Reprise du message précédent :

J'suis pas sur :
 
Soit M=Sup(f^n) et m=inf(f^n)
 
Alors, m(b-a) =< I(n) <= M(b-a)  
Donc (m(b-a))^1/n =< I(n)^1/n <= (M(b-a))^1/n  
 
avec le théorème des gendarmes, Lim(I(n)^1/n)=1

fail , M=Sup(f^n) dépend de n.

Ouais c'est ça qui m'embêtait dans ma démo

Bah sup(f^n) c'est (sup(f))^n ici
mais tu pourras pas conclure avec ça, il faut utiliser autre chose
 

 
C'est aussi ce que je pensais

Montrer que (a+b+c)^3>=27abc

 
Ton inégalité, c'est que l'application d'une certaine inégalité (et ce serait bien plus intéressant de démontrer ça dans un cadre plus général que ton exemple )
 

Je connais pas le cas général, j'ai du démontrer ça pour un exo

ça vient des inégalités de convexité
 
On peut d'ailleurs montrer que (a1*a2*...*an)^1/n =< 1/n*(a1+a2+....+an)

Montre que :

(plus généralement encore, on pourra démontrer l'inégalité de Jensen )
Edit : Grilled par mystiko

La difficulté avec l'inégalité de Jensen est de l'appliquer plus que de la démontrer

Exo a astuce (qui peut paraitre simple quand on a vu la même astuce avec le sin) :
 
p=(1+k)(1+k²)(1+k^4)...(1+k^(2^n)) avec k€]0,1[
 
Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite

Un autre dans le même genre :
a€IR
calculer la limite de U_n = produit(k=1 à n, cos(a/2^k))

 
C'est un peu de l'enculage de mouche, j'pense que personne te fera chier pour ça

E un espace vectoriel.
Soit p une projection de E  
Montrer que p est une projection orhtogonale ssi pour tout x€E, ||p(x)|| =< ||x||

Prouver que cos(n) diverge.

Il suffit de prendre 2 suites extraites et de montrer qu'elles n'ont pas la même limite

Comme ?

 
J'ai parlé un peu vite
Je suis pas sur que ça marche car l'extractrice doit être une application de N vers N

J'sais pas si on peut dire que cs(n) diverge ...
En fait, cos(n) n'admet pas de limite  

 
Une suite qui diverge est une suite qui ne converge pas
et c'est chiant à prouver pour cos(n) faut faire ce qu'a dit tomventu en utilisant des parties entières

On peut pas faire ça plus simplement?
Du style si cos(n) admet une limite C en l'infini alors pour toute suite Xn tel que Xn tende vers l'infini on a cos(Xn) qui tend vers C.
 
Absurde en prenant Xn= 2*Pi*n et Xn=(2*n+1)*Pi.
 

Non justement, tomventu l'a bien compris
ce que tu fais montre que la fonction réelle cos(x) n'a pas de limite en +infini, mais pour la suite cos(n) il faut que Xn soit une sous-suite de n, donc une suite d'entiers

Bon j'suis bon seigneur :
 
cos(n+1)+cos(n-1)=2cos(n)cos(1)
 
En passant à la limite (en admettant que cos(n) converge vers l)
 
On a :
 
2l=2l*cos(1)
 
Donc l=0
 
Et cos(2n)=cos²(n)-1 en passant ça à la limite on a 0=-1
 
C'est absurde
 
²
 
 
EDIT: C'est pas suffisant la dernière, on passe à la limite on a l=l-1 donc 0=-1 absurde ?

Un petit pas trop difficile pour les spé et les sups (qui ont fait de l'algèbre)
 
Déterminer,

J'viens de me taper ça en kholle :
 
Soit (un) et (vn) deux suites réelles tels que :
 
un+vn--->0
(un^3)-(vn^3)--->0
 
Montrer que un et vn tendent vers 0

 
http://forum.hardware.fr/hfr/Emplo [...] 9085_1.htm

Un truc simple sinon pour cos(n) c'est de dire que si |cos(n+1)-cos(n)| est petit alors |cos(n+2)-cos(n+1)| ne l'est pas (petite étude pénible de la fonction cos).

Tiens un exo "adaptable":
version spé: Quelle est la nature de la série des |cos(n)|/n?
La version sup (qui donne une grosse indication que les spés se dispenseront de prendre )

|cos(n)|/n>cos²(n)/n=1/2n+cos(2n)/2n somme d'une série convergente et d'une divergente :

On fait une petite transformation d'Abel
cos(2n)/2n= (An-An-1)/n = An/n - An-1/n = An/n - An/(n+1) = An/(n(n+1)), il reste à évaluer An : An=1/2*Re e^in et | e^in | = |(1-e^iN)/(1-e^i)|=|sin(N/2)/sin(1/2)|<1/|sin(1/2)|.

Et il reste toujours celui là :

Plus simple:  

Ton problème c'est dans IR ou dans IC?

 
Je sais c'est quoi une projection, mais pas ce que c'est une projection orthogonale