Reprise du message précédent :

Regarde ce qu'il se passe sur P^1, la droite projective complexe. Quelles sont les fonctions holomorphes partout? Quelles sont les fonctions méromorphes ayant au pire un pole en 0 (et holomorphe partout ailleurs)?  
Le théorème de Riemann-Roch répond à cette question dans le cas général.

non j'ai vraiment TOUT perdu

 
Alors je veux bien qu'on soit sur HFR, sur le topic math, et ce que tu racontes est super intéressant, par contre je pense que tes repères sont totalement à l'ouest    
Parce que parler de "cas tout ce qu'il y a de plus concret" pour le théorème de Rieman-Roch, qui nécessite a minima deux ans d'études sup et d'abstraction pour en comprendre l'énoncé (perso l'analyse complexe c'était en 2eme année de supérieur, la géom diff en 3eme) heu comment dire...
 
C'est pas toi déjà qui voulait faire enseigner la dérivé par de la géom diff ?  

Non, mais la je parle dans un contexte de math de recherche et de l'abstraction des maths que faisaient Grothendieck par rapport à celles de ses contemporains.  
Pour les géomètres algébristes des années 50, l'analogue du théorème de Riemann-Roch en dimension supérieure c'était tout ce qu'il y a de plus concret comme problème et c'était au centre de l'attention.  
Les outils que Grothendieck a introduit pour le résoudre eux ne l'étaient pas.
 
C'était en réponse à l'intervention  

qui parlait de l'accueil des travaux de Grothendieck par ses contemporains. Evidemment pas par des élèves de collège/lycée/prepa  

Oui, je pense que ce serait une bonne idée, en effet. Au moins pour des sup/spé.    
 
Apres je ne dis pas avoir nécessairement raison, mais je pense que c'est l'un des points sur lesquels la synergie avec la physique devrait être importante. Y a une espèce de schizophrénie que je trouve dommageable sur le sujet dans les premières années post bac.

Au temps pour moi    
 
 
Hum, ca se discute. Autant pour des physiciens se préparant à faire de la physique mathématique ou  pour des matheux purs ca a clairement un intérêt, autant pour les autres, laisser la possibilité est intéressante mais pas forcément nécessaire.
Faut pas oublier que la 1ere (voire les 2 premières années) il faut tout reprendre depuis le début pour égaliser le niveau, du coup on enseigne la dérivé "comme vu au lycée" d'un point de vu purement analyse et on étend la notion à des variables multiples, différentielles, dérivées partielles etc. Si on doit passer le temps a introduire les notions de géom diff, et ce dès la 1ère, tu vas passer ton année a faire que ca (si tu veux qu'ils suivent un minimum) et le reste du cours d'analyse passe à la trappe
 
Par contre le mentionner en passant pour pas que ca sorte pas de n'importe ou une fois que tu mets tes mains sur ta 1ere variété, ca me parait pas mal.

Je sais bien que je suis déconnecté, mais pas tant que ca    

En fait, le problème c'est qu'on privilégie à mon avis bien trop l'aspect analytique à l'aspect géométrique alors que le second est (ou me parait) bien plus fondamental. On en arrive à des situations un peu abérente ou on considère que quand on fait des changements de coordonnées on ne considère plus "la meme fonction" et ceci parce qu'on privilégie un système de coordonnées dès le début, je trouve ca tres dommage, et ca crée une tension avec l'utilisation des concepts en mécanique, en thermodynamique. Evidemment, tout l'aspect local de la situation est analytique alors il faut bien sur passer par là. Le calcul différentiel est deja le parent pauvre de l'enseignement en taupe... c'est sur que ce serait sans doute compliqué.
 
Globalement je trouve le programme de maths de taupe hyper mal foutu en fait. On y fait beaucoup trop d'analyse à mon avis, le programme est très déséquilibré. Mais c'est un autre débat.

