Reprise du message précédent :
Sans avoir à donner de sens mathématique aux unités, tu peux t'en sortir en faisant toute la physique avec des grandeurs adimensionnées (toute équation physique peut se réécrire avec uniquement des objets sans dimension), et tu laisses le soin au physiciens crados de remettre les facteurs dimensionnés qui vont bien à la fin du calcul

d'un point de vue mathématique, ce qui empêche d'additionner des choses de dimensions différentes, c'est que c'est absolument lié à l'unité que tu utilises.
 
mettons que tu t'autorises à additionner 1 m + 1 kg. très bien, tu obtiens 2. et maintenant, que devient le résultat si tu choisis de raisonner en km et en g ? impossible à dire sans connaître les grandeurs de départ
 
à l'inverse, si tu fais 1 m * 1 kg, tu obtiens un résultat que tu peux convertir dans une unité différente quelles que soient les grandeurs de départ.

Il n'y a pas trop de point de vue mathématique dans ton explication, au sens où un mec qui ne connait rien d'autre que les maths te dirait «qu'est-ce que tu appelles "les unités" ?» Il faudrait définir les unités en tant qu'objet mathématique et dire ensuite qu'on ne définit pas de loi de composition (ou du moins pas d'additivité) sur des ensembles dont les éléments n'ont pas les même unités.

c'est plus pragmatique que mathématique, certes. mais j'ai jamais vraiment vu de formalisme associé aux histoires d'analyse dimensionnelle (le truc qu'on voit en physique avec les [M], [L], etc, je pense pas que ça compte ), mais j'imagine qu'on pourrait en faire un assez facilement, et l'exemple que je donne est une illustration d'une opération qu'on ne peut pas définir si on veut conserver certaines propriétés.

je sais plus, je me rappelle juste avoir fait des machins dans le genre dans ma jeunesse, et ça m'avait semblé très enfonçage de portes ouvertes

Bonsoir,

J'aurai besoin d'aide ou d'indice pour un projet en physique sur la marche aléatoire, je ne sais pas si je devrais poster ça ici, dans la partie physique, ou aide au devoir, mais mon problème est plus d'ordre mathématique.
Bref on verra bien

En gros je place un automate au centre d'une salle carré, l'automate se déplace d'une case par tour, et il a autant de chance d'aller vers la droite, que la gauche, que vers le haut, et le bas ! Je place une unique sortie sur un des bords de la salle, et je souhaite connaitre le nombre de tours en moyenne (par la théorie), pour que l'automate sorte.
Au niveau des mesures j'ai réalisé un programme en python qui me fait ça mais j'aimerai confronter mes données à la théorie sauf qu'au niveau de la théorie j'ai beau plancher je ne trouve pas de réponse.
A priori je pense qu'il faut que je me serve de chaine de markov !
J'essaye de m'inspirer de l'exemple qui se trouve sur la page wiki, de reproduire les matrices, mais ça bloque un peu.
De plus les chaines de markov donne des probabilité, moi je n'ai que des moyennes de sortie, cela peut il se traduire par si l'automate met 50 pas en moyenne pour sortir de la salle, la probabilité qu'il soit sortie en 50 pas est de 1/2 ?

Pensez vous qu'il s'agit d'une bonne piste ?

Bon quelques éléments de vocabulaire pour t'aider :
Tu étudies une marche aléatoire simple sur Z^2. Tu cherches la loi d'un temps d'arrêt. Pour avoir cette loi de façon empirique, tu collectes les effectifs de temps de sortie, qui rapportés au nombre d'expériences te donne une approximation des probabilités de chaque temps.

Quand tu parles des effectifs de temps de sortie, tu parles de chaque chemin possible que l'automate peu prendre du début à la fin ? ( je ne pense pas car il y en a un très grand nombre voir une infinité vu qu'a chaque pas est aléatoire)

En gros, tu fais une marche que tu arrêtes quand tu atteints la sortie.
 
Tu incrémentes la case "k" de ton tableau t, si la sortie s'est effectuée en k étapes. Tu recommences un certain nombre N de fois (pas mal grand), et alors t[k]/N sera une bonne approximation de la quantité Proba(temps de sortie = k).
 
L'ensemble des données Proba(temps de sortie = k), c'est ce qu'on appelle la loi de la variable Temps de sortie.

Je crois voir ce dont tu parles, et si c'est ça je l'ai déjà fait !
J'ai fais fonctionner mon programme 10 000 fois, à chaque fois le nombre de pas pour trouver la sortie était différent, j'en fait la moyenne et j'obtiens le nombre de pas en moyenne nécessaire pour sortir de la salle. Sauf que c'est pas une probabilité, mais un nombre !

Seulement cette valeur moyenne a été trouver de manière expérimentale, je souhaiterai la retrouver de manière théorique.

Du coup ce que j'ai compris des chaines de markov, c'est que si je l'adapte à mon probleme, elle me donnera une probabilité de sortie en fonction du nombre de pas que je lui donne, ainsi si mes mesure sont bonnes, ba je rentre les valeurs moyennes que j'ai trouvé, et je pense que je devrais retomber sur 1/2, non ?

