Reprise du message précédent :

 
Je sais c'est quoi une projection, mais pas ce que c'est une projection orthogonale  

ça viendra plus tard, dans la section "Espaces vectoriels euclidiens"

Tu verras ça plus tard alors
J'peux pas te le donner comme ça, t'as pas encore les notions

OK    
 

C'est dans R En fait ça doit marcher dans C aussi

ok une astuce...
Moi je me suis borné à utiliser une méthode classique  
Je suis pas sur que cet exo est très accessible aux sups...
 
Tiens un exo exclusivement pour les spés

J'ai pas encore fait vos chapitres (bon, je commence la topologie )
 
J'en ai un petit pas trop dur pour les sup' et spé :
Soit f une fonction C1 de [0,1] dans IR telle que f(0)=0.
Montre que pour tout x€[0,1], on a :

Mon exo de khôlle   :
 
Soit K un corps infini.  
Soit E un K-ev de dimension finie et F1,...,Fp des sev de même dimension (finie).
Montrer qu'il existe G ( E tel que G soit supplémentaire à chacun des Fi.

Mon exo de kholle
 
A est un compact
B est un fermé
 
Montrer que A+B est un fermé
 
A est un compact
B est un compact
 
Montrer que A+B est un compact

 
Depuis quand tu connais la notion de compact ?  

 
Tu fais de la topologie en sup' toi?  

Ben oui pourquoi ?

Le 1er
soit (Un) une suite dans A+B qui converge vers U, on peut écrire Un=an+bn pour tout n€IN
A est un compact donc (a_phi(n)) suite extraite converge vers a€A.
(b_phi(n)) converge vers b=U-a et b€B (fermé)
Alors, U=a+b € A+B
Donc A+B est fermé

 
Si tu réussis mon exo

 
j'ai fait un edit, c'est pas un exo de l'X vu la difficulté
 
Et le tient me soule deja meme avant d'y réflechir  

 
Bon une indication : Soit A = {G' C E, G'^Fi = {0} }. Soit G = max A.

Un petit exo de géométrie (faisable par les sups je pense):
On se place dans R^4.
On note B la base canonique de R^4.
Déterminer la matrice, dans B, de la projection orthogonale sur l'hyperplan H d'équation x-y+z-t=0.

Et je donne une toute petite contrainte, on évitera d'utiliser une méthode calculatoire de bourrin (bon ça mène aussi aux résultats mais ça fait beaucoup de calculs )

Oué c'est bon  

EDIT : A tout hasard, t'as eu le temps de me scanner ou de me prendre en photo le sujet de l'X?

Ouais ça fait un peu gros bourrin
EDIT: j'te le fait maintenant

Merci
Pour Gram-Schmidt, ça marche mais faut être motivé

Ouais j'avais réussi ça.
 
Par contre j'avais pas eu le temps pour le second

En fait le 2eme aussi est simple :

Je note F=A+B.
Soit (x_n)€F^IN alors pour tout n€IN, x_n=a_n+b_n
A compact don il existe une extraction phi tq (a_phi(n)) suite dans A converge vers a€A
De plus, (b_phi(n)) est une suite dans B qui est compact donc il existe une extraction psi tq (b_phi(psi(n))) suite dans B soit convergente vers b€B
Et (a_phi(psi(n))) est toujours convergente vers a

Finalement (x_phi(psi(n)))€F^IN converge vers a+b€F
cqfd

Soit E=R[X] l'espace des polynômes, phi une forme linéaire de E* telle que si P est un polynôme positif non nul, phi(P)>0.  
On confère à E le produit scalaire a,b->phi(a*b).
On orthonormalise la base canonique par le procédé de Schmidt, on obtient une BON de polynômes étagés (P0,...,Pn,...). Montrer que Pn a n racines réelles distinctes.