 
 
C'est vrai mais a mon avis ca se fait aussi comme ca aussi car au niveau pré-requis ca "coule" directement après un niveau lycée.
On a le même problème en physique : c'est bien plus fondamental d'avoir une description de la gravité selon la RG, avec des concepts physqiues forts tels que le principe d'équivalence, mais vu la quantité de pré-requis qu'il faut en analyste tensorielle/géom diff pour pas caler toutes les deux lignes et se concentrer sur le message physique, ben on attends quelques années histoire d'etre mathématiquement à l'aise dans ce cadre la. Et en attendant on enseigne en dessous que la gravité, c'est une force entre 2 objets massifs et . /, on a juste pas le temps d'avoir tout les pré-requis pour partir directement sur une description RG

D'ailleurs histoire de procrastiner un peu et de faire vivre le topic, et parce que j'aime bien cause de maths aussi ; l'approche Grothendieckienne se voit tres bien aussi dans la construction de la cohomologie l-adique.

A la base, c'est Weil qui avait remarqué que si tu prenais disons une courbe définie par un équation polynomial f(x,y)=0 à coefficient entiers, alors si tu regardais les solutions complexes de cette équation, cela définissait un objet géométrique (en l’occurrence une surface de Riemann, sous certaine conditions) et les propriété géométriques et plus précisément cohomologiques de cet objet géométrique semblaient commander le comportement des solutions de la même équation, mais dans les corps fini de caractéristique q=p^r.

Cette analogie lui avait permis de mettre sur pied tout une série de conjectures, sur le comportement des solutions à de telles équations, et il en avait démontré une bonne partie pour les courbes, c'est à dire les équations f(x,y)=0 qui donnait une surface de Riemann, mais on pouvait augmenter le nombre de variables et d'équations et on obtenait des objets géométriques de dimension supérieur, typiquement des variétés projectives lisses complexes. Mais les solutions de ces équations dans les corps finis, elles même, n'avaient pas de géométrie évidente, c'est simplement des collections finies de points, et Weil n'avait jamais envisagé que cette analogie soit autre chose qu'un guide dans l'élaboration de ces conjectures. Ces conjectures restaient ouvertes si l'on prenait des objets qui ne donnent pas une surface de Riemann du coté géométrique mais un truc de dimension (complexe) >1

C'est Grothendieck qui a pris l'analogie au sérieux et qui a voulu construire véritablement une vrai théorie cohomologique pour ce genre d'objets directement sur les corps finis, et ne pas utiliser l'artefact de passer par les nombres complexes pour avoir "de la géométrie" à disposition, notamment parce que ca n'était pas tout le temps possible de faire ca. L'idée qu'il a eu, pour faire ça, parait vraiment "naïve", l'idée c'est de remplacer les ouverts d'une variété, par des morphismes.

En gros la cohomologie calcule comment on peut recoller des trucs définis sur des ouverts locaux. Si tu prend un espace disons métrique X, et une fonction continue, f, dessus par exemple, ca revient au meme de se donner f, ou de se donner pour une famille d'ouverts (U_i) qui recouvre X, et une collection de fonctions continues f_i sur U_i, tels que f_i=f_j sur U_i\inter U_j. Y a aucune obstruction à recoller des données locales.
Mais parfois y en a, par exemple si on se donne une primitive de 1/z sur une collection de petits ouverts qui recouvre C^*, alors on sait qu'on peut pas les recoller en une primitive de 1/z sur C^* tout entier, car il n'existe pas de telle primitive globale, alors que localement on peut pourtant le faire (si les U_i sont assez petits et simples, des petits disques par exemple). Cela se traduit par la non nullité d'un groupe de cohomologie. Globalement c'est ce genre de choses que mesure la cohomologie. Des obstructions à des recollement locaux.

L'idée de Grothendieck a été double. Premièrement, de montrer qu'il y a une recette algébrique automatique qui calcule la cohomologie, et qui est totalement indépendante de la situation géométrique. Deuxièmement de voir qu'au lieu de recoller des trucs le long d'ouvert, on pouvait recoller les trucs le long de morphismes, finalement tester que f_i restreinte à U_i\inter U_j est égale à f_j restreinte à U_i\inter U_j, ca n'est ni plus ni moins que de tester f_i o h=f_j o k, pour h l'inclusion de U_i inter U_j dans U_i et k l'inclusion de U_i inter U_j dans U_j. Mais rien n'empeche de prendre pour h et k des morphismes plus généraux que des inclusions. En faisant ça, il a montré qu'on pouvait avoir des théorie cohomologiques dans des contextes beaucoup plus variés que le contexte géométrique usuel. Mais ça parait tellement "bébète" comme idée qu'on a du mal à voir comment ca peut apporter quoi que ce soit à la situation de départ.

