Reprise du message précédent :
Soit A \in L(R³), tu poses

\phi : (R³) ³ \to R
(x,y,z) \mapsto [x,y, Az] + [x,Ay,z] + [Ax,y, z]    où [ . , . , . ] désigne le produit mixte.

\phi est trilinéaire alternée et vaut Tr(A) [x,y,z]

Tu conclus en te rappelant la définition du produit vectoriel :  [a,b,c] = a \cdot (b \wedge c) et la définition de l'adjoint (la transposée).

 
 
J'aimerais bien savoir trouver ce genre de demo seul...
Je bug des qu'il s'agit de demontrer des formules a base de produit vectoriel...

J'étais parti bourrinement sur des calculs avec des tenseurs de Levi-Civitta... et puis, j'ai commencé à réfléchir  et ça a le mérite d'être largement moins crado.  

Je crois avoir bossé sur un de ses livres (de probas bien sûr).  
 
R.I.Probabilities.  

Salut
 
Dans la toute première question de ce corrigé, lors de la dernière opération pour rendre la matrice triangulaire, ils échangent L2 et L3, et je comprends pas pourquoi.
 
Quand on arrive à :
 
1  0  −α
0 −α  a^2
0 −1  a^2 + (1 − α)α
 
Moi je fais αL3-L2, ma ma matrice est triangulaire, et j'ai à ce moment là 0 en valeur propre, alors que le corrigé ne propose que 1, a et -a (que j'ai aussi).
 
Merci d'avance de vos éclairages.

 
comment tu fais pour avoir 4 VP sur une matric de taille 3?
ton terme 3:3 est a,
on voit alors que L2=a*L3
tu t'es pas gourré?
c'est quoi la matrice de départ
sinon demande à wolframalpha

Ouais je sais que je me plante (j'ai un autre corrigé) mais je vois pas où (je hais ce genre de calculs).
 
La matrice de départ c'est la matrice A(a) au début du corrigé.

mais qui choisis les notations
j'avais pas capté qu'il y avait du a et du alpha..
du coup ce que tu fais ne donne pas 0 comme VP
ton opération donne 1, -alpha, et le même polynôme en a et alpha que le corrigé
donc tu aurais un problème si alpha est nul.
mais en fait tu n'as pas le droit de faire ton opération si alpha est nul, donc tu trouves pas vraiment ce qu'il faut.
a peut prendre n'importe quelle valeur réelle?
 
 
mais bon concrètement ce qu'ils font c'est calculer le polynôme caractéristique, rien d'autre, tu peux très bien retrouver ça en bourrinant le calcul

oui, a est dans R.

Mais j'avais pas pensé que si alpha est nul, on peut pas faire l'opération, donc ça explique pourquoi il inverse L2 et L3. Merci de ta réponse, ça me rendait fou (enfin presque).

J'ai un problème en théorie des graphes (bon, c'est plus maths applis que de l'info, donc ça devrait passer ici ), je crois que j'ai une erreur dans un des papiers que je lis.

On prend un graphe G, soit V={x} la liste de ses sommets, E={[x,y], x,y dans V} la listes de ses arêtes, chaque arrête ayant un poids : l([x,y]).
Soit f une fonction de V vers R.

On définit l'opérateur linéaire d, qui à une fonction V->R associe une fonction E->R :
d(f)([x,y]) = f(x)-f(y)/l([x,y])
(En gros, d correspond un peu à une version discrète de la "différentielle" de f, en fait d'un gradient vu que f est à valeurs réelles)

L'article en question (lien ici, il explique mieux tout ce que je raconte) dit que l'opérateur adjoint de d : δ, qui à une fonction E->R associe une fonction V->R, est le suivant :
δ(φ)(x) = 1/(Σ l([x,y]) ) * Σ_{[x,y]€V}  φ(x,y)    (en gros, les sommes portent sur les sommets voisins de x).