 
Par l'absurde, si Pn admet k racines (k<n) alors Pn s'écrit : Pn=produit(i=1,k ; (x-x_i)^i)*Q      avec q n'admettant pas de racines sur IR
Et (Pn|Q)=phi(Pn*Q)=0  car Q est CL de Pj (j<n)  
 
donc Pn*Q=produit(i=1,k ; (x-x_i)^i)*Q² n'est pas strictement positif et pour tout x, Q²(x)>0  
Alors, soit Pn*Q est nul (impossible car il n'admet pas une infinité de racines) soit Pn*Q est strictement négatif (impossible car il admet des racines) soit Pn*Q change de signe et dans ce cas, Pn*Q=/=0 donc (Pn|Q)=/=0
Absurde.
 
==> Pn admet n racines.
 
Il reste l'unicité mais j'ai plus le temps
 
La rédaction est un peu brouillon  

Un exo que j'ai eu en colle : (topologie)
 
E un espace vectoriel normé.
On note d(x,F)=inf ||x-u|| pour u€F
1. Soit F un fermé de E. Mq (x€F) <=> (d(x,F)=0)
(c'est presque du cours donc pas forcement super intéressant)
2. Soient A, B deux fermés disjoints de E. Prouver qu'il existe deux ouvert disjoints U et V tels que A⊂U et B⊂V.
3. Soient A, B deux fermés disjoints de E. Montrer qu'il existe f:E-->[0,1] continue telle que f(A)={0} et f(B)={1}.

ça bosse pas trop ici

fofofofofo...of=Identité avec n composition (n impaire)
f continue sur [0,1]
f([0,1]) inclu dans [0,1]
 
Déterminez f.

 
à priori, je serais tenté de dire que seul la fonction f=id convient ...
 
J'vais chercher une démo

Alors ?
 
Perso je l'ai loosé en kholle, je l'ai à peine fini en 50min

 
Je propose une solution :
 
Supposons f décroissante, alors a<b ==> f(a)>f(b) ==> ... f^n(a)>f^n(b) ==> a>b Absurde. donc f est strictement croissante.
Soit a€[0,1] mq f(a)=a :
Si f(a)<a, alors f^n(a)<f^(n-1)(a) soit a<f^(n-1)(a)<f^(n-2)(a)<...<f(a) absurde
De même pour f(a)>a.
 
finalement pour tout x€[0,1], f(x)=x soit f=id

f décroissante, alors a<b ==> f(a)>=f(b)

Mais de toute façon le contraire de f décroissante n'est pas f strictement croissante.

L'hypothèse de continuité semblant inutile.

J'ai prouvé :
f bijective (de [0;1] vers f([0;1]) ) ; f([0;1])=[0;1] ; f strictement croissante ; ensuite f(a)=a forcé en écrivant f([0;1])=f([0;a]U[a;1]) =f([0;a])U f([a;1])

Ben si le contraire de f decroissante c'est f croissante car f continue sur un segment et f clairement injective en supposant f(a)=f(b) et en faisant n-1 composées.

OK il y avait des sous-entendus.

Perso le kholleur m'a fait passé par la suite un+1=f(un)
 
Avec u0=x
 
On montre que un est constante en montrant que un est croissante et périodique.
 
Donc f(u0)=u0 donc f(x)=x

J'aurais du un peu plus détailler
 
J'ai cherché avec les suites au début mais j'ai pas vraiment réussi à conclure

Soit n > 2 un entier.
Montrer qu'il n'existe pas de polynômes P,Q,R non tous trois proportionnels tels que P^n = Q^n + R^n.
 

Soit (fn) ,n entier naturel , une suite d'applications de N vers N.
On définit une application f de N vers N par f(n)=fn(n)+1

1) prouver qu'il n'existe aucun entier naturel p tel que f=fp
2) conclure.

Soit E=IR^3 euclidien orienté  
Soit a€E (a non nul)
et w un endomorphisme de E défini par : w(x)=a^x  (vectoriel)
 
Calculer et reconnaitre exp(w)

On conclut par argument diagonal que N s'injecte strictement dans F(N,N)

Un exo que j'aime bien   :
 
Soit

Calculer (pour f € U) :