Reprise du message précédent :
Cosinus et sinus exprimés en exponentielles dans le domaine des complexes ne doit pas simplifier l'équation !
https://membres-ljk.imag.fr/Bernard [...] node6.html
On retombe sur une équation transcandente avec les mêmes possibilités de solutions.

Après avoir écouté à plusieurs reprises la vidéo, il me semble que les élèves répètent la formule suivante :

cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b)

C'est juste qu'on entend plus distinctement la partie "a+b = cos(a).cos(b)".

Pour l'équation a+b = cos(a).cos(b) , aucune idée. Le mieux que j'ai pu faire est de poser b=a pour avoir 2a = cos²(a). Dans ce cas, Python me donne une valeur approchée et a ~ 0,41771479.

Curieux de savoir comment montrer qu'il existe ou non des solutions à ton équation.  

J'ai également écouté plusieurs fois l'extrait. Une partie du chant mathématique est couvert par le dialogue entre le proviseur et l'inspecteur d'académie.  Le dialogue commence juste après cos(a)cos(b) et se termine juste avant un autre "a+b=". Que chantent les eleves pendant le dialogue ? Difficile de le décrypter.  Peut etre la formule complétée comme vous le suggérez   ? Auquel cas la scène est "calculée" de facon très précise pour ne laisser en clair que l'équation extraite de la formule. Le cos(a)cos
(b) est prononcé comme une fin de phrase. Le premier cos de cos(a+b) est inaudible.  J'ai cru tentendre  le "ah ah , ah oui vraiment" de Cadet Roussel dans le chant couvert par le dialogue  . Merci d'avoir resolu l'equation pour a=b et de chercher la solution générale.

Salut, je suis à la recherche d'un logiciel qui pourrait me permettre de faire une optimisation multi objectifs (2 en l'occurrence, avec une petite dizaine de variables).

Ça existe ? (le solveur d'excel ne gère pas mieux qu'un seul objectif).

 
Tu fixes b et tu prends f(x) = cos(x)cos(b) - b - x
 
f'(x) = -sin(x)cos(b) - 1
f'(x) est toujours négative et nulle pour des valeurs discrètes.
f(x) est équivalente à -x quand tu tends vers -oo et +oo
 
Donc pour chaque valeur de b tu as une unique valeur a(b) telle que f(a(b)) = 0
 
Donc il y a une infinité de solutions (b;a(b)) à l'équation, par contre je doute fortement que ça s'exprime avec les fonctions usuelles

Salut,
Ce serait quoi tes objectifs ? Tu veux maximiser des bidules tout en minimisant des machins ? Tu ne pourrais pas décomposer en deux systèmes de 1 objectif par hasard ? Ou alors je ne comprends rien à ton problème...  

Merci beaucoup pour cette réponse.  

 
f'(x) n'est jamais nulle ?!
f'(x) aura des valeurs d'annulation discrètes que quand cos(b) vaut 1 ou -1 ce qui est un cas relativement simple à résoudre

 
C'est ce que j'ai dit  
 
Ce qui compte c'est que f est strictement décroissante sur R

pourquoi tu dis "et nulle pour des valeurs discrètes" ?

 
Si elle était nulle sur un intervalle, ça compliquerait un peu les choses

en dehors des cas cos(b)=1 ou -1 f' n'est jamais nulle ?!

Ça correspond donc bien à un nombre dénombrable de cas, c'est discret

Le poids des maths dans l'economie FR: étude du cnrs septembre 2022  
Synthèse https://www.insmi.cnrs.fr/fr/cnrsin [...] act-majeur
Etude complète https://www.insmi.cnrs.fr/sites/ins [...] tiques.pdf
 
Un article dans LeMonde (paywall) https://www.lemonde.fr/economie/art [...] _3234.html

Je profite de ce topic pour poster ce site https://images.math.cnrs.fr/  j'adore lire leurs articles pendant que je bois mon café