En fait il restait à trouver les bons "morphismes" à utiliser, et bien sur ensuite reconstruire toute la théorie et c'était pas évident, y avait beaucoup de problèmes techniques (en fait, les gens avaient une bonne intuition de ce que ca devait etre, mais y a eu beaucoup de travail pour tout bien construire) et c'est comme ca que Grothendieck a construit la cohomolgie l-adique.

Mais la encore si tu lis SGA 4 et SGA 5, alors tu vas avoir la théorie générale sur comment calculer une cohomologie dans le contexte le plus général possible, pour une catégorie munie d'une "topologie de Grothendieck" (une topologie de Grothendieck, c'est comme une topologie, mais au lieu de se donner des ouverts de l'espace, on se donne des morphismes à valeur dans l'espace, en fait on à meme pas besoin d'un vrai espace, on peut prendre simplement une catégorie, soit un truc tres tres général), puis seulement plus tard l'application aux conjectures de Weil et à leur preuve.

Ca parait tres "monumental" (ca l'est), mais dans la pratique Grothendieck a été guidé par un problème vraiment "concret" et important. Et au final il a vraiment révolutionne la façon dont on pensait à la cohomologie, ce qui est peut être son héritage le plus important.

tl:dr
 
(puis j'ai pas le niveau )

Moi j'ai beaucoup apprécié.
 
A+,

tldr: Grothendieck a remplacé les \subset par des \to, et paf, ca a fait des chocapics.

C'est le genre de sujet que je ne connais que de loin (mes domaines relevaient plutôt de l'algèbre et la combinatoire). Bien que j'aie eu Illusie comme prof en maitrise, il y a 40 ans.
 
A+,

Hello msieurs / dames…le ton des derniers échanges m'a poussé à sortir du bois pour venir chercher conseils...
 
Je vais me lancer à donner des Tds d'algèbre linéaire « débutant » (EV, application linéaires, chgt de bases, systèmes, déterminants et...je m'arrête là, la suite sera faite en S2, pas par moi.  
 
La base théorique ne me pose pas de problèmes (enfin...j'espère)…
 
Mon soucis...c'est que la commande c'est « donner un bagage de maths à destination d'étudiants qui cherchent une intégration en école d'ingénieur après un échec en médecine».  
Donc des étudiants avec un niveau terminale, sans doute motivés, mais sans culture « Maths pures »…et moi, ma culture maths, elle est clairement d'inspiration bourbakiste (groupe, anneau, corps, K-ev...vous voyez l'idée…).  
 
J'ai deux mois de vacances pour préparer tout ça et je me demandais si vous n'aviez pas des applications « un peu sexy» de l'algèbre linéaire pour illustrer / motiver les notions…
 
Je crois qu'en terminale ils utilisent les matrices pour modéliser des phénomènes de dynamique des populations, j'ai les transformations de l'espace (avec l'effet sur les volumes qui me donnera j'espère une bonne introduction aux déterminants)...mais je sens bien que je suis un peu sec…
 
J'envisageais de dire un mot les bases de polynômes, Fourier, j'ai même caressé l'idée de provoquer l'extase chez ces jeunes esprits en leur montrant le théorème de Riesz mais...je suis à peu prêt sûr d'être hors sujet, et de les décourager plus qu'autre chose…J'ai pensé proposer des TPs de prog, pour manipuler les matrices, calculer le pivot de Gauss par exemple, mais je pense pas non plus être dans la cible...
 
