j'hésite à partir sur une piste géométrique

oui

De proche en proche, j'en ai trouvé 49 sur 100 entre 0 et 99, mais il y a quelques cases qui restent désespérément vide, dont le fameux 11.

Ca y est, j'ai le 11 :
 
f(64)=f(8)²       ==> f(64)
f(80)=f(8)²+f(4)² ==> f(80)
f(80²)=f(64²+48²) ==> f(48)
f(36)=f(6)²       ==> f(36)
f(60²)=f(36²+48²) ==> f(60)
f(61)=f(5)²+f(6)² ==> f(61)
F(61²)=f(60²+11²) ==> f(11)  
 
Il reste plus que la généralisation.

 
La généralisation ne peut pas tout simplement se bidouiller avec f(1)?
 

Faux: la fonction f: n->n verifie
f(1) = 1 > 0
f(m²+n²) = m²+n² = (m)² + (n)² = (f(m))² + (f(n))²
 
A+,

il y a deux solutions possibles :  
f(n) = n
ou
f(n) = 1/2

Fonction de N dans N .

Bon merci pour toutes ces recherches, j'ai enfin trouvé les 12 premiers f(n) (f(11) aura été le plus tenace !).
 
Par contre pour la 2ieme question, vous pensez que par récurence ça va marcher ?

le problème c'est que vu la manière dont il faut feinter pour trouver f(11) connaissant f(n) de 1 à 10, ça me paraît difficile de faire une récurrence toute bête  
 
j'ai essayé de montrer par récurrence que f(n²)=n² mais sans résultat, faudrait peut-être tenter avec de la géométrie, je sais pas
 
ou alors on peut essayer de montrer que la solution est nécessairement unique, à ce moment là c'est f(n)=n puiqu'on sait que celle-là marche

oups  

je crois pas qu'on peut le démontrer niveau terminale

bah démontre-le nous avec un niveau supérieur, si tu veux

D'ailleurs si c'est de N dans Q (ou R) il semble n'y avoir que 2 solutions, la fonction n -> n et la fonction n -> 1/2 si n =/= 0, mais ca ma semble pas particulierent simple a demontrer.
Probablement qu'il faut montrer l'impossibilite, soit de 2 solutions de N -> N, ou bien que si n est le plus petit entier tel que f(n) =/= n on aboutit a une contradiction (ou une autre piste), mais a priori, ca semble pas un pb facile.
A+,

n -> 1/2 elle n'est pas bonne même si on va de N dans Q puisqu'on a obligatoirement f(1)=1

?? Ce que tu as obligatoirement, c'est f(0) = 0.
EDIT: Ici, je tape (trop vite, une connerie, voir plus bas)
A+,

f(1)=f(0²+1²)=f(1)²+f(0)²=f(1)²
 
f(1)=f(1)² et f(1) > 0 => f(1)=1

Oui, en te repondant, je me rendais compte de ca (voila ce que c'est que taper a la va vite avec un "A Table" qui resonne en bruit de fond )
En fait, ce que j'avais calculé ce matin (et oublie sur le soir quand j'ai tape mon premier message), c'est qu'il y a la solution constante n -> 1/2 pour tout n (dont 0)
[et quand j'ai tapé ma reponse suivante f(0) = 0, la j'ai fait une connerie, car c'est justement le contraire, comme quoi il faut pas taper a la bourre, et sans regardere ce qu'on a ecrit sur un brouillon le matin meme]
 
f(0 + 0) = f(0) = f(0)^2 + f(0)^2
2 f(0)^2 = f(0) d'ou f(0) = 0 ou f(0) = 1/2 ( je regarde les solution dans Q comme dit ptecedemment)
 
Pour f(0) = 0, on tombe sur la fonction n -> n
Mais pour f(0) = 1/2, on tombe sur la fonction n -> 1/2 (tout simnplement parce que 1/2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 )
 
A+,