 
Merci  

j'avais déjà vu des problèmes d'erreurs machines qui induisaient des erreurs mais jamais dans un truc aussi simple (vu sur un groupe de meme de math sur facebook )
tu prends la suite :
u_0=0
u_{n+1}=1/(floor(u_n)+1-frac(u_n))
 
où floor c'est la partie entière et frac la partie fractionnaire (ce qui reste après avoir enlevé la partie entière)
 
cette suite parcourt tous les rationnels positifs.
 
quand on le met dans excel ça ne marche pas
 
A1=0
B1=floor(A1)
C1=A1-B1
B2=1/(B1+1-C1)
 
on propage tout ça et à la ligne 128 on a A128=7 et B128=6 ?!
excel calcule tout avec 15 décimales mais là ce n'est pas suffisant, A128 vaut en fait 6,999999999999980
 

Plusieurs choses
 
Il y a une erreur, ce n'est pas B2=1/(B1+1-C1) mais A2=1/(B1+1-C1) mais j'imagine que c'est une simple erreur de recopie.
J'ai fait le calcul dans Calc de LibreOffice et j'obtient les mêmes résultats que toi, A128=7 et B128=6.
 
Pour le fun j'ai aussi fait le calcul dans un programme en C (en float, double et long double) et j'ai des résultats différents de Calc dès le rang 8
 
en double
 
    A        B        C
2 - 1.000000 1.000000 0.000000
3 - 0.500000 0.000000 0.500000
4 - 2.000000 2.000000 0.000000
5 - 0.333333 0.000000 0.333333
6 - 1.500000 1.000000 0.500000
7 - 0.666667 0.000000 0.666667
8 - 3.000000 2.000000 1.000000
 
Les résultats les plus approchant de Calc sont obtenus en float (donc simple précision), étonnant vu que Excel est censé faire les calculs en double précision.
 
Conclusion : le truc est effectivement très simple d'un point de vue math vu qu'on ne manipule que des rationnels.  
Mais il faut pas oublier qu'un ordi ne sait pas manipuler des rationnels, il ne connait que la virgule flottante avec plus ou moins de précision, d'où les résultats bizarres.

Pas de problème sur Excel, pour ne plus voir affiché "7" il suffit d'afficher plus de chiffres significatifs, d'ailleurs comme dit, tu as 15 décimales de précision et combien en comptes-tu dans ton nombre ?
Mais oui la limitation du nombre de bits attribués pour définir un nombre est un problème connu en informatique.

C'est la suite de Calkin-Wilf
https://fr.wikipedia.org/wiki/Arbre_de_Calkin-Wilf
 
J'ai pas compris votre problème, avec Mathematica en calcul "exact" je trouve bien u(127)=7
 
et u(1081)=53/37 comme sur Wikipedia
 

 

Ah oui c'était mal expliqué, il faut bien trouver 7 et non 6,999... puisque c'est censé correspondre à l'inverse de 1/7. Et déjà à la 64ème itération ça ne fonctionne plus puisque ça retourne 6,000..2 sur Excel.
Et en effet en nombre à virgule flottante 64 bits on peut aller jusqu'à 9e15 en gros dans le mantis soit 14 chiffres significatifs certains, et donc uniquement 13 décimales certaines.

 
 

 
pour le lolz faudrait tester avec du langage formel, ça devrait mieux marcher

 
 
2 posts au-dessus

Hello
J'essaie de retrouver la formule pour le calcul d'une rente viagère, qui progresserait à un taux r

Si la rente ne progresse pas, c'est simple : même formule que pour un calcul d'annuité d'emprunt :
Capital Départ : C
Taux de placement annuel du capital : i
Nbre années : n
Rente : a

a = C x [ i / (1 - (1+i)^-n) ]

Mais si la rente a progresse à un taux annuel de r, comment cela modifie t il la formule ?

