Reprise du message précédent :
Comment ca? "Mettre un problème en équation", c'est pas des maths, c'est de la "modélisation", ca n'a pas sa place dans un cours de maths.
 
Du moins en théorie, en pratique on a des sempiternels "jacquie a 4 poules, michel lui en vole le tiers de ce qui lui reste apres le vol, combien de poules michel a t il volé?".
 
Je suis d'accord que c'est une compténce importante à apprendre, mais à mon avis elle n'a pas grand chose à faire dans un cours de maths.
 
A moins que j'aie mal compris le sens de ta remarque.

Tu veux le faire à quelle occasion alors, si ce n'est dans le cours expliquant les outils qui permettent la mise en problème et ensuite sa résolution ?

Pour ma part, et j'en ai deja aprlé, je suis pour une fusion des cours de maths et de physique au collège, qui serait un cours de "science", ca aurait sa place la dedans.

T'as bien compris et c'est exactement ce que je pense
Je pense que la compétence à acquérir c'est la résolution de problème avec mise en équation puis résolution. Aujourd'hui on fait faire (et encore de moins en moins d'après ce que je comprends) de la manipulation d'expressions qui n'ont ni sens ni utilité aux élèves de collège. Contrairement à Grothendieck, je pense qu'il est plus naturel pour la plupart des gens d'aller du concret à l'abstrait, du spécifique au général. Typiquement, la compréhension de la mise en équation pourrait au moins permettre aux élèves de ne pas être bloqués à la résolution de l'équation 2y+3=5 car ils n'ont manipulé jusqu'à présent que des "x".

"Posons x=y"  

Je ne compte effectivement plus le nombre de fois où on arrive à des équations du style a ² - 2a = 5 pour voir les gamins me regarder totalement démunis pour ensuite balançer des "ah !!! de satisfaction quand j'écris à côté x² - 2x = 5...    
 
Idem pour les stmg qui lors de leurs calcul de taux arrivent à des équations du style  
1 + t = 0,67 et on bien sûr les mêmes difficultés.
 
C'est pour ça que dès que je peux, je multiplie les variables et lors de rencontres entre profs Lycées- collèges (de plus en plus rares heureusement car j'y pète régulièrement un câble), je demande en vain de le faire dès le collège (comme je demande à ne pas systématiquement garder les inconnues à gauche de l'équation, ce qui fout les gamins en pls dès que j'ose écrire 4-x =5 <=> 4 - 5 = x  ).
 
Les réponses dans 99,99999999999999998740541 % des cas sont du style...
 
"on a autres choses à foutre !" ,
"déjà qu'ils comprennent comme ça et on verra!"   ,
"râlez pas, vous avez les meilleurs par rapport à ceux que l'on se coltine !"   .
 
Le pire, c'est que je les comprends...  

En collège, ça me paraît quand même encore assez éloigné (tant dans la forme que le fond) pour garder les deux disciplines distinctes.

Effectivement, dès que ça sort du classique 'x' ils aiment pas (et donc pour la part je mets du y, du a, du t, du n,...). Par contre, pourquoi l'inconnue s'appelle 'x' historiquement c'est intéressant

Pour les résolutions, en équation ça ne les gêne encore pas plus que ça d'avoir les inconnues à droite, par contre dès qu'il faut lire les solutions d'une inéquations type 3>x  ils sont effectivement vite bloqués..

Surtout au lycée je trouve.
En tout cas faudrait une grosse synergie entre cours de "calcul" et physique.

Le seul moment où c'était un peu le cas c'était lors du cours sur la décroissance radioactive et l'exp.

Et ça fait qu'une fois dans le sup t'es comme une poule devant un couteau quand tu dois dériver une expression pour trouver la réponse avec une étude de fonction tellement c'est isolé de tout intérêt dans le cours de maths et que tu le lies pas a une utilité pratique.

De mon temps il y avait aussi les circuits électriques, on vérifiait qu'une fonction était bien solution de l'équation différentielle.

Ouais effectivement y avait le rlc aussi.

Mais souvent ça apparaît plus comme une recette sur le moment que comme une connexion directe avec le cours de maths.
Et 1 an après tu dois naturellement faire des développement limités sur des fractions mdr.

