Reprise du message précédent :
OMG.
 
Faut que je me remette aux maths moi.

t'affoles pas, même ceux qui ont eu ulm/x n'avaient pas trouvé
 

 
   
 
Je m'en rappelle de ce truc on l'avait fait l'année dernière
 

P peut dépendre de la matrice de ton espace.

 
http://beos.prepas.org/?q=Epreuve%20Orale%20189
 
Pour le 2) j'ai utilisé un argument que je sais pas trop comment amener à l'oral.
 

Y a plus personne ?
 
Comment résoudre des équations matricielles genre:
 
X²=A où A est connue
 
en 3x3
 
Dans le corrigé que je vois le gars cherche directement à utiliser la réduction de Jordan.
 
En gros faut d'abord essayer de réduire la A et après ?

 
Ensuite faudrait étudier le caractère diagonalisable de X. Sachant que X commute avec A ce serait parfait pour résoudre l'équation.

 
Et des remarques sur mon truc au dessus ?

Pour le truc au dessus, tu peux le dire à l'oral. Normalement l'examinateur te dis "ok c'est bon". Au pire il te demande de le montrer.

Les résultats sur le commutant des matrices diagonalisables (avec des blocs sur la diagonale correspondant a la multiplicité de la matrice) ne sont a priori pas au programme non ?

HP je pense.
Mais à l'oral t'utilises ce que tu veux
Faut juste être prêt à redémontrer au cas où.

pas dur à redémontrer.

Mon exo à Centrale:
 
Soient A et B semblable sur C, montrer qu'elles sont semblables sur R.
 

 
Relativement classique.Poser P=U+iV avec U et V matrices réelles, puis raisonner sur det(U+XV) qui par définition de P(matrice de passage dans C) ne peut être identiquement nul...

 
Le troll c'est pour quoi ?

C'est pas mon exo. Je voulais juste faire un up au topic au cas où un taupin ayant passé les concours passait par là et voulait poster son exo.
 
Mais visiblemetn ca va pas être le cas.

 
*Les vrais taupins ne lurkent pas sur Hfr  

Attention il faut préciser des choses sur x->det(U+xV)
Il s'agit d'une application polynomiale avec X€IR.
Pour beaucoup dans ma classe c'était pas évident que en prenant x=i dans IC et pas dans IR alors on prouvait que le polynome était non nul.

 
Cela va de soi.Par continuité de cette application polynomiale, et par le fait qu'elle ne s'annule pas en i on peut alors trouver une matrice Q inversible qui convient pour la R-similitude, en remarquant que les ouverts de C comprennent les disques ouverts de rayon non nul; en prenant un disque ouvert de centre le point d'affixe i, de rayon supérieur strictement à 1, ce disque coupe l'axe réel en deux points distincts Xo et X1, et donc un voisinage de Xo ou X1 dans R suffit à conclure.

Au temps pour moi, je suis allé trop vite. Les disques ouverts de C sont bien sur ouverts dans C, mais il y en a d'autres, comme C*, l'ensemble des complexes de partie imaginaire positive strictement, etc....Mais le reste est inchangé.

Un petit exercice niveau spé pour patienter: On se donne A dans Mn(K) avec K complexe ou réel.
 
CNS sur A pour que la matrice-bloc B=[A,A;0,A] soit diagonalisable.

Le bloc de 0 est en bas à gauche ? (pour etre sur)

B diagonalisable ssi A est nulle

 
 
 
preuve :

 
Oui.(j'ai choisi une notation de type scilab) parce que je ne suis pas familiarisé du tout avec LateX et je ne sais pas comment transposer des formules dans ce langage sur le site)

 
     J'aurais aimé cependant une réponse un peu plus détaillée (comment arriver à ce résultat)
edit: tu as edité donc ne pas tenir compte du message

Autre preuve possible en utilisant la décomposition de Dunford.

 
Pour K complexe oui, K reel je ne sais pas....Détaille ta démo stp

exo posé à X-Cachan:

http://4.bp.blogspot.com/_VAoO49UT [...] rule+6.bmp

et aussi un autre exo bien casse-tête:

donner un équivalent de Somme de 1 à n de k*E(n/k)   où E désigne la partie entière  

[1] :
la seconde est classique :
en notant a = exp a'... on a par convexité de exp
exp([a'+b'+c']/3) <= [a+b+c]/3
le membre de gauche est
exp([a'+b'+c']/3) = exp([ln a + ln b + ln c]/3) = (abc)^[1/3]

la première moins : on veut montrer
ln(3/[1/a + 1/b + 1/c]) <= ln((abc)^[1/3]) = [a'+b'+c']/3
et ln(3/[1/a + 1/b + 1/c]) = - ln([exp(-a') + exp(-b') + exp(-c')]/3)
donc c'est équivalent à [exp(-a') + exp(-b') + exp(-c')]/3 >= exp(-[a'+b'+c']/3)
et la fonction f(x) = exp(-x) est convexe...

