Reprise du message précédent :
Bah y'a plus fastoche encore

Hello. Je bloque sur un exo d'optimisation:
Soit E un e.v.e, f : E-> R. On considère un point x* tel que :  
- f deux fois différentiable au voisinage de x*
- Gradient de f nul en x*
- Hessien de f positif au voisinage de x*
 
Montrer que x* est un minimum local de f.
 
J'ai essayé de raisonner par l'absurde, puis faire un DL à l'ordre 2, par contre je vois pas où utiliser l'hypothèse de positivité
 
Je suis preneur d'idées

ton DL d'ordre 2 donne quoi ?

En reprenant la démo page 8 du PDF suivant :
https://who.rocq.inria.fr/Jean-Char [...] /04-co.pdf
J'arrive à la conclusion en adaptant simplement l'hypothèse absurde, et en utilisant la positivité seulement en x*, par sur un voisinage
On construit une suite (x_k) qui converge vers vérifiant f(x_k) < f(x*)
Le DL 2 : f(x_k) = f(x*) + 1/2f"(x*)(x_k-x*)² + o(||x_k-x*||²) < f(x*)
d'ou: 1/2f"(x*)(x_k-x*)² + o(||x_k-x*||²) < 0
On pose d= lim (x_k-x*)/||x_k-x*||² (si la limite n'existe pas, on peut prendre sous suite convergente, vu que (x_k-x*)/t_k est contenue dans la sphère unité)
On divise par ||x_k-x*||² et en faisant k->+oo on trouve :
1/2f"(x*)d² < 0 .
Ce qui est absurde vu que f"(x*) est positive, donc x* est un minimum local.
Bref j'utilise pas toutes les hypothèses
 
edit : Apparemment le résultat est immédiat avec Taylor-Mac Laurin. Reste que je vois pas le soucis dans mon truc

J'adore vous lire, on n'y comprends que dalle et c'est tout marrant que vous vous compreniez entre vous

http://www.opensource.apple.com/so [...] tel/atan.c
C'est pas diviser pour régner, c'est juste qu'ils adaptent le DL selon la valeur de l'argument, my bad.

Le souci vient de la partie que j'ai mis en gras.
Le passage à la limite conserve les inégalités larges, pas les inégalités strictes.
Du coup, tu as montré au mieux 1/2*f"(x)*d² <= 0
Et si la hessienne est nulle, ben l'inégalité est pas une absurdité.

Un exemple 1D, c'est x->x³ en 0, sa dérivée est nulle, et sa "hessienne" est nulle (donc "positive", mais non définie), mais 0 n'est pas minimum.
En fait, si t'es à un point ou la hessienne perd sa positivité, t'es pas forcément à un minimum.

Pour le démontrer correctement par contre...
 
P-e reprendre ton raisonnement et la même suite, et cette fois essayer de montrer que la hessienne en x_k n'est pas positive.
Tu peux p-e prendre le DL de f(x_k), transformer la partie gradient (qui n'est pas forcément nulle en x_k du coup) en o(||x*-x_k||), et essayer de combiner ça avec le DL en x* pour montrer que 1/2*f"(x_k)*e² < 0 ? (e étant un certain vecteur)
 
Dit comme ça je sais pas si ce sera simple

 
 
Ton résultat est quasi évident si tu connais quelques résultats de convexité : tout point critique d'une fonction différentiable convexe définie sur un convexe d'un EVN est point de minimum global :
Tu te places sur une boule B centrée en x* où la hessienne de f est positive (B existe par hypothèse)

• B est un convexe.
• x* est un point critique de f car son gradient est nul en x*.
• f est convexe sur B car 2 fois différentiable+hessienne positive sur B.

À partir de là le tour est joué. Reste à savoir si tous les résultats utilisés sont supposés connus de ta part ? Sinon faut les démontrer ou trouver autre chose.
 
++

Ah en effet, merci beaucoup
 

C'est bien mieux comme ça, merci  
J'ai aussi vu une démo qui utilise un développement de Mac-Laurin : On se place sur une boule centrée  B en x* ou f" >= 0 .
Et pour tout vecteur h tel que x* + h € B, il existe t € ]0,1[ tel que
f(x*+h) = f(x*) + 1/2*f"(x*+th)h² >= f(x*) en utilisant la positivité de la Hessienne

De rien, ça m'a donné une excuse pour ouvrir mon Rouvière.
 
Je pense que c'est ce qu'avait en tête l'auteur du pdf que tu as linké plus haut : on peut faire plus court (une hessienne (définie) positive doit "forcément" faire penser à de la convexité), mais il veut utiliser une suite (plus dans l'esprit de son cours je suppose).
 

 
D'une manière générale, les démo de calcul diff concernant les extremums, c'est (souvent) à base de : "je développe au voisinage d'un point critique et je regarde".
 
++

Y-a-t-il quelqu'un qui sache expliquer simplement ce qu'est un ensemble de Cantor ?  
 