Est-ce que vous auriez des idées d'applications lumineuses qui permettraient d'illustrer une intro à l’algèbre linéaire ? Si possible des trucs bien crades de physicien/biologiste, accessibles à un élève de terminale ?  
Ou bien si je renverse la problématique...à quoi vont-il utiliser leur connaissances en algèbre linéaire en première année d'école d'ingé ? Je me vois bien leur spoiler honteusement leurs cours de première année

 
 
La mécanique quantique pour toi, c'est bien crade ?

Oui, clairement, mettre un chat à moitié mort dans une boîte ça rentre dans la catégorie trucs crades
 
Tu m'intrigues sur ce coup là...(et je suis une grosse tanche en physique...) à coup de google j'ai trouvé ce lien là :
 

 
Et un cours qui semble traiter ça : http://www.iqst.ca/quantech/443/chapter_one.pdf
 
ça a l'air prometteur, je vais regarder (au moins sur l'introduction !)
 
Merci, si tu as d'autres idées, encore plus crades, je suis preneur    

Attention, seuls les spé, ont les matrices au programme.

 
ça m'arrange plutôt ça ! L'application est sympa, facile à raconter, faut que je regarde jusqu’où elle permet d'illustrer les exemples de base (multiplication matricielle en tant que composition des applications ça va le faire, mais je pense que je vais l’épuiser assez vite...)  
Je vais regarder, c'est clairement l'exemple qui m'a fait me dire qu'il y avait mieux à faire pour les accrocher que loi de composition interne / externe / distributivité etc etc...(même si je ne renie pas cette vision des choses, elle m'a construite...mais il semblerait que je converge vers le pédago-paillettes, l'age avançant...)

 
Les matrices de rotation (en 3D sinon c'est pas drôle), ça leur servira pour leurs cours de méca.

 
Si c'est pour illustrer, plutôt que de prendre un truc physique qui va être tordu à modéliser, tu peux prendre un exemple plus simple à base de chaine de Markov (sans prononcer le nom )
 
Tu prends un jeu dans lequel tu as cinq cases, numérotées de 1 à 5. A chaque tour, tu lances une pièce. Si c'est pile, tu avances d'une case. Si c'est face, tu avances de 2 cases. Si tu dépasses 5, tu reviens au début (ie 6=1, 7=2 ...). Au tour t=0, tu es sur la case 1. Tu construis ta matrice de passage donnant la probabilité d'être dans la case X au tour n+1 en fonction de ta position au tour n. Tu multiplies ta matrice par ton "vecteur initial", ça va te donner ta proba d'être dans les cases 1 à 5 au tour 1. Puis tu remultiplies ta matrice pour avoir tes probas au tour 2 et ainsi de suite.  
 
Suivant ton humeur tu peux remplacer par un cavalier qui se déplace sur un échiquier, par ta position sur un jeu de monopoly et ainsi de suite (mais là ça fait des grosses matrices )

 
En terminale j'ai peur qu'ils pannent que dalle.

Merci à tous !  
Donc si je résume...
 
J'ai un axe mécanique quantique (mais de ce que j'ai lu ça dépasse vite ce que je suis sensé traité, mais ça permet d'évoquer des espaces en dimensions >3 ou on modélise des systèmes avec beaucoup de degrés de libertés).
J'ai un axe transformations géométriques (2D puis 3D : rotations, dilatations, compositions de transformations, déterminant comme impact sur les volumes...). Je peux coller des animations 2D / 3D pour illustrer...
J'ai un axe chaîne des Markov (avec la dynamique des populations qui ouvre vers des situations en haute dimension si je veux avec l'étude de jeux avec plus d'états)...
J'ai un axe polynômes (dimension infinie) qui peut amener vers les polynômes trigos, et l'analyse harmonique en perspective...
J'ai l'étude des systèmes linéaires, qui peut s'illustrer par de la géométrie affine...
J'ai peut être l'interpolation de Lagrange (qui se ramène à un système linéaire si je ne m'abuse)...  
 
S'il me manque des standards, ou si l'inspiration vous vient en rentrant de la fête de la musique, n'hésitez pas
 

Quand je travaillais la représentation linéaire de groupes finis, il y avait comme exemples sympa, le problème de vibration moléculaire où les vecteurs et valeurs propres jouent un rôle important.