Sauf que si je prends l'adjoint au sens matriciel (transposée), je trouve :
δ(φ)(x) = Σ_[x,y]€V  (1/l(x,y))  * φ(x,y)

Et physiquement, ça a plus de sens, vu que la deuxième correspond plus à l'idée de version discrète de la "divergence" (sachant qu'en continue, la divergence est l'opérateur adjoint du gradient).

Ou alors je me gourre qqpart ?

SOLVED :
Bon comme un gros mauvais, j'avais oublié de tenir compte du produit scalaire...
Thx mookid

Hello  
Petite question d'EDP : si on considère le problème  

Une formulation variationnelle de ce problème est  

On montre l'existence d'une solution u avec Lax-Milgram, puis l'égalité dans L² par un résultat de densité, si u est dans H².
Mais le Laplacien reste pris au sens faible, non ? A priori, rien ne nous garantit l'existence de vraies dérivées secondes pour u ?

Tu as l'existence d'une solution forte si tu supposes f continue. Comme f est dans L², u est dans H² et donc il existe un unique représentant (pour la relation égalité presque partout) continue de u dans H², que l'on note aussi u par abus. Par continuité de f, on en déduit que u est C².
Et enfin dernière argument, une solution faible C² de ton problème est une solution forte (ie u vérifie l'équation partout et avec les "vraies" dérivées seconde). Cela se fait par intégration par partie.
 
Si tu as le Brézis à portée de main, tout est bien expliqué

Merci beaucoup Dans le problème posé, on supposait seulement f dans L².

Ok

Petite autre question en passant : si on a u dans H1 (ou H0,1), à priori ça n'a pas de sens de parler du Laplacien de u non ?

Si on dit u dans H0,1, et on regarde u'', oui ça n'a pas de sens. Par contre quand on dit u dans H0,1 solution de -u''=f et u=0 sur la frontière du domaine, cela signifie que u est une solution faible ie solution du problème variationnelle du problème associé. Et donc dans ce cadre, seul u' intervient (et tout est cohérent puisque on est dans H0,1 ie u' est bien définie).
On suppose implicitement que l'on considère le problème variationnel associé où seul u' intervient.
 
Après quand on cherche à résoudre le problème avec f dans L2, on se rend compte qu'en fait u est dans H2 et donc u'' a en fait bien un sens.

Une question à la con :
Rebossant (plaisir perso) la théorie de Galois, je pars dans un délire que je sais faux mais dont je n'arrive pas à identifier clairement le délire.
 
Voulant déterminer une extension de degré 2 de F2 (Z/2Z en tant que corps), j'ai cherché un polynôme irréductible de degré 2 sur F2[X].
 
Comme je l'avais fait à chaque fois dans le passé, j'arrive à P(X) = X²+X+1 et quotiente pour obtenir F2[X]/(X²+X+1) ou F2(a) avec a un élément de la clôture algébrique de F2 tel que a² = a + 1.
 
Et là, le drame ...
 
Tout d'un coup, je me dis que comme pour tout x élément de F2, x² = x, ainsi X²+X+1 = 2X+1 = 1. Ce polynôme n'est donc pas de degré 2, pire, il n'y a pas de polynôme de degré supérieur ou égal à 1.
 
Aidez moi please (ou tuez moi) ...

 
non
c'est fondamental dans les corps finis, le polynôme est différent de l'application polynomiale associée. x²+x vaut 0 en 1 et en 0 donc sur tout F2 mais c'est pas le polynôme nul pour autant

Voilà, +1

Merci (je pensais que c'était forcément cela, mais n'avais aucun point pour appuyer cela). Je savais qu'il fallait faire une distinction entre "polynôme" et "fonction polynôme" (d'ailleurs, je la fait même avec mes 1ères S), mais ne me souvenait pas de cas où celait était aussi décisif.
 
On utilise donc "bêtement" la définition d'un polynôme comme une suite presque nulle avec comme conséquence, deux polynômes sont égaux si et seulement si, les coefficients sont égaux.
 
