Docn c'est égal à (2^n)*somme(cos(kx))-(((n+1)n)/2)*somme(cos(kx))  

C'est pas le calcul du déterminant de la matrice :
a1 b  b  ... b
b  a2 b  ... b
b  b  a3 ... b
...
b  b  b  ... an  
et montrer qu'il est différent de 0 ? Les y_i n'interviennent pas (puisqu'on veut pas montrer que la solution existe) ? On a droit à des formules prises sur wiki ? Tu fais l'exo à notre place ?

On peut peut être utiliser la formuler de moivre ... Mais dans ce cas on aura des exp(ikx) et des sin(kx)  
ça va peut être compliquer  

somme(cos(kx), k dans {0,...,n}) :
Avec la formule de Moivre : cos(kx) est la partie réelle de exp(ikx) noté Re(exp(ikx))
donc somme(cos(kx)) = somme(Re(exp(ikx))
On voit apparaitre une suite géométrique de raison exp(ix) donc somme(cos(kx)) = Re[(1- exp(ikx)^(n+1))/(1- exp(ikx))]
Après de nombreux calculs avec les formules de trigo :
On obtient : somme(cos(kx), k dans {0,...,n}) = 1/2 + (cos(nx)-cos((n+1)x))/(2-2cos(x))

c'est à base d'une étude de signes ? Parce que ça marche pas mal sauf dans un petit cas (signe de [b(n-1) - a_i] n'est pas constant), ça vaut le coup de creuser ou y a beaucoup plus simple ?...

Soit n un entier blablabla, et on admet que l'énoncé équivaut à montrer que le système (désolé, c'est moche) :
| a_1 * x_1 + b * x_2 + ... + b * x_k + ... + b * x_n = y_1
| b * x_1 + a_2 * x_2 + ... + b * x_k + ... + b * x_n = y_2
| ...
| b * x_1 + b * x_2 + ... + a_k * x_k + ... + b * x_n = y_k
| ...
| b * x_1 + b * x_2 + ... + b * x_k + ... + a_n * x_n = y_n
admet au maximum un ensemble solution dans R^n
 
On suppose qu'il existe deux ensembles {x_i, i = 1...n} et {X_i, i = 1...n} vérifiant le système, et pour tout i dans 1...n on note d_i = x_i - X_i
- A la ligne k du système, on a donc en notant S(e_u) = ∑(e_u pour u=1...n et u différent de k) (e étant un ensemble de n réels) :  
b*S(x_u) + a_k * x_k = y_k = b*S(X_u) + a_k * X_k d'où b*(S(x_u) - S(X_u)) = a_k * (X_k - y_k) donc :
b*S(d_u) = -a_k*d_k   d'où comme a_k > 0, b*S(d_u) et d_k ont un signe opposé ou sont nuls (1).
 
- En sommant chaque équation du système, on obtient :
∑(y_i pour i=1...n) = (n-1)*b*∑(x_u  pour u=1...n) + ∑(a_u * x_u  pour u=1...n) = ∑(x_u*[(n-1)b + a_u] pour u=1...n)
et de la même façon, ∑(y_i pour i=1...n) = ∑(X_u*[(n-1)b + a_u] pour u=1...n) d'où :
∑(x_u*[(n-1)b + a_u] pour u=1...n) = ∑(X_u*[(n-1)b + a_u] pour u=1...n) donc :
∑( [(n-1)b + a_u]*(x_u - X_u) pour u=1...n) = 0 soit :
∑([(n-1)b + a_u]*d_u pour u=1...n) = 0 (2)
 
-- Si b = 0, de (1) : d_k = 0 pour tout k=1...n car a_k > 0 d'où égalité des deux ensembles
-- Si b > 0 :  
--- si d_u est de même signe pour tout u=1...n, ∑(nombres de même signe) = 0 ssi tous les nombres sont nuls d'où d_u = 0 pour tout u=1...n d'où égalité des ensembles.
--- si le signe de d_u varie : j'ai rien qui aboutit, à part ∑([(n-1)b + a_u]*d_u pour u tel que d_u >= 0) = ∑([(n-1)b + a_u]*|d_u| pour u tel que d_u < 0), mais ça permet pas de conclure...
-- Si b < 0, de (1) : quel que soit k=1...n, d_k et S(d_u) ont même signe ou sont nuls d'où d_u est de signe constant quel que soit u=1...n (?? j'ai un doute ici mais je trouve pas de contre-exemple...)
--- si (n-1)b + a_u > 0 pour tout u=1...n, on est dans le cas d'une somme de nombre de même signe = 0 d'où blabla égalité des ensembles
--- si il existe u dans 1...n tel que (n-1)b + a_u <= 0 : idem, je vois pas...
 
Donc en gros y reste les deux cas les moins évidents à traiter, peut-être à voir ce que ça donne dans la ligne où d changerait de signe, mais à cette heure-là j'ai plus le courage...

La droite d'EULER est la droite qui contient les points O, H et G, respectivement le centre du cercle circonscrit (intersection des 3 médiatrices), l'orthocentre (dont on veut ici démontrer qu'il existe...) et le centre de gravité (intersection des 3 médianes) et on a aussi OH=3*OG (gras= vecteur)

Une solution est donc de poser le point X tel que OX=3*OG et remarquer que 3*OG=OA+OB+OC par définition, puis de montrer que X est sur chacune des 3 hauteurs

Dans un système de coordonnées bien choisi, l'équation de la sphère est x² + y² + z² = 1 et l'équation du plan est z = k (avec k \in [0;1[).  
 
L'équation de l'intersection est donc  
 
{ x² + y² = 1 - k²
{ z = k
 
Comme 1 - k² > 0 (puisque |k| < 1), c'est bien l'équation d'un cercle

Soit S une sphère de centre O et de rayon r et P un plan tel que S inter P n'est pas vide.
 
Soit H le projeté orthogonal de O sur P, et soit M dans S inter P.
 
Par les propriétés du projeté orthogonal et le théorème de Pythagore, on a OM² = OH² + HM². Or OM² = r² (puisque M appartient à S). D'où HM² = r² - OH², indépendant de M. Donc S inter P est inclus dans le cercle de centre H et de rayon sqrt(r² - OH²) inclus dans le plan P.
 
Réciproquement, soit M un point de ce cercle. On a toujours OM² = OH² + HM². Or HM² = r² - OH², d'où OM² = r², ce qui implique que M appartient à S, donc à S inter P.
 
Donc S inter P est un cercle. CQFD.

Tracer les 3 droites parallèles aux 3 cotés passant par les 3 sommets. Les 3 hauteurs du premier triangle sont les médiatrices du second.

On note donc O le point d'intersection des médiatrices
Soit le point X tel que OX=OA+OB+OC
En ajoutant AO on a AX=OB+OC
En notant A' le milieu de [BC] on a OB+OC=2*OA'
donc AX=2*OA' donc ces 2 vecteurs sont colinéaires
Or (OA') est la médiatrice du coté [BC] donc cette droite est orthogonale à (BC) donc (AX) aussi
Et puisque (AX) contient A c'est la hauteur en A, donc X est sur la hauteur passant par A
De même X est sur les hauteurs passants par B et C