Je ne comprends pas trop la logique d'un point de vue pédagogique. Tu t'adresses à des étudiants en échec et l'objectif c'est un truc dégueulasse ?    
Dans l'idée, je dirais que c'est un bon moyen d'en larguer les 3/4 mais bon.
Moi je trouve que finalement la façon dont c'est en fait en prépa est bien fichue et assez progressive.
Résoudre un système d'équations dans le fond c'est déjà cool. Mais sinon en école d'ingé, ils vont peut-être faire de l'électromag ; dans la commande de machines électriques il y a de la diagonalisation ; en stats aussi ; en éléments finis.

 
Dégueulasse dans le sens "qui est extérieur aux maths fondamentales"...oui c'est excessif, oui c'est péjoratif, le qualificatif m'a fait sourire en contraste avec les pages précédents sur Grothendieck et la géométrie algébrique...
J'aurais dû dire "un contexte d'application ludique pour des élèves de 20 ans qui ne nécessite pas un haut niveau d'abstraction ou de calcul" (et c'est sans doute encore trop péjoratif ?).
 
Enfin, et là nos avis divergent (et c'est beaucoup), je n'ai pas envie d'étudier les applications multilinéaires alternées pour arriver au déterminant et espérer qu'ils s'extasient sur la règle de Sarrus...
C'est comme ça qu'on me l'a transmis, comme ça que je l'ai compris, mais c'était il y a 25 ans et j'étais étudiant en Maths pures (on avait le sens de la tournure à l'époque) mais je pense qu'on peut faire différemment, pour un public différent...
 
En quelque lignes de code je peux leur montrer l'effet d'une matrice sur un cube unité, leur montrer l'effet d'une matrice de déterminant nul (spoiler c'est pas la même chose qu'une matrice nulle), et leur montrer pourquoi la transformation n'est pas inversible. J'espère leur montrer qu'un déterminant, ça se calcule sur les coefficients de la matrice, comment on pourrait l'implémenter par pivot de Gauss, et finalement institutionnaliser un truc suffisamment général pour que mon successeur en S2 ait ce dont il va avoir besoin.
 
Quand au fait d'en larguer les 3/4...bah je dois être un mauvais prof, une fois que j'aurais dégoutté volontairement cette génération je leur souhaite de rencontrer un bon taupin qui pourra leur montrer la voie.
J'ai quelques heures d'enseignement au compteur, dans le supérieur, dans le secondaire, et c'est pas exactement les retours que j'ai, mais quand ça arrivera, au moins, tu m'auras prévenu.

 
En regardant vite fait, et si j'ai bien compris c'est une jolie illustration de l'écriture matricielle : (wikipedia me dit qu'on utilise des coordonnées pour étudier l'élongation, la déformation... des liaisons atomiques, et que chaque molécule fournit une matrice qui exprime ces notions, par rapport aux coordonnées des différentes liaisons ?)
 
ça me fait un exemple de plus, réel, hors de la dimension 3 ou de R[X], je prends...

En tout cas t'es pas susceptible c'est cool

Ne fais surtout pas ca. C est le meilleur  moyen pour qu ils comprennent rien du tout, que ce soit au niveau math ou physique. Sans compter les pieges que tu vas te faire a toi meme au niveau de l interprétation.

Qu ils voient d abord les espaces vec/matrices/vecteurs valeurs propres par eux meme et en dimension finie, avant d aller leur taper des espaces L2 ( qui nécessitent en plus de l analyse complexe pour etre traité correctement.

Je serais toi je le contenterai de restet la plupart du temps dans R3 et utiliser les transformations de l espace pour illustrer. Alors oui c est pas sexy pour un matheux pur, mais on te demande de.former des ingés, pas des scientifiques. R3 sera suffisant 99.9% du temps.

+1.
Reste classique, le trucs vectoriels c'est assez intuitif avec des dessins géométriques.