J'ai tenté de remplacer i par un taux T = i - r
Mais ça marche pas  

Exemple :
C = 1 000 000
n = 17
i = 2.5%
r = 0%

a = 72 927.77
En partant d'un capital de 1M€, si on le place chaque année à 2.5% et qu'on retire chaque année en fin de période 72 928€, on arrive à 0€ de capital au bout de 17 ans.

Et si la rente se revalorisait de 1% par an, la rente de l'année 1 serait de 67 664.80, et monterait de 1% par an, jusqu'à une rente de 79 342€ l'année 17   (trouvé en faisant un tableau Excel)

En bidouillant, j’ai trouvé le truc suivant, pour calculer la 1ere rente de l’année 1 (qui croîtra ensuite au taux r).
 

Problème:

Traduction:

C'est tiré d'une anecdote sur John von Neumann, dont le cerveau est considéré comme le plus rapide par les gens qui l'ont rencontré, et parmi eux, il y a nombre de scientifiques de grand renom. Par exemple son professeur George Polya:

 
 (solution ci-dessous):

 
Il avait aussi une mémoire parfaite. A 6ans, il converse en grec ancien, fait des divisions de nombres à 8 chiffres de tête, à 8 ans, il a mémorisé les 44 volumes de l'Histoire Universelle de Wilhelm Oncken et lu l'essentiel de la grande bibliothèque familiale.

 
Deux articles lisibles de J. von Neumann
The General and Logical Theory of Automata (1948)
Can we survive technology ? (1955)

A noter qu'en 1955, il écrivait ceci dans le 2e article:

Il est cependant assez loin de la réalité dans ses prédictions dans le reste de l'article, avec le peu de données scientifiques de l'époque en matière de science climatique, science qui n'existait pour ainsi dire pas.

 
En 1896 Arrhenius argumente que la quantité de CO2 rejetée dans l'atmosphère par l'industrie est comparable à la quantitée captée depuis toujours par processus naturels


https://blogs.bl.uk/science/2016/12 [...] rming.html
 
 

Ola ici    
 
Où puis-je trouver la démonstration de la formule a²=b(b+c) ?
 

Des triangles rectangles ?

Je n'en vois pas sur la figure ci-dessous.  

Et CD n'est pas un diamètre du cercle.

[edité]

On doit pouvoir se débrouiller avec les 4 triangles. Ah non en fait, avec les édits.

Et je pensais que DC formait un diamètre.

On est d'accord que AD est tangent au cercle ?

Faut préciser les hypothèses.

Oui, AD est tangent.  

Bah dans l'exercice que je regarde, on en précise pas plus.
Et je pense justement que c'est un problème.
Il manque l'information essentielle que CD est un diamètre du cercle, non ?

Si CD est le diamètre, alors ma démo (celle que j'ai effacée) marche bien.  

 
 
oui. Si la droite BC est quelconque, il est facile de se convaincre que la formule est fausse.

Je me disais aussi.  

Tu le vois facilement:
 
- soit en prenant un exemple quelconque
- soit en remarquant que la longueur a est totalement indépendante des longueurs b et c si la droite BC est quelconque

Puissance d'un point par rapport à un cercle ...
 
Les triangles ADB et ACD sont semblables (on voit ça avec des angles égaux, utiliser des angles inscrits égaux), puis proportionnalité des côtés correspondants

si c'est que une corde tu peux avoir la corde et la tangente parallèle

Je vois pas trop en quoi ils seraient semblables. Il y a une paire d'angle égaux, mais tu n'en as pas de deuxième (pas d'angles interceptant le même arc...)
C'est le cas si [CD] est un diamètre, et dans ce cas même pas besoin des angles inscrits.

Les deux triangles ont déjà un angle égal, A.
Ensuite, l'angle C de ACD et l'angle D de ADB sont égaux (ils interceptent l'arc de cercle BD).
Pour l'angle D, c'est un angle inscrit dont un côté est tangent au cercle.
Donc deux angles égaux, les triangles sont semblables.