Faut illustrer toutes les techniques de calcul directement où elles ont leur utilité en physique. Mais bon ça suppose une coordination entre deux profs donc ça peut être problématique.

C'est pas mal les maths vues pour la physique, mais je pense qu'il faudrait surtout des maths vues par les problèmes, parce qu'au fond c'est ça les maths. Qu'à chaque chapitre on ait un objectif en tête : je pense que les outils mathématiques ne sont pas la finalité, mais le moyen, et donc pour intéresser les élèves, il faut qu'ils voient que ces derniers lèvent une difficulté/généralisent le raisonnement dont ils ont besoin.
Parce que mélanger les maths et la physique c'est aussi participer à une perte de sens des mathématiques, qui se satisfont aussi à elles-même, en tant qu'art de la résolution de problèmes.

D'un autre côté résoudre les équations différentielles, c'est réellement beaucoup de recettes je crois

C'est la direction qu'ont prise les programmes de maths de collège depuis la dernière réforme : voir davantage les maths comme une immense boîte à outils pour résoudre des problèmes, plutôt que faire des maths "pour faire des maths".

Non, je ne parle pas de programme, je parle de pédagogie. Par ex commencer un nouveau chapitre par un exercice en classe entière sur un truc qui sera trivial une fois le chapitre fait, mais qui fera bien chercher les élèves sur le moment. Les outils introduits n'en seront que mieux reçus.

EDIT : ok je suis pas prof, donc à prendre avec humilité de ma part notamment sur la faisabilité, tout ça

Ah oui ? C'est plutôt positif alors. Il me semble qu'on se fait allumer au test PISA (qui me semble pas mal fait) à cause de ça non ?

Genre on t'as attendu pour penser à ça (pas la peine de préciser que t'es pas prof)...    
 
On faisait déjà même un peu comme ça quand j'étais élèves et les bouquins aujourd'hui sont systématiquement organisés ainsi et certaines activités sont explicitement et très fortement conseillées dans les programmes officiels...    
 
Et ouais, le problème est la faisabilité (temps, moyen, niveau des élèves) avec les gamins qui ont de moins en moins de connaissances et tout simplement de moins en moins d'esprit mathématiques... Les élèves ont tellement l'habitude de se voir balancer des formules que mêmes avec des activités, ils ont du mal à saisir qu'il y a un enjeu... De plus, il faut être honnête, en maths avant le bac (et même 2 ans après), c'est difficile (sauf en proba et avec certaines fonctions de référence) de donner des activités vraiment concrètes et attractives. Et surtout cela prend du temps pour une plus value que beaucoup de collègues trouvent quasiment nulle. Et bien sûr, le gamin en difficultés ne comprend ni l'activité, ni le cours et encore moins le lien...
 
L'évolution classique (que j'ai d'ailleurs suivi malgré ma résistance) est d'en faire systématiquement avant chaque chapitre à ses début , puis avec l'expérience, d'en faire de moins en moins (qui prennent de plus en plus de temps)...

 
J'ai eu un bac+5 en maths il y a 20 ans, j'ai pas su faire. Je m'y suis lancé par curiosité, bordel j'ai séché comme une bouse. Bon, j'approchais un peu, j'avais construit une expression du style ((y-x)-|y-x|)/(2(y-x)). Ça m'a rappelé mon traumatisme du bac : je n'avais aucun programme dans ma calcu, bon élève et connaissant toutes les formules par coeur. Et là misère, la formule d'une tangente à une courbe qui m'échappe (y=f'(a)(x-a) + f(a)).  
Et je ne l'ai jamais retrouvée, malgré 4 pages de brouillon au crayon gris pendant 45 minutes. Complètement dépité, je n'ai même pas regardé la suite du problème et je suis sorti 30 minutes avant la fin de l'épreuve. (0 pt sur 11) Heureusement j'avais fait un sans-faute dans les trois exos précédents et ils avaient monté les notes, j'ai eu un 13 au lieu d'un 10, moi qui tournais à 16 de moyenne. C'est toujours dans un coin de ma tête...je vais me refaire le sujet cette semaine tiens. Si j'y arrive    
Sujet du bac en 95:
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metropole_S_juin_1995.pdf

J'ai d'abord "triché" en cherchant min (x,0) en fonction de x et de |x|.
 