 
Bon, Errare humanum est, perseverare diabolicum comme dit l'adage...la bonne nouvelle c'est que ça me fera moins de préparation...

 
encore plus crade, théorie quantique des champs avec des opérateurs linéaires qui sont des distributions. Amuse-toi à les multiplier  

Non, mais soyons serieux, tu proposes sérieusement de parler de théorie quantique des champs (un domaine fort interessant, certes) à des élèves qui débutent l'algèbre linéaire?
 
A la place de chalumeau, je montrerai que l'algèbre linéaire a un gros pouvoir unficateur, c'est son interet majeur, trouver des suites verifiant des relations de récurrence linéaire, résoudre des equations differentielles linéaires, décomposer une rotation dans l'espace, ou résoudre un système linéaire, tout ca en fait, c'est fondamentalement la meme chose, et c'est pour comprendre toutes ces choses d'un même front qu'on a fait de l'algèbre linéaire.
 
Montre leur que toutes les notions de géométrie du college lycée, symétrie, projection, rotation, reflexion, ont des définitions simples, qu'on peut montrer tout un tas de choses dessus de manière purement algébrique, et que finalement le fait qu'on soit en petite dimension ne jour aucun role.
 
Tu peux bien sur faire le lien entre la notion de déterminant et de volume orienté, voire expliquer le lien avec le discriminant pour les équations polynomiales de degré 2 ou 3.
 
Globalement, en general qu'on on comprend le premiere fois que l'algèbre linéaire c'est un langage unificateur pour parler de toutes sortes de choses, on est content, cf. les élèves tout fiers de premieres années, qui comprennent qu'en fait une fonction, ou un polynome c'est aussi un vecteur    
 
Et surtout par pitié, pose leurs des exos interessants, pas "calculer le déterminant de la random matrice suivant" ou "verifier que tel machin est un sev".

Une énigme facile, et parce que j'ai dit ça, très énervante quand on ne trouve pas la solution immédiate :

Découper cette figure en 7 morceaux identiques, les angles de mesure inférieure à 180° étant égaux à 90°, 120° et 150°, et les côtés étant de même longueur.

 
Symétrie, c'est hyper léger au collège.
 
Sinon... comment le dire sans choquer ?
 
Projection : On ne fait plus. Au mieux, ils connaissent la projection orthogonale dans le cadre du produit scalaire.
 
Rotation : On ne fait plus. J'essaye (de moins en moins et je plaide coupable) de leur montrer ça avec les nombres complexes.
 
Reflexion : On ne fait plus.
 
Sinon, on calcule à peine des volumes (les formules usuelles et avec l'intégration vite fait 2-3 exemples). Et même à mon époque, je n'ai découvert le discriminant d'un polynôme du 3ème degré qu'avec la théorie de Galois.
 
Si moi aussi je devais donner un conseil, c'est de bien te renseigner sur le programme de la TS et de ne pas oublier qu'en paces, ils font très peu de maths tournant surtout autours des stats.
 
Je crois qu'ils font aussi des équas diff'.
 
 
 
Tu veux sans doute dire "ne fait pas que ça" car au sortir du paces, ils ne doivent pas  
maîtriser ces notions.
 
De façon générale, je ne saurais trop conseiller (surtout à ce niveau) de privilégier le pédagogique au détriment de "belles mathématiques " qui font plaiz' au prof mais passent totalement au dessus de 99,99 % de ce public.
 
En quand je dis pédagogique, vraiment le plus terre à terre et en évitant les cas "super utile pour comprendre un truc essentiel" qui ne le sera que pour les futurs chercheurs...
 
Je sais que c'est très frustrant, mais à un moment donné, il faut être réaliste et bien remplir la mission donnée.

 
Moi ? non. C'est juste que je voulais savoir ce qu'il entendait par "crade"

 
Ca m'a pris une minute pour brancher mes neurones mais j'ai quand même fini par trouver  

 
OK, le message est passé je vais faire du classique, ni trop théorique, ni trop calculatoire, ni trop d'acculturation à des trucs que de toute façon je ne maîtrise pas...jeter un œil sur le programme de paces est une bonne idée...au cas où...

GG

drap