Reprise du message précédent :

 
C'est pas juste [N!/e] / N! (où [x] dénote l'entier le plus proche de x), soit environ 1/e?

 
j'ai pas trop compris non plus, parceque ce que je vois dans cette dem, c'est que deux endo commutent forcément ...
sinon, la démo "toute bete", en une ligne, et sans argument topotogique est sur wikipedia.

Quoi? Où est ce que tu vois ca? . Un poit clé dans ma démo est que le résultat est a la base vraie sur C, et donc dans Z[X_1,...,X_i] pour tout i, donc dans toute Z-algèbre de type fini, donc dans tout anneau. Le fait que deux endomorphismes commutent est a la base faux dans C donc...
Je rappelle ici que je prouve que le polynome carracteristique de uv et egal a celui de vu et ce sur tout anneau. (je ne me contente pas de prouver que Tr(uv)=Tr(vu) avec la definition evidente de la trace, puisque l'auteur du sujet ne voulait pas cette preuve).
 
edit: J'ai vu la démo de Wiki, elle est tres bien.

En faut derrière mon laïus y a le lemme suivant.
Si A est uns sous catégorie (pleine) de la catégorie des anneaux (commutatif unitaire, les vrais anneaux ), qui soit stable, par quotient et par sous objet (dans le sens ou si A est dan A st si lon a A->B un fleche injective ou surjective, alors B est aussi dans A) alors si C est dans A, A est la sous catégorie des anneaux qui sont des Z-algèbres de type fini. Si en plus A est stable par limite inductive, alors A est la catégorie des anneaux.
Et c'est tres utile, par exemple avec ça on déduit immédiatement le théo de Cayley Hamilton sur tout anneau (exactement comme dans ma preuve precedente)

Ce que j'ai pas compris, c'est "u et v se relèvent arbitrairement dans Z[x1,...xn]"
pour moi, un relèvement, c'est un isomorphisme d'une partie de l'ensemble de départ dans l'ensemble d'arrivée. (je me trompe peut-etre)
 1. il est clair que Z[x] s'envoie dans Z[u] comme Z-algèbre. c'est pas pour ca qu'on a un relèvement (peut etre hein, je sais pas en fait)
2. j'ai jamais entendu dire que ca fonctionnait pour k[u,v] (peut etre aussi ...)
 
Par contre, avec ce qu'est un "relèvement" à mes yeux, ce que tu dis signifierait qu'une sous-