J'ai rapidement trouvé un truc correct, mais j'ai ensuite un peu galéré pour passer à min (x,y) car je voulais forcer le truc (un moment, j'ai rapidement regardé la surface du truc pour voir s'il n'y avait une trivialisation).
 
 Après 2-3 minutes d'errance, je me suis résolu à chercher une fonction affine qui à - x + y associait x et à 0 associait y. Il y a sans doute plus élégant.
 
Pour le coup, ce n'est pas un exos simple et même en prépas classiques, on doit galérer dessus. Mais c'est clairement le genre de question que l'on poserait dans les grands lycées parisiens dès la terminale.

ou alors le min et le max additionnés donnent forcément la somme des deux
et max-min donne la valeur absolue de la différence

et système d'équation

Un simple schéma suffit.  

J'avais oublié que l'on demandait le max aussi...  
 
Et justement, cela m'emmerdait que ce soit aussi présent dans mes calculs...  

C’est une formule qui revient régulièrement en maths Sup.

Avec un pseudo comme Syzigie, tu devrais toucher pourtant en maths quand même  

 
avec un crayon à papier tu y serais arrivé sans problème

J'ai toujours dit "crayon gris"

Ah, Syzygie, c'est aussi un terme en astronomie apparament, en tout cas c'est ce que dit wiki. Ceci expliquerait la photo d'albie en avatar.  
Je sais meme pas ce que ca veut dire vraiment en allemand en fait.

Ca me rappelle une petite anecdocte, qui a une douzaine d'années, quand je faisais mes premiers séminaires de maths, j'étais allé à un sémainaire à l'IHP sur la gravitation quantique, où Connes parlait au milieu de bcp de physiciens, j'avais rencontré une autrichienne qui faisait une thèse en physique, à qui j'avais dit que le seul mot d'allemand que je connaissais était "papillon" et tout fier je lui dit que ca se dit "Zassenhauss"... elle me regarde bizarrement en mode "heu pas du tout".

En fait le lemme du papillon se dit Zassenhaus lemma en anglais, sauf que Zassenhaus est le nom du mec à qui est dû le lemme. J'étais bien passé pour un con.

Je l'ai retrouvé comme ça aussi

J'avais la flemme de faire le dessin

Je ne pense pas que Grothendieck pensait le contraire. Il pensait que l'abstraction permet de clarifier les choses, ce qui je crois est très vrai. Je crois qu'il y une sorte de trade off "abstraction/difficulté" qui est souvent très vrai dans un situation mathématique.
Mais il savait parfaitement ne pas faire de l'abstrait juste pour faire de l'abstrait ; y a une phrase de Grothendieck que j'aime bien, et que j'applique d'ailleurs au quotidien "comprendre les grandes choses au travers des petites", ce qui est à mon avis une faculté cruciale quand on fait des maths, et qui est très souvent cachée dans la manière dont on rédige.
 
Mais il n’empêche que l'abstrait simplifie souvent grandement les choses.  
 
Bien sur tout ceci est très éloigné des préoccupations pédagogiques du collège/lycée. La phrase soulignée est un constat assez terrible, car ça veut dire que véritablement les élèves ne comprennent pas ce qu'ils font et je trouve que faire sans comprendre est bien pire que de ne pas savoir faire.
Il va sans dire que je n'ai pas vraiment de solution à ce problème, surtout que d'enseigner les choses les plus élémentaires est souvent le plus difficile, surtout quand on a été "bon élève".

Ca c'est qqch que je pense tres bon.
Quand j'enseigne j'ai l'habitude de finir chaque cours par des "keynote" questions, qui sont des questions naturelles dont les outils nécessaires à la résolution seront vus au cours d’après.
J'ai piqué cette idée à Harris et Eisenbud qui font ça systématiquement en début de chapitre de leur (magnifique) bouquin de théorie de l'intersection.

https://scholar.harvard.edu/files/j [...] l-3264.pdf

Demander à une classe de term s de trouver l'expression sans aucune indication a probablement peu d'intérêt (sauf très rare exception ou quelqu'un qui la connait déjà, y a en effet personne qui va trouver), par contre je serais curieux de savoir combien y arrivent avec toutes ces indications (à la rigueur sans préciser que ça donne un système d'équations à résoudre).
Si y a des profs ici qui se sentent d'essayer avec leur classe...