C'est présenté dans une nouvelle de Greg Egan et je pige pas super bien le truc

Tu prends l'ensemble [0;1], tu le découpes en trois : [0;1/3], [1/3;2/3] et [2/3;1], tu enlèves la partie du milieu, tu as [0;1/3] U [2/3;1]
Et tu recommences à l'infini avec les nouveaux segments ainsi formés. L'ensemble que tu obtiens à après une infinité d'opérations est l'ensemble de Cantor

Edit : image :

Merci beaucoup ! Très clair

tu écris les nombres de [0, 1] en base 3. L'ensemble de Cantor est ceux qui s'écrivent sans 2.

Sans 1 tu veux dire ?
(moi je compte 0 1 2 en base 3)

oui

oui bien sûr.

 
sleef est plus rapide que l'implementation standard. En prenant en plus la version sse/avx sleef est beaucoup plus rapide.
http://freecode.com/projects/sleef
 
Pascal

Hello,
C'est quoi la méthode pour déterminer la proba d'un écart entre deux variables aléatoires qui suivent la même loi normale ? Niveau Bac+2... Je coince. Disons pour simplifier que la loi est centrée réduite, je pense que ça a peu d'importance.

Hello,

Tu veux déterminer la loi de X-Y avec X Y iid N(0,1) ?

La méthode générale pour déterminer la loi d'une variable construite à partir de variables dont tu connais les lois respectives s'appuie sur le fait qu'une v.a. Z a pour loi P ssi pour tout f mesurable positive E[f(Z)] = int (f(z) P(dz)).

On utilise en général cette propriété dans le sens : je calcule E[f(Z)] pour un f quelconque, j'essaie de l'écrire sous cette forme intégrale, et j'identifie la loi P.

Ici, ton Z, c'est X-Y. Donc tu considères une fonction borélienne f et tu regardes E[f(X-Y)] :

(j'oublie les constantes pour ne pas encombrer l'écriture)

On a E[f(X-Y)] = int_R^2 f(x-y) exp(-x^2 - y^2) dx dy

Le but du jeu c'est d'écrire ça comme int_R f(z) g(z) dz, et on pourra alors identifier g comme étant la densité de X-Y.

Le changement de variable qui apparaît comme naturel est x-y, x+y, la partie en x+y tu vas pouvoir la calculer et sortir une constante et la partie en x-y restera sous l'intégrale et tu pourras faire l'identification

 
Oui !
 
Merci. Intuitivement j'avais pensé à une intégrale double.
Ceci dit, je sais pas ce qu'est une fonction borélienne, mon cursus est pas centré sur les maths, le mot apparaît une fois dans le cours et basta.
Souci également pour repasser de l'intégrale double à simple. T'as affaire à un noob certifié  
Mais j'ai pigé le déroulement, c'est déjà ça  

Borélienne ça veut dire mesurable pour une fonction à valeurs dans R muni de la mesure de Lebesgue (aka mesure borélienne).
 
Bref, tout ce qui importe c'est que t'as le droit de faire des changements de variables comme tu en as l'habitude avec des intégrales de Riemann.
 
Pour le changement de variable : tu écris x² + y² = 0.5 * ( (x+y)² + (x-y)² )
 
Le jacobien de (x,y) -> (x-y, x+y), c'est 2, donc tu peux réécrire l'intégrale :
 
1/2 * int_R² f(u) exp(-0.5 * (u² + v²)) * du dv
 
Là tu peux séparer l'intégrale, et complètement calculer la partie en v, il te restera cst * int_R f(u) exp(-0.5 * u²) du et tu peux voir ici que ta variable est une gaussienne avec les paramètres qui vont bien.
 

Salut, même les changements de variables c'est pas à mon programme, j'ai dû en faire un peu voilà longtemps mais bon...
En fait la solution était super simple, suffisait de calculer l'espérance et l'écart-type de la loi correspondant à Y=X2-X1, du coup on obtient la loi correspondante.
Ensuite faire la proba de (|Y|>écart).
 

Oui si tu pars du fait que X - Y est gaussienne c'est plus simple

En même temps, il part de la loi normale centrée.
L'opposée de la LNC, c'est la LNC, donc en fait il fait juste la somme de deux N(0,1)

Ok mais j'ai rien supposé et redémontré que la gaussienne est stable linéairement !

tant qu' on y est, on peut supposer le résultat de l'exercice connu

Dans l'exo elle était pas NC... Mais ça ne change rien.
Puisqu'il nous suffit de l'espérance et de la variance pour définir une loi normale, truc tout bête à se rappeler à l'avenir     (après, mon programme maths, c'est très appliqué hein)

Comment tu crois qu'il font dans l'industrie

Bijour,
j'ai un soucis d'indices lorsque j'essaye de balancer un problème de logique pourtant simple dans matlab.

J'ai une matrice M nx2.