Encore merci.  

Bonjour,
 
Je voudrais savoir comment démontrer la solution qui résout cette équation :
J'ai trouvé que la solution est x=1 (en faisant une identification) mais je ne sais pas comment mieux le démontré.
 
Merci d'avance

Vu la présence de x et de exp(-x), je pense que le mieux est d'étudier les variations de la fonction f(x) = - exp(-x) + xe^(-1).
 
Tu montres qu'elle ne peut s'annuler en une seule valeur, et comme x = 1 est une solution ...

Ouais mais je veux trouver justement que x=1 est une solution.
Enfin j'ai continué l'équation et je suis arrivé à ln(x) = 1-x.
La c'est flagrant que x=1 est solution. Je pense que ça devrait suffire.

l'astuce, c'est que tu ne pourras jamais isoler x (même après changement de variables (*)), car il est présent aussi dans exp(-x). En passant au ln, tu retrouves le même type d'équation avec ln au lieux d'exponentielle, mais c'est fondamentalement la même chose.
 
D'ailleurs la notion de "flagrant" n'a concrètement pas de sens. Tu le vois peut être plus facilement avec "ln x = 1 - x", mais dire que 1 est solution n'est pas plus "naturel" ou "rigoureux" que de dire que 1 est solution de l'équation de départ.  
 
(*) ou alors un vachement carabiné que je n'ai pas vu.

c'est flagrant en traçant grossièrement (ln x) et (1-x)

 
c'est flagrant que 1 est une solution.
c'est pas évident que c'est l'unique solution. comme dit plus haut une étude fonction doit pouvoir régler le problème

D'accord, merci. Je voulais dire en effet que je le voyais plus facilement avec la seconde équation. Et en traçant les deux courbes, plus aucun problème.
Merci encore de votre aide.

Là, c'est juste le cas particulier qui va bien, mais y a pas de solution ou méthode générale j'imagine, pour résoudre des équations non linéaires à base de fonctions transcendantes. (enfin p-e un truc à partir des DSE ? J'en sais rien )

http://www.insee.fr/fr/insee-stati [...] s-2011.pdf

Pour la question 1)c) de la partie préliminaire du problème 2, il faut utiliser le fait que x+(1-x)ln(1-x) est une primitive de -ln(1-x)? Si oui, est-ce que je peux dire qu'en "primitivant" la série de terme général x^k/k, je trouve bien la série demandée ?

Enfin je crois avoir trouvé mais je sais pas trop comment rédiger quoi.

Perso, j'aurais plutôt utiliser l'égalité au dessus et manipuler les sommes
Mais j'ai pas fait de maths depuis longtemps

Qqun a un papier, cours, whatever qui élabore un peu sur le sujet du laplacien vectoriel ?
L'article wiki et la plupart des liens disent juste que c'est le laplacien appliqué à chaque coordonnée :
ΔA = (ΔAx, ΔAy, ΔAz)
 
J'aimerais avoir une définition, une approche, ou une explication ou whatever qui donne une meilleur idée de à quoi ça correspond "physiquement", sans passer par un système de coordonnées particulier.  
D'autant plus qu'avec la formule en gras c'est pas évident que l'opérateur vectoriel est indépendant du système de coordonnées.
Un truc similaire à div.grad pour le laplacien scalaire.
Thx

c'est pas très compliqué à rédiger : tu prends l'intégrale de 0 à x de l'inégalité précédente (avec x dans [0,1[), et tu utilises un résultat d'inversion somme-intégrale en vérifiant bien les hypothèses, et hop

Hello Demoderateur, je n'ai pas de papier mais en coordonnée cartésienne le laplacien vectoriel se définie comme le nabla² appliqué au champs de vecteur, donc rien de nouveau par rapport à wikipedia. Qu'est ce que tu ne trouves pas claire dans cette définition ?

