Reprise du message précédent :

 
Les fonctions de plusieurs variables
C'est vraiment ignoble comme chapitre
 
Sinon s'il y a des exos pas trop mal je ferais ptet l'effort de chercher mais vu que je suis plutôt flemmard

Etudie, pour f C1, g:x,y->(f(x)-f(y))/(x-y)

Il y a un problème si on peut choisir Q ou R nul, on trouvera toujours une telle décomposition

Tu veux quoi par "étudier" ?
J'ai pas encore fait d'exo sur ce chapitre donc j'sais pas trop

Je me suis planté : f est C2, il faut prouver que g est C1 et calculer ses dérivées partielles.

 
J'avais posté ça mais c'était passé plutôt inaperçu  
 
 

J'avais pas encore fait la topologie à l'époque

Je note E=IR^n
Soit (an) une suite dans K(C), alors a_n=lambda_n*x_n avec (lambda_n) dans IR+ et (x_n) dans C
C est compact et dim E finie donc C est fermé, alors x_n tend vers x€C

0€E\C qui est un ouvert, donc il existe b>0 tq B(0,b) soit incluse dans E\C
ainsi, |lambda_n|>=b
C est borné donc il existe M tq |lambda_n|=<M
On a donc b=<|lambda_n|=<M
C est un compact donc il existe une extraction phi tq (lambda_phi(n)) converge. Grâce aux majorations, lambda_phi(n) tend vers lambda>0
(x_phi(n)) converge vers x

Alors a_n tend lambda*x  (car l'application produit est continue)
Soit a=lambda*x € K(C)

Donc K(C) est une fermé

J'pense que c'est plus (forcement) un fermé si 0€C

(sauf faute de frappe)

Tu t'es un peu embrouillé... J'attends une rectification  
 
Sinon pour le et si 0€C (c'est plus intéressant de pas lire le spoiler mais bon c'est un exercice difficile )
 

Exact, j'me suis embrouillé
 
C est compact et dim E finie donc C est fermé, alors x_n tend vers x€C
et
0€E\C qui est un ouvert, donc il existe b>0 tq B(0,b) soit incluse dans E\C
ainsi, ||x_n||>=b
C est borné donc il existe M tq ||x_n||=<M
On a donc b=<||x_n||=<M  
 
a_n-->a donc à partir d'un certain rang (a_n) est bornée :  c=<||a_n||=<d
alors  c/M=<||lambda_n||=<d/b    (M et b>0)
donc (lambda_n) converge
 
Après c'est pareil

On peut écrire g sous cette forme donc g est C1 (comment on doit rédiger? "intégrale d'une fonction C1 donc en dérivant, les dérivées partielles sont C0" ?)
 
Et

C'est la solution radicale
Le montrer à la main est bien plus chiant
C'est un exercice d'oral, et l'examinateur peut à la rigueur demander l'énoncé exact du théorème que tu utilises

f(y)-f(x) et f C2 ça m'a fait pensé à passer par une intégrale

Normalement pour que g soit C1, il suffit que ses dérivés partielles par rapport à x et à y soient continues. Ici, comment ça se prouve?
Avec la définition sous forme intégrale, ça se "voit" qu'elle est C1 mais bon ...

EDIT: ou alors tu parles du dérivation sous le somme intégrale

Oui.

Un sympa (pas évident, je trouve) :
Soit f : Ω € IR² ---> IR continue
montrer que si x_0€Ω est un point isolé de f^-1({f(x_0)}) alors f admet un extremum local en x_0
 
 
NB: soit E un em et P inclut dans E, x€P est un point isolé dans P s'il existe r>0 tel que B(x,r)∩P={x}

Soit f une fonction R -> R continue non constante.
Soit (E) : y'' - y = f
 
Montrer que (E) admet au plus une solution périodique.

C'est trivial avec les outils de spé ce genre d'exercice

T'utilise quoi pour la trivialité? (j'ai pas encore fini ce chapitre )
EDIT: à part une résolution de l'équa diff avec un moment surement une primitive de f et un changement de variable pour parler de périodicité, je vois pas

Regarder ce que valent les coefficients de Fourier de y ?

J'ai pas assez de recul pour penser à des trucs comme ça

 
avec les outils de sup il faut utiliser la caractérisation des sous groupes additifs de R, ce qui est loin d'être trivial

Résoudre

Salut,
 

Faut impérativement donner des intervalles avec

 
Y'a des constantes qui apparaissent en intégrant normalement
Et puis les intervalles, solutions maximales toussa

Ah ouais. Boah, des détails
 
J'me disais bien qu'il manquait des conditions... 'fin bon ^^

Y'a notamment un problème en 0 (t'as fait la résolution sur IR+ et IR- puisque tu divise par x)
Et faut se poser la question de raccord

EDIT: j'ai une autre équa diff mais sans indication c'est chaud
(et avec l'indication c'est du calcul )

Un grand classique pour MPs:
Soit M une matrice inversible. Montrer qu'il existe un unique couple T, O avec T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux >0 et O orthogonale tel que M=O*T.
Etudier la bicontinuité de l'application : (O,T) dans (O(n,R)*T+(n,R))->O*T dans GL(n,R).

Soit l'ED : xy''+y'/2+y=0
On admet qu'il existe un intervalle sur lequel cette équation admet deux solutions dont le produit vaut 1.
Résoudre cette ED.

 
J'arrive pas la réciproque  

j'ai donné cet exo en colle, et c'est très géométrique en fait suffit de prendre un x et de tout faire dans le plan Vect(x,p(x)) (lorsque c'est un plan, bien entendu...).

Il suffit de montrer que (kerp)ortho=Imp
 
Normalement y'a une technique que t'as du voir en cours (ou dans une demo)

kikoo,
Quelqu'un aurait une piste pour montrer que ||A|| = sup_{||x||=1}||A x|| = sup_{||x|| = ||v|| = 1}|< v, Ax >|
La première égalité est une définition, il s'agit de montrer la deuxième, on utilise les ||.|| et les <.,.> canoniques dans M_n(C)
Je suppose qu'il suffit d'écrire le truc, mais je vois pas
En vous remerciant.

T'as une première inégalité par Cauchy-Schwartz.
L'autre inégalité s'obtient en choisissant "bien" x et v, je n'en dis pas plus

 
C'est bon j'ai réussi avec une méthode variationnelle.    

Salut à tous, est-ce que "somme de i=1 à i=sqrt(n) de 1/i" peut se simplifier ?
 
Merci d'avance

Je pense pas qu'on puisse simplifier mais on peut donner un équivalent simple

comme ?

C'est pas un topic pour qu'on fasse tes devoirs ...