Dis moi si je t'ai mal compris.

Tu as bien compris. Ce qui cloche c'est le résultat que tu mets en évidence.
Ton temps de sortie est aléatoire. Il y a plusieurs propriétés à une variable aléatoire, mais la seule façon de ne pas perdre d'information est de garder les différentes probabilités Proba(T=k). Si tu ne calcules que la moyenne, tu n'as par exemple aucun moyen de savoir comment les résultats se dispersent autour de la moyenne...

Le mieux, ce serait de collecter toutes ces (estimations de) probabilités, et de chercher une formule exacte qui les donnent (par exemple, chercher la loi théorique et confronter).

Je suis d'accord sur le fait que je perd des informations en me restreignant uniquement à la moyenne, mais je collecte des temps, pas des probabilités !
Certes les résultats peuvent ne pas tourner uniformément autour de la moyenne (même si je suis tenté de dire que les valeurs se répartiront en forme de gaussienne autour de la moyenne)
 
Oui et une des pistes pour trouver cette formule c'est les chaines de Markov (je crois)

Relis mon deuxième message. Les temps que tu collectes te permettent d'estimer les probabilités dont je parle.

A temps continu la formule est facile. Lorsque tu peux décrire ta dynamique par une équation de Fokker-Planck:

Le MFPT (mean first passage time), noté tau, est donné par:

(C'est l'opérateur adjoint qui agit ici)
Du coup en temps discret, je suppose qu'il suffit de faire la même chose, i.e. inverser la relation matricielle donnée par l'équation maîtresse, en remplaçant la matrice de Markov par sa transposée conjugée

edit: en fait non c'est pas clair, je vais regarder ça.

edit 2: le calcul est là: http://pre.aps.org/abstract/PRE/v75/i2/e021111
MP si tu veux l'article. C'est assez moche, mais pour un domaine rectangulaire ou carré ça se calcule "presque bien".

 
En relisant ton 2ème message ce que je comprend c'est que ma probabilité serait (le nombre de pas pour sortir en moyenne)/(le nombre d'itération réalisé)
Soit pour une salle carré de taille 3*3, j'ai trouver en faisant 10 000 itérations, qu'en moyenne l'automate mettait 34 pas pour sortir.
La probabilité de sortir serait donc de 34/10 000 ?    
 
Je suis pas sur d'avoir bien compris

Non c'est pas ça. Tu comptes sur 10 000 marches aléatoires le nombre de pas qu'il faut pour sortir.
Si pour 34 marches il faut 16 pas pour sortir alors Proba(Temps de sortie = 16) = 34/10 000.

Je vois et je suis d'accord, seulement c'est pas ce que je recherche.
Là tu me donnes une manière de calculer les probabilités de sortie en fonction du nombre de pas (ce que je veux), seulement tu utilises les données récoltées !
 
Je peu pas réutiliser les données vu que justement je cherche à valider mes valeurs expérimentales.
Si mes données sont fausses les probabilités trouvées avec ta méthode ne seront pas bonnes.

Dans ton cas, à temps continu, c'est assez facile en fait.
Il faut écrire la dynamique sous une forme d'équation de Langevin, et trouver l'équation de Fokker Planck associée.

Langevin:

dx/dt=\sqrt{D} \xi(t)
dy/dt=\sqrt{D} \eta(t)

où xi et eta sont des bruits. Bon ici ils ne peuvent valoir que + ou -1 (un  pas en avant ou en arrière), le facteur \sqrt{D} correspond à la taille du saut.

Fokker Planck s'écrit donc comme:

df/dt=D/2 d^2 f/dx^2 + D/2 d^2 f/dy^2

(enfin je passe sous silence le fait que les deux bruits doivent être décorrélés entre eux, etc. voir le développement de Kramers Moyal)

Donc en fait, df/dt=D/2 Laplacien(f), on retrouve bien une équation de diffusion dans l'espace...

Or ça tombe bien, df/dt=L [f], où L est auto-adjoint (c'est un Laplacien, deux intégrations par parties et tu démontres cette propriété). Donc le temps de premier passage est donné par

L [\tau] = -1, où tau dépend donc de x et y, les coordonnées initiales de ton automate. Ainsi, en résolvant cette équation avec les conditions limites adéquates (\tau=0 aux bords), tu trouves ce que tu veux.

À toi de voir si tu peux prendre des systèmes suffisamment grands pour pouvoir approximer ton système réel (discret) par une diffusion à temps continu

Merci pour cette réponse bien détaillé, seulement ça dépasse de beaucoup mes connaissances, donc j'ai quelques questions de notations

Fokker Planck s'écrit bien ainsi ? : df/dt= D/2 * dérivé partielle 2nd de f par rapport à x +  D/2 * dérivé partielle 2nd de f par rapport à y

ton D, est-ce le  "coefficient de diffusion d'Einstein" ?
L [f]  : est-ce la notation pour désigne le Laplacien de f ?
L[\tau] : je ne comprend pas cette notation.

Pour ta dernière remarque, tu veux dire que ça marche bien si la salle est petite c'est ça ?