Et surtout chez Grothendieck c'est une manière de faire de la recherche, pas un principe d'instruction.
Bon après on peut toujours trouver des correspondances mais à un tel niveau de toute façon ça revient à copier le programme de muscu d'un mec dopé pour l'appliquer à une crevette qui vient de soulever ses premiers haltères de 8kg.

De toute façon c'est un faux problème. De mon expérience, certes maigre, la principale difficulté des élèves au collège, lycée et même en prepa est liée au langage mathématique en tant que tel.

Je ne suis pas spécialiste mais dans le dossier de Pour la science qui lui était consacré, il était dit qu'il partait du général pour arriver au particulier et que ça posait problème à beaucoup de monde.

Ça après c'est une question d'habitude, de familiarité, de pratique, de voir que ce n'est pas un symbolisme ésotérique réservé aux élus touchés par la grâce et c'est peut-être ce qui souffre le plus du manque de discipline et de la réduction d'heures.
Enfin je ne suis pas exactement au fait de l'évolution des programmes et des heures mais si effectivement ça a bien diminué avec toujours un catalogue assez large de notions mathématiques à balayer, ce qui va en pâtir en premier me semble être cette falmiliarité avec le langage-même au-delà de la maîtrise de telle ou telle connaissance de telle ou telle partie du programme.
Mais bon je suis pas prof, pas matheux et n'ai qu'un vague souvenir de ma scolarité.

pour moi du primaire à la terminale y a aussi le fait que la classe de maths c'est surtout une classe de calculs, et pas du raisonnement.
 
si le raisonnement avait une place principale les erreurs évoqués même au niveau du calcul y a qqpages du type (x+5)²=x²+5² ne pourraient pas arriver parce que les gens essaieraient avec x=1 pour être sur.
 
et si déjà le concept de raisonnement dans sa globalité t'échappes comment tu peux utiliser un langage visant à l'articuler ?

A l'ordre 1, c'est bien sur totalement vrai. Mais c'est un peu plus subtil que ca en fait.

En fait il y a plusieurs aspects à la question, la façon dont on rédige, et donc on est lu et compris (1). La façon dont on résoud effectivement une question (2). Et la façon dont on trouve cette résolution, ou les idées qui ont amené à cette résolution (3).

S'il est clair que sur le point 1 ou 2 (donc le seul point qui transparait dans les textes mathématiques) Grothendieck était totalement dans l'abstraction la plus complète et le cadre le plus général possible, parfois jusqu’à l’écœurement. C'était beaucoup moins vrai dans la partie 3.

Tout son génie était justement de comprendre quel cadre abstrait était nécéssaire pour résoudre un vrai problème concret et quelle spécificité d'une situation simple et concrète devait être conservée pour arriver à un cadre abstrait qui permet de comprendre sans heurt le cadre concret.

Par exemple c'est très visible déjà dans son théorème de Riemann-Roch. Le théorème de Riemann Roch à la base c'est essentiellement calculer la caractéristique d'Euler d'un fibré sur une variété complexe; en fait c'est deja une abstraction de la question classique, qui calculait la dimension de l'espace des fonctions méromorphes sur une courbe complexe propre ayant un comportement prescrit en certains points (en langage plus moderne ca correspond à calculer la dimension de l'espace des sections d'un fibré). En fait ce problème n'a pas de solution "simple" et il a fallu un gros travail pour comprendre que la "bonne question" a poser était celle du calcul de la caractéristique d'Euler du fibré et pas des sections de celui-ci.

Mais ca restait difficile. Hirzebruch et Grothendieck ont trouvé comment faire quasi en meme temps. Mais la preuve d'Hirzebruch est tres maligne et franchement assez difficile. Il fallait être fort pour la trouver.

