Reprise du message précédent :

This !    
c'est elles que je cherche.

Il va falloir lire les bonnes œuvres car on rentre dans les subtilités de la topologie.
 
Par exemple, dans le domaine de la compacité, dans la démonstration standard de l'équivalence Borel-Lebesgue équivaut à Bolzano-Weierstraß, on passe par un argument de précompacité (via le nombre de Borel, je crois que c'est son petit nom) reposant sur des boules, donc des notions propres aux espaces métriques.
 

Nombre de Lebesgues

L'un des deux de la propriété, quoi, mais je ne savais plus lequel. J'ai joué, j'ai perdu !  

D'ailleurs, j'ai fait aussi une coquille sur Lebesgue. ²

Moi aussi, il n'y a pas de s

Les propriétés les plus importantes qui carracterisent un espace métrique au sein des espaces topologiques, c'est sa séparation et sa paracompacité.

Mais globalement il est assez mal venu de parler de suite dans un espace topologique dont tu ne sais pas s'il est métrisable. Par exemple deja, les parties fermés ne coincident plus avec la partie contenant les limites de leurs suites convergentes. La convergence c'est pas une "bonne notion" topologique justement, ne serait ce que parce que tu n'as pas forcement unicité de la limite par exemple.
Typiquement les exemples interessants proviennent de la géométrie algébrique, ou la topologie est non séparée (les points n'y sont meme pas toujours fermés).
Mais tu ne peux plus par exemple conclure qu'un quasi compact est fermé, dans un espace non séparé.

Faudrait preciser un peu ta question!

Woh pinaize les vieux souvenirs qui réémergent...
 
Pour se faire une idée de toute cette zoologie, je pense que la meilleure chose, c'est de prendre un bouquin de contrexemples. Par exemple, Counterexamples in Topology de Hocking and Young, qui coûte que dalle.

J'ai eu quelques éléments de réponses dans le post de Therodre, mais de toute façon je ne suis qu'en math spé donc je m'en contenterai.
merci  

Si tu veux, voila un exemple typique d'espace topologique qui parait patho(po)logique.
 
Prend X={generique, spécial}, et le seul fermé non trivial que tu met dessus c'est {spécial}.
Alors le point générique est dense, la suite constante (generique)_n converge vers generique, mais aussi vers special (on dit plus vraiment converge en fait, on dit que le point generique se spécialise en le point spécial). L'espace est connexe! Generique est un point ouvert et dense, et pourtant quasi compact!
 
Et en fait ce prototype d'espace est tres important, c'est typiquement des spectre d'anneaux de valuations discretes, c'est a dire en geometrie algébrique ca correspond au "voisinage d'un point".

+1!
Un bouquin a avoir dans sa bibli ce livre.
A+,

http://www.wolframalpha.com/input/ [...] o+infinity
 
Salut, j'ai un peu de mal avec cette limite, une idée ?
 
merci

Fais un développement limité à l'ordre qui convient et reviens à l'une des définitions de l'exponentielle.

quand n tend vers l'infini,
cosh(a/sqrt(n))+u/sqrt(n)*sinh(a/sqrt(n))=1+a²/(2n)+ua/n+O(1/n^2)
Tu connais la limite de (1+K/n+o(1/n))^n ?

 
merci pour votre aide à vous deux  

J'ai trouvé sur amazon :
- Counterexamples in Topology de Steen and Seebach
- Topology de Hocking and Young.
Le dernier semblant être plus un cours de topologie. Lequel est le bon ?

Mince, j'ai encore confondu  Je vous avais bien dit que ça remontait à il y a très longtemps, tout ça...  
 
Je voulais dire Steen et Seebach    Le lecteur attentif aura rectifié de lui-même.
 
Sinon le meilleur ouvrage de topologie que j'ai pu lire, c'est le Dugundji, Topology.

Je plussoie pour le Dugundji mais il est très difficile à trouver en version papier Il mériterait une ré-édition.

moi j'ai celui là
 
http://www.amazon.fr/Topology-Inte [...] 092&sr=1-9

Le Munkres posté par Adrien est excellent pour la topologie générale.

Avec Dugundji, Steen & Seebach, Hocking & Young dans la biblio, comme il se doit  

Comme tu avais formulé ton problème, tu t'intéressais à une classe plus vaste qui sont les invariants Bilipschitz.

Ce que tu cherches, ce sont les invariants topologiques. C'est très vaste quand même, même une fois que t'as enlevé tous ceux qui sont purement métriques

L'équivalent Borel-Lebesgue dit que dans R^n, tout fermé et borné est compact (l'inverse étant toujours vrai par le fait qu'un espace métrique est de Hausdoff).

Par définition, un théorème de ce genre ne peut s'appliquer que dans des espaces métriques, vu qu'on y parle d'ensemble bornés.