Physiquement, le laplacien d'un champs de vecteur se retrouve dans des équation du type équation de stokes pour les écoulements rampants (plus généralement navier stokes), ou alors équation des ondes électromagnétiques, plus simplement, dans une équation de poisson pour un champs de vecteur... Te dire à quoi il correspond physiquement revient à faire la physique qui permet de trouver une équation avec laplacien. Je te propose un exemple qui est celui de l'équation de stockes :

L'équation de navier stokes s'écrit en gros : soit V un champs de vecteur :
\frac \partial V \partial t + grad V. V = grad P + \nu \laplacien V

Dans le cas ou l'écoulement est trés lent, c'est à dire rampant, et stationnaire, alors on peut simplifier l'équation comme :

grad p = nu laplacien V

En gros il s'agit d'un équilibre entre des forces de pression, et les contraintes visqueuses du fluide exprimées à travers la vitesse, et qui via une loi de comportement de fluide newtonien et de l'hypothèse d'incompressbilité, nous donne un laplacien de V. Ce laplacien de V est vu comme un terme de diffusion, au même titre que la diffusion de la chaleur, il s'agit de la diffusion d'un champs de vitesse, et les effets de diffusions sont prédominants à faible vitesse : La dérivée convective gradV.V peut être négligée.

En modélisation mécanique le laplacien apparaît pour une raison simple, mais qui n'a rien de mystique : équation d'équilibre locale d'un milieu continu + relation de comportement. Je vais faire un bref résumé de la façon dont on les obtiens

Quantité de mouvement d'un element de matière :

Force surfacique + Force volumique = m acc

on étends alors l'équilibre de la mécanique du point, à l'équilibre d'un élément de volume par l'introduction de force surfacique T et de force volumique f_vol

T ds + f_vol dv = rho acc dv

après intégration nous avons

int T ds + int f_vol dv = int rho acc dv

cauchy nous dit que pour un élément de volume, les force surfaciques peuvent s'écrire comme l'application S.n ou n est la normale extérieur à ton domaine (qui peut être ton fluide, ton solide, la chose dont tu étudies l'équilibre), et S une matrice aussi appelé tenseur des contraintes de cauchy

T = S.n

par application du théorème de la divergence pour passer l'intégrale de surface ds sur le volume dv

int [div(S) + f_vol] dv = int rho acc dv

d'où les équations d'équilibre locales

div ( S ) + f_vol = rho acc

ou S est une matrice 3x3 quand on est sur un système physique où tout point x = (x1,x2,x3) appartient à un ouvert de R³, f_vol un champs de vecteur, la version continua de l'accélération de la mécanique newtonienne, et dont l'expression diffère selon un point de vu lagrangien ou eulerien (en gros est ce que tu es dans la voiture, ou est ce que tu regarde les voitures passer), donc je ne développerai pas.

Pour un équilibre statique (pas de terme accélération) nous avons

div (S) + f_vol = 0

pour un fluide, S = -p Id + Tau
p Id est le tenseur de pression, et Tau la contrainte visqueuse.

Par ailleur, en vertu de la thermodynamique des processus irréversibles, on peut dire que Tau est proportionnelle au gradient de la vitesse (Pour les puristes, j'ai fait un gros raccourcis, je sais, mais dans l'essence, c'est ça).

On a donc div( -p Id + tau) + f_vol = 0
div ( - p Id) + div (tau) + f_vol = 0
et on a à peu pres :
div (- p Id) + div (k grad V) + f_vol = 0

on y est, on supposant que k est constant, alors nous avons un div grad V qui nous donne un laplacien de V.

Exemple avec l'équation de la chaleur :

On peut de la même façon faire un bilan de chaleur, qui nous mène vers une équation d'équilibre statique du type :

div(q) + flux_vol = 0

la loi de Fourier nous dit, de même en vertu de la thermodynamique des processus irréversibles,

q = -k grad T, on suppose le milieu isotrope et homogène et donc k n'est qu'une constante.

on a alors  div ( - k grad T) + flux_vol = 0

ce qui nous donne : - k Laplacien T + flux_vol = 0

Bien sur, T ici est un champs scalaire, alors que pour la mécanique des fluides, V était un champs de vecteur.