[2] :
ça se transmet par récurrence grâce à [1].
Et si on change les notations pour que ça soit vrai pour n=0, on ne change pas les valeurs suivantes (toutes les fonctions sont symétriques).

[3] :
(a_n) est clairement décroissante.
(1/c_n) aussi, car elle vérifie les mêmes relations de récurrence.
par convergence monotone : a et c convergent.

[4] :
on a en notant A = lim a_n... et B une valeur adhérence de b :
A = [A+B+C]/3 et A >= B >= C donc A = C. Donc b converge aussi, par théorème de comparaison.

[5a] :
yz - x^2 >= 0 et -(xy - z^2) >= 0 donc ps^3 - d^3 est du signe de xz - y^2.
[5b] :
b_3 - b_2 = (a_2b_2c_2)^[1/3] - b_2 est du même signe que a_2c_2 - b_2^2
car b_2 > 0.
a_2c_2 - b_2^2 = [a_1 + b_1 + c_1][1/[1/a_1 + 1/b_1 + 1/c_1]] - (a_1b-1c_1)^[2/3]
= [a_1 + b_1 + c_1]a_1b_1c_1/[c_1a_1 + a_1b_1 + b_1c_1] - (a_1b-1c_1)^[2/3]
= sp/d - p^[2/3] a le signe de s^3p - d^3 avec x = a_1, y = b_1, z = c_1

et b_2 - b_1 est du même signe que a_1c_1 - b_1^2.
D'après [5a], et en raisonnant par récurrence b est monotone et sa monotonie dépend du signe de b_2 - b_1.

0 ?  

Ben non, n.

J'avais zappé le dernier terme
Mais c'est vraiment k/n ?

je dirais que c'est plus marrant avec n/k à la place

D'ailleurs avec n/k :
on se donne r>0, f1 et f2 continues telles que f1(x)<=E(x)<=f2(x), et f2(x) - f1(x) <=r.
On encadre sum(k E(n/k)) par sum(k f(n/k)) qui équivaut à n int xf(x)dx (Riemann), avec f = f1 ou f2 (int entre 0 et 1).
On a  0 <= int xf2(x)dx -  int xf1(x)dx = int x[f1 - f2](x) dx <= int [f1 - f2](x) dx <= r

On a donc pour équivalent n int x E(1/x)dx. Reste à faire le calcul.

Sur ]1/(n+1), 1/n] on a x E(1/x) = nx et l'intégrale sur cet intervalle vaut
n(1/n^2 - 1/(n+1)^2)/2 = 1/2[1/n - 1/(n+1) + 1/(n+1)^2]

Quand on somme pour n>=1, il reste 1/2[pi^2/6 - 1] + 1/2. L'équivalent est donc n(pi^2/12).
Pour justifier, on utilise la convergence dominée :
F_n(x) vaut x E(1/x) sur ]1/(k+1), 1/k] pour k<=n, et 0 sinon et on a domination par la fonction limite, qui est bornée et continue par morceaux sur ]0,1].
 
NB : wolfram confirme numériquement mais cale symboliquement

 
Bonjour,
 
J'ai édité , en fait non c'est n/k, sinon c'est plus que trivial  
 
Mais sinon la reponse de Mookid est juste, et on peut même en décomposant la somme de départ raffiner ceci en rajoutant O(n*lnn).

On peut même raffiner encore plus le résultat précédent, avec des méthodes qui dépassent de loin le niveau spé...On trouvera plus d'infos là-dessus sur le bouquin de O.BORDELLES , "Arithmetic Tales", theorem 6.43 page 340

Exo posé à Ulm:
 
On considère l'ensemble des matrices à coefficients dans {-1,1}.
Pour une telle matrice données, combien faut-il au plus changer de coefficients pour la rendre inversible?

ma réponse est fausse, on ne peut pas trouver de telle fonctions continues f1 et f2. Mais le calcul reste ok.

Finalement les "évidences" ont été détaillé.