Par exemple dans une salle comme celle ci ou le 2 est l'automate, les X des parois infranchissables, et les 0 des cases où l'automate est libre de se déplacer : 
[ X  X  0  X  X ]
[ X  0  0  0  X ]
[ X  0  2  0  X ]
[ X  0  0  0  X ]
[ X  X  X  X  X ]
Et il faut rejoindre la case [0;2]  (  du tableau  [x;y]  )

 
Oui
 

 
C'est la variance du bruit en fait
Donc si tu as des sauts de longueur Delta x, alors
, soit D=Delta x ^2, tout simplement.
 

 
Oui. De façon générale, lorsque le système n'est pas simplement soumis à un bruit, il y a d'autres termes dans le membre de droite de la FPE (Fokker Planck Equation), et on note ça avec un opérateur, ici L.
 

 
C'est l'opérateur L appliqué à tau:
 
d^2 tau/dx^2 + d^2 tau/dy^2 = -1
 
Ca va te donner tau(x,y), qui est le temps moyen mis pour atteindre la position x,y en partant de ce que tu définis (conditions "limites" )
 

 
Au contraire, il faut que les sauts soient suffisamment petits par rapport à l'échelle du problème pour pouvoir approximer ça par le continu !

Donc dans une salle un peu plus grande, de taille  9*9 (en comptant les murs)
la sortie est en [0;4], l'automate est au milieu en [4;4], j'ai D=x^2 et je cherche tau(0,4)
Ensuite j'ai : dx/dt=\sqrt{D} \xi(t)     et   dy/dt=\sqrt{D} \eta(t)    avec \sqrt{D} = 1
Après je suis perdu  

Il faut résoudre L[tau]=-1

Tiens, je suis tombé sur ceci: http://lurch.sourceforge.net/about/ c'est pas inintéressant comme projet:

A+,

Bonjour, je cherche des livres sur les mathématiques, niveau master et au delà, pas forcément uniquement des livres de cours, mais aussi des livres qui donnent de l'ouverture, ou qui renforcent ma culture, tous sujets confondus (même si j'ai une préférence pour les sujets style théorie des jeux, des noeuds, des graphes etc. si vous voyez le genre). Y a t'il une bonne librairie sur Paris, à part le Gilbert jeune de Saint-Michel ? Et au cas où, pour feuilleter avant, quelle sont les meilleures bibliothèques s'il vous plaît ?
 
Je vous remercie d'avance  

La meilleure bibliothèque est probablement celle de Jussieu ou de Chevaleret.

Bibliothèques, sur Paris, en plus de celle de Math 3e cycle de Jussieu, il y a celle de l'IHP et celle de l'ENS.
Librairies, c'est en général pas terrible, a part Dunod, au sous-sol, et Joseph Gibert (ie pas Gibert Jeunes) [autrefois il y avait aussi Offilib, mais je ne sais pas si ça existe toujours].
A+,

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On me l'a jamais demandé perso, et ca fait pas loin de 5 ans que j'y vais assez regulièrement. Apres bien sur ils la demandent si tu veux emprunter.

Salut,

Quelqu'un s'y connaitrait-il en systèmes d'EDP ? C'est à dire des systèmes (on va dire linéaires) de plusieurs EDP impliquant plusieurs fonctions inconnues.

J'imagine que quand on a autant d'inconnues que d'équations, on a existence et unicité de solutions si le système satisfait certaines conditions classiques.
En revanche, lorsqu'on a plus d'équations que d'inconnues, est-il possible de trouver une "meilleure solution possible" au système, c'est à dire celle qui le vérifie le mieux le système d'EDP au sens de je ne sais quelle norme ? Une sorte de least-square version EDP quoi

Merci de votre attention  

Merci beaucoup pour vos réponses, je vais jeter un oeil. EDP ?

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Bon, j'ai peut-être trouvé une solution. Je passe en Fourier (séries) et je fais un least-square sur les coeffcients de Fourier. A moi la médaille Fields  

Par contre, je crois que je peux faire une croix sur les conditions aux limites  

 
Eyrolles a aussi un beau rayon.

Oui oui, c'est pas Dunod mais Eyrolles que je voulais dire. Lapsus clavii!
A+,

 
 
Salaud ! Je croyais que Dunod avait un espace de vente, t'as failli me faire perdre  mon temps

L'autre jour on parlait d'analyse dimensionnelle, donc voilà un article sur le sujet.

Salut, j'ai une petite question de réduction :  est-il possible, que pour un endomorphisme u, que la dimension du SEP associé à une valeur propre lambda soit inférieure strictement à l'ordre de multiplicité de lambda en tant que racine du polynôme minimale de u ?

tu prends la matrice E12 = [0, 1][0, 0].
Son unique valeur propre est 0, et les solutions de E12x = 0 sont les vecteurs x = (x1, x2) tels que x1 = 0, c'est à dire un sev de dimension 1.

C'est là que je m'apperçois que j'ai tout oublié de ma spé

Tu auras une réponse rapide sur le topic taupin à mon avis.

 
Oui, mais c'est quoi son polynôme minimal annulateur