Ce qu'il faut retenir ici, c'est que l'apparition du laplacien dans un grand nombre de modélisation de phénomènes physiques en équation de champs, se fait à partir d'un div(grad X). Le div vient souvent d'une équation d'équilibre de type milieu continu, et le grad vient souvent d'une relation de comportement qui relie une "force" au sens thermodynamique à un flux.

Maintenant une petite liste d'équation de champs avec laplacien venant d'un équilibre et d'une relation de comportement :

Equation de déformation d'une membrane (champs scalaire )
Equation de vibration d'un solide élastique (champs vecteur )
Equation d'écoulement d'un fluide visqueux (champs de vecteur )
Equation des ondes accoustiques (champs de scalaire ou vecteur)
Equaton des ondes electromagnétique
Equation de diffusion de la chaleur, de diffusion de masse et tout autre processus de diffusion pouvant être modélisé thermodynamiquement.

On peut montrer que les équations de maxwell ont une structure conservative, et elles donnent par combinaison des équations d'onde, elle rentre donc dans le cadre équilibre-comportement de façon implicite.

D'autres équations qui ne sont pas issus du div(grad) comme précédemment

L'équation de schrodinger contient un laplacien, et vient d'un bilan d'énergie (donc encore une équation de conservation/d'équilibre). Mais son obtention n'est pas aussi simpliste que la démarche précédente c'est à dire équilibre-comportement

L'équation de black&scholes, je ne sais pas comment elle à été obtenu, mais peut être amenée à une équation de diffusion classique par changement de variable.

C'est une question d'ordre des opérations en fait , pour moi, laplacien c'était deux fois l'opérateur nabla.
nabla sur un champ scalaire, c'est le gradient.
nable sur un champ vectoriel, c'est la diffusion.
Donc j'avais dans l'idée qu'un opérateur nabla² sur un champ vectoriel devait être grad.div

Bon, si on prend nabla² au sens produit scalaire de deux nabla, ça a plus de sens, certes

Merci pour ton post et tes exemples physique de mécaflu , mais y a précisément là ce que je comprends pas :
Comment tu fais pour prendre des grad de champs scalaires ?
(Et accessoirement, c'est quoi la divergence d'une matrice ?)

Enfin j'ai l'impression que pour comprendre, faut faire des tenseurs...

Sans rapport, mais tu fais quoi comme études/travail ?

Bonjour à tous.
 
J'ai le souvenir d'une anecdote qui ressemblait un peu à ça :

Pouvez vous me donner la démo du fait qu'une proposition fausse induit tout ?
 
D'avance, merci.

(A=>B) équivaut à (nonA ou B). Par conséquent, dès que A est faux, (nonA) est vrai et par suite (nonA ou B) est vrai et de même pour (A=>B), et ce quelle que soit la proposition B.
 
++

Pas compris en quoi A=>B était équivalent à [nonA ou B]. Ca voudrait dire que toutes les propositions vraies sont équivalentes, non ? Vu que si A et B sont vraies, nonA ou B est vrai et donc A=>B est vrai, l'inverse aussi par symétrie de la partie en gras.

Dans le premier sens de l'équivalence :

Deux possibilités :

Si A, alors B.
Si nonA, bah on en sait rien mais on s'en fout.

Donc au final, nonA ou B

Et le match retour, on suppose nonA ou B :

Si A, alors non(nonA), donc B.

OK merci à vous deux

 
Tu as peut être déjà la réponse mais la divergence d'une matrice (donc d'un tenseur d'ordre 2) ça donne un vecteur.
 
C'est des souvenirs de mes cours de MMC, ça remonte à loin, t'auras effectivement plus de détails dans un cours de calcul tensoriel.