Je dois faire n*(n-1)/2 opérations (c'est une fonction personnelle cette opération) sur cette matrice et conserver le résultat dans une matrice R kx2 ou k=n*(n-1)/2.

Je dois conserver l'ordre (=lignes de la matrices R) dans lequel je fais les opérations et elles se font comme cela :

1ère opération : 1ère ligne de la matrice avec la 2ème.
2ème op. : 1ère ligne avec la 3.
3ème : 1 & 4
...
n-1ème : 1 & n
n-ème : 2 & 3
n+1 ème : 2 & 4
...
2·n-3 ème : 2 & n
...
etc. jusqu'à la dernière opération avec la ligne n-1 et n.

ça ressemble fort aux nombres triangulaires, je vous l'accorde, d'ailleurs, avec une matrice 4x2 par exemple, on peut schématiser les opérations à réaliser dans un tableau comme ça :

La 1ère ligne est utilisée dans le traitement avec la 2,3 et 4ème. La seconde avec la 3 et 4, et la 3ème avec la 4ème.
Bref.

On pourrait aussi imaginer stocker le résultat non pas dans une matrice en 2D, mais dans un "cube", aux positions d'indices correspondants à chaque fois aux paires de lignes traitées et "trouver la combine" pour le retour en 2D après... mais ça, je n'ai pas exploré, c'est juste une piste que je lance, si ça vous parle davantage...

Thanks !

mon code ressemble à cela si jamais :

sauf que je bûche sur l'expression à mettre à la place des ????? et s'il y a moyen d'avoir ça sous forme matricielle, i.e. sans boucle(s) for ce serait cool, mais je doute que ce soit possible à cause de mon traitement perso' à faire sur les paires de lignes de ma matrice de données initiales...

De ce que j'ai compris, ta fonction opération perso te renvoie un vecteur, non ? (de taille 2 j'imagine)

Je pense que ton idée de faire un cube est la plus simple niveau écriture, même si non optimal niveau espace (tu utiliseras moins de la moitié du cube), auquel cas :
Tu fais

Ou d est la dimension du vecteur que tu renvoies operation_perso (vu que tu dis que R est de taille kx2, j'imagine que d=2 ici).

Sinon, je pense que la formule que tu veux est n*(n-1)/2 - (n-i+1)*(n-i)/2 + (j-i) :

Pour reprendre ton schéma de tableau de résultat :
n*(n-1)/2 - (n-i+1)*(n-i)/2 correspond pas à la somme des "lignes" précédentes (en fait, c'est sum( (n-1) : (n-i+1) ) )
+(j-i) correspond à l'indice du à la ligne actuelle.

Ce que tu voulais en fait (si j'ai bien compris ton problème), c'est juste la formule qui a i et j associe un ordre quand on parcourt la partie supérieur d'une matrice carrée :

Je pense que c'est juste, mais fait un débug sur un cas simple (genre n=4) pour vérifier que ça récrit pas sur des anciennes valeurs ou que ça ne laisse pas de zéros.

PS :
Pense à pré-allouer tes matrices avant la boucle si tu connais déjà leur taille finale, Matlab ira plus vite.
(Me semble qu'il fragmente les données quand tu ne le fais pas)

PS2 :
Après, tu peux aussi juste faire un compteur k et incrémenter.
Par contre, tu auras effectivement besoin de la formule si tu veux accéder aux résultats à partir de i et j sans passer par une boucle.

Salut, je cherche un bon cours d'optimisation sur les moindres carrés, regression linéaire, et ce qui touche au sujet.
Je cherche aussi une librairie C/C++ pour faire de l'algèbre linéaire (inversion de matrice, calcul de valeur/vecteur propre).
Des recommandations ? (j'ai entendu parler d'eigen3 et d'armadillo).

Marc Yor est mort
 
http://www.academie-sciences.fr/ac [...] r_Marc.htm

drap

 
Osef donc

Up
Qqun a une idee de demonstration de :
Soit x,y € R3, soit A un endo de R3.

J'ai une demo bourrin, mais je voudrais voir si y a une demo qui donne plus de sens au resultat...
Thx

Tu peux taper ça en LaTeX parce que je ne comprends pas l'énoncé, là...  

Edité

Le problème est linéaire en A donc il suffit de montrer la formule pour les matrices avec un 1 quelque part et des 0 ailleurs.

EDIT: En faisant le calcul je ne suis pas certain que ce soit beaucoup plus rapide que de faire le calcul directement ...

Soit A \in L(R³), tu poses

\phi : (R³) ³ \to R
(x,y,z) \mapsto [x,y, Az] + [x,Ay,z] + [Ax,y, z]    où [ . , . , . ] désigne le produit mixte.

\phi est trilinéaire alternée et vaut Tr(A) [x,y,z]

Tu conclus en te rappelant la définition du produit vectoriel :  [a,b,c] = a \cdot (b \wedge c) et la définition de l'adjoint (la transposée).