En fait les espaces où ce théorème est vrai (i.e. les ensembles fermés et bornés sont exactement les compacts) s'appellent des espaces propres, et ce sont exactement les espaces de dimension finie.

Il parlait de l'équivalence entre la compacité séquentielle et la compacité au sens de Borel-Lebesgue qui est vrai dans un espace métrique.

Y en a au moins un qui suit !    
 

 
 
Bon sinon je n'ai pas pu m'empêcher de commander le Steen & Seebach que je n'avais pas. Merci pour la référence

My pleasure  

Juste, alors je n'ai pas d'objection

Heu pas vraiment, il me semble qu'on les appelle plutot espace de montel (mais la terminologie est un peu desuette), les espaces propres (proper, pas eigen) c'est tres different (en fait la propreté est une version relative de la compacité). A moins que tu parles d'autre chose, mais je n'ai jamais entendu cette terminologie pour dire ca.

Et ce sont les espace de dimensions finis, si le corps de base est valué complet, pour Q ca ne marche plus par exemple, R verifie bien que les fermés bornés sont compacts, et pourtant il est de dimension infinie sur Q.

La notion de norme suppose l'existence d'une structure d'espace vectoriel sur ton ensemble. Donc dès que tu sors du cadre des espaces vectoriels, tu perds la notion de norme. Et même certains espaces vectoriels ne sont pas normables puisque l'existence d'une norme implique l'existence d'une valeur absolue sur le corps des scalaires. Donc un espace vectoriel sur un corps non valué (qui n'admet pas de valeur absolue) n'est pas normable.
 
La notion d'espace métrique (ensemble sur lequel on définit une distance) est plus générale que celle d'espace normé car elle permet de s'affranchir de la structure d'espace vectoriel, tout en maintenant certains repères que l'on a avec une norme. Un espace normé est métrisable : la distance de x à y est ||x-y||..
Et bien même dans ce cas, tous les espaces topologiques ne sont pas métrisables (ie admettent une distance qui induit la même topologie que celle d'origine) tout simplement parce qu'un espace métrique est séparé (deux points distincts appartiennent à des ouverts disjoints). Ex : E un ensemble ayant au moins deux éléments, que tu munies de la topologie grossière ie les ouverts sont E et le vide. Un tel espace n'est pas séparé, donc ne peut être métrisable.
 
Alors en pratique on travaille souvent à la base avec des espaces normés, par exemple en analyse fonctionnelle. Mais même dans ce cas, très vite on tombe sur des espaces qui ne sont même pas métrisable (ex : espace de Banach de dimension infinie munie de sa topologie faible).

La terminologie ce sont bien les espaces propres.

http://en.wikipedia.org/wiki/Metri [...] per_spaces

Pour la dimension, comme on parle d'espaces métriques c'est une dimension métrique ou topologique (genre l'inf des dimensions métrique). Faut que je vérifie les détails mais j'ai plus le bouquin de Burago et Ivanov qui était ma réf sur le sujet

qu'est ce qu'il manque a un fermé pour devenir un compact ?
je connais les caractérisation des deux avec la propriété de bolzano /suites mais je n'arrive pas a les liés pour comprendre ca.

Ça dépend dans quel espace tu te places, ça dépend de la topologie.
 
Dans R^n, muni de la topoologie usuelle, il y a une propriété d'être borné et fermé qui est nécessaire et suffisante pour être compact (Heine-Borel). Ainsi, R est fermé mais n'est pas compact.

Dans un espace métrique, on a équivalence entre compact et {précompact et complet}.
Si tu te places dans un espace complet (genre R^d) un fermé est complet, il ne manque que l'autre bout
 
Moins formellement, tu as sur les espaces compacts des propriétés que l'on retrouve sur des espaces finis (en ce qui concerne les applications continues) :
toute fonction continue est bornée et atteint ses bornes, toute foncton continue est uniformémént continue, la propriété de borel lebesgue peut aussi s'interpréter comme ça...

Soit $ V$ une algèbre sur le corps commutatif $ K$ de caractéristique $ \neq 2$, et soient $ A,B\in V$ tels que $ A^2-p^2B^2=q(AB-BA)$ où $ p,q\in K,\ pq\neq 0$
Montrer que $ A^2=p^2B^2,\ AB=BA$

C'est bien tu ne sais pas utiliser latex

 
Si tu es frustré de ne pas savoir répondre à la question, je peux t'envoyer la démo en MP  

M'est avis que Virasoro n'a pas besoin de toi.
 
Ici, en plus, c'est pas le topic « je pose des colles de maths pour faire le malin ».

 
je n'avais pas vu le pseudo de celui qui avait posté l'exo mal écrit mais cette réponse m'a fait tilter et j'ai compris pourquoi en regardant le pseudo

 
Merci.

On peut avoir une explication ?

Ce bougre sévit déjà sur le topic maths sup/spé de la section E&E.