La méthode de Grothendieck a été de comprendre que la question était encore "trop mauvaise" pour trouver une bonne réponse et il a réussi à trouver un "cadre relatif", qui est beaucoup plus "lourd" dans laquelle on peut poser l'analogue de la question précédente. Ce cadre est plus lourd mais aussi plus souple car il permet de "dévisser" la situation précédente en la vérification de deux cas essentiellement triviaux. La preuve est très simple mais elle nécessite un bagage conceptuel beaucoup plus lourd (et qui était absent à l’époque, notamment la K-théorie qui a été inventée justement pour pouvoir formuler l'analogue du théorème en question). A la fin le théorème tombe tout seul par contre (en fait on prouve même un théorème beaucoup plus fort).

Bien sur comprendre qu'il fallait inventer la K-théorie, donner une version relative du théorème (et au passage donc comprendre que la question est plus une question sur le faisceau \pi_*E que sur le fibré E lui même) pour pouvoir prouver facilement le théorème nécessitait d'etre Grothendieck.

C'est vraiment paradigmatique du style de Grothendieck, et c'est vrai que certaines personnes ont eu du mal avec ca. Mais il est parti d'un problème tout ce qu'il y a de plus concret. Seulement le "bon" cadre pour le traiter était plus abstrait.

Bien sur, si tu te contentes de lire SGA 6, ou le théorème apparaît, rien de ce cheminement n’apparaîtra tel que. Tu auras simplement un joli exposé sur la K-théorie et la G-théorie, et les complexes parfaits de faisceau quasi-cohérents et le théoreme de Grothendieck-Riemann-Roch, en corollaire.
Mais ca c'est le style Bourbaki de toute façon, et Grothendieck était résolument bourbakiste.

J'ai rien compris...
bon, j'ai une maîtrise de math d'il y a 25 ans et j'ai tout perdu depuis

Je peux donner plus de détails, meme si c'était simplement une illustration de mon point.

Si tu regardes une courbe complexe compacte, une surface de Riemann compacte si tu preferes, tu peux te demander si tu spécifie une certain nombre de points disons x_1,..., x_n dessus, et un ordre d'annulation/singularité en ces points donnés des entiers a_1,...,a_n, est ce qui existe une fonction méromorphe sur la surface qui possède ce comportement, c'est à dire que si a_i est positif, tu veux que f soit nul à l'ordre au moins a_i en x_i, et si a_i est négatif tu veux que f ait au pire une singularité de type 1/z^p avec p<-a_i (en fait on prend l'opposé de cette convention pour des raisons historiques).

Riemann avait compris plusieurs choses sur la question. Il avait compris que si la somme -(a_1+...+a_n) était assez grande alors on pouvait exactement donner le nombre de fonctions independantes qui vérifiaient ça. Il avait aussi compris que la réponse (à cette question qui est essentiellement géométrique, la notion d'holomorphie/meromorphie dépendant de manière cruciale de la géométrie locale de la surface) à cette question ne dependait que de la topologie de la surface du moins encore une fois pour -(a_1+...+a_n) assez grand.

Pour des a_i quelconques, il ne savait que donner des bornes.
Les gens ont ensuite mieux compris la situation en terme géométrique et cohomologique. Et ensuite se sont posé la question de la généralisation aux variétés complexes de dimension supérieures. La réponse a été trouvée par l'ecole italienne dans la première moitié du XXème pour les surfaces complexes. La question en dimension >2 restait ouverte, et c'est donc Hirzebruch et Grothendieck qui ont donné la réponse à l'analogue de cette question pour les variétés générales.

j'ai toujours rien compris, j'ai vraiment tout perdu...
ça m'énerve et ça me déprime.

En gros tu te donnes une patate de forme arbitraire, et tu te demandes combien de couteaux économes à la forme de lame différente sont capables d'éplucher la patate d'un seul coup, sans s'arrêter et sans laisser de petits bouts de peau
 
Et c'est Grothendieck qui a trouvé la réponse, mais c'est sa femme qui faisait les frites

lol

Regarde ce qu'il se passe sur P^1, la droite projective complexe. Quelles sont les fonctions holomorphes partout? Quelles sont les fonctions méromorphes ayant au pire un pole en 0 (et holomorphe partout ailleurs)?  
Le théorème de Riemann-Roch répond à cette question dans le cas général.