Soit :
a+b-c=2 (1)
2ab-c²=4 (2)
 
on élève (1) au carré, on obtient : (a+b-c)²=4 soit a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc=4 (3)
on a alors (2)=(3) soit a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc=2ab-c² <==> a²+b²+2c²+2ac-2bc=0
<==> (b-c)²+(a-c)²=0
On a une somme de 2 carré donc cette somme est nulle si a=b=c  
 
En remplaçant dans (1), on trouve que a=b=c=2

A est un produit, pas une somme , mais sinon le raisonnement est bon

On additionne les 4 équations pour obtenir : (a+3)(x+y+z+t)=0
Alors, si x=-3, les solutions sont dans IR

Si x est différent de -3 :
x+y+z+t=0 (1) soit x=-y-z-t (et t=-x-y-z)
 
On remplace x par (-y-z-t) dans la 1ère équation et on obtient : y+z+t=1/(1-a)      (a différent de 1)
On remplace t par (-x-y-z) dans la 1ère équation et on obtient : x+y+z=1/(1-a)   (2)   (a différent de 1)
donc y+z+t=x+y+z soit x=t dans (1) et on obtient : x=-y
 
 
 
On procède de même pour y et z on obtient : y=z
 
On remplace t par x et z par y dans (1) et on obtient : y=-x
 
Grâce à l'équation (2), on trouve que z=1/(1-a), donc y=1/(1-a), x=-1/(1-a) et t=-1/(1-a)
 
 
Pour a=1, il n'y a pas de solution  

 
 
 

Cay bon

exact c'est pas x mais a ...
bah un produit de 2 facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul, donc si a=-3 (et quelque soit x,y,z et t dans IR) on a (a+3)(x+y+z+t)=0
Donc si a=-3, l'ensemble des solutions est IR

L'implication c'est pas trop vu en term
C'est pas des quadruplets plutôt?  
EDIT: d'après les indications de lucky," si a=-3 on résout le système à la main" mais je vois pas pourquoi

Avec a différent de 1 et a différent de -3,     x = t= -y = -z = 1/(a-1)

Je serais tenté de dire que pour a=-3, il n'y a pas de solution  

ax+y+z+t=1   (A)
x+ay+z+t=-1  (B)
x+y+az+t=-1  (C)
x+y+z+at=1    (D)

En calculant (A)-(B) on obtient  ax+y-x-ay=2   donc x(a-1)-y(a-1)=2    donc (a-1)(x-y)=2    (1)
En calculant (B)-(C) on obtient  ay+z-y-az=0   donc y(a-1)-z(a-1)=0    donc (a-1)(y-z)=0    (2)
En calculant (C)-(D) on obtient  az+t-z-at=-2  donc z(a-1)-t(a-1)=-2   donc (a-1)(z-t)=-2    (3)
En calculant (A)-(C) on obtient  ax+z-x-az=2   donc x(a-1)-z(a-1)=2    donc (a-1)(x-z)=2     (4)
En calculant (B)-(D) on obtient  ay+t-y-at=-2  donc y(a-1)-t(a-1)=-2   donc (a-1)(y-t)=-2    (5)
En calculant (A)-(D) on obtient  ax+t-x-at=0    donc x(a-1)-t(a-1)=0    donc (a-1)(x-t)=0      (6)

De (1), (3), (4) et (5) il ressort l'impossibilité si a=1. 0 solution. (Evident puisque si a=1, on a à la fois x+y+z+t=1 et x+y+z+t=-1)

Si a différent de 1

(2)  ---> y-z=0 donc y=z
(6)  ---> x-t=0 donc x=t

(1) ---> x-y = 2/(a-1) donc y = x- 2/(a-1)        (Remarque : (4) --->  x-z= 2/(a-1),   or z=y donc x-y=2/(a-1)
                                                                                   (3) --->  z-t= -2/(a-1) or z=y et t=x donc y-x=-2/(a-1)
                                                                                   (5) --->  y-t=-2/(a-1) or t=x donc y-x=-2/(a-1) donnent le même résultat)

En reportant dans (A)
ax+x- 2/(a-1) + x- 2/(a-1) +x =1  donc ax+3x - 4/(a-1) =1  donc x(a+3)=1+4/(a-1) donc x(a+3)= (a-1+4)/(a-1)  donc x(a+3)=(a+3)/(a-1)

Si a est différent de -3,  x=1/(a-1)
y=x- 2/(a-1) donc y= 1/(a-1)- 2/(a-1)  donc y= -1/(a-1)  ---> y=-x
 z=y et t=x donc z= -1(a-1) et t=1/(a-1)

La solution du système est (x,y,z,t)=(1/(a-1),-1/(a-1),-1/(a-1),1/(a-1))

Si a=-3 x est indéterminé
(A) ---> -3x+y+z+t=1 donc -3x+y+y+x=1  donc -2x+2y=1 donc y=x+1/2
Une infinité de solutions (x,y,z,t) de la forme (n, n+1/2, n+1/2 , n)

Je vous laisse le soin de vérifier sur des exemples

on pose : sqrt(n)=p/q
Donc p²=nq²

p et q peuvent se décomposer en produit de facteurs premiers :
p=p1^(a1)*p2^(a2)*....*pk^(ak)=produit(pi^(ai), i de 1 à k)
q=p1^(b1)*p2^(b2)*....*pk^(bk)=produit(pi^(bi), i de 1 à k)

donc [produit(pi^(ai), i de 1 à k)]²=n*[produit(pi^(bi), i de 1 à k)]²
Soit n=produit(pi^(ai-bi), i de 1 à k)²

Donc n est un carré parfait

Réciproque :
n est un carré parfait, alors n=m²
Donc sqrt(n)=m
Alors sqrt(n) est rationnel

j'ai fait la même étourderie le jour de l'oral... -4=3 ici!

par récurrence si tu veux, tu peux aussi considérer qu'on sait ce que c'est que l'ordre d'un nombre et qu'ici l'ordre c'est 6

11 n'est pas congru à 3 modulo 7... ni à 1 modulo 6
A noter ici qu'il faut utiliser le théorème chinois (on peut s'en passer, c'est pour ça que j'ai posté ici, je le donne quand même pour ceux que ça intéresse): pour 2 nombres n et m premiers entre eux (on peut généraliser à k nombres premiers entre eux 2 à 2) (c'est le cas ici de 6 et 7), pour tout couple a et b, il existe une et une seule congruence k modulo nm telle que pour tout entier x, (x congru à a modulo n et à b modulo m) si et seulement si x congru à k modulo nm...
Conclusion y a une et une seule congruence modulo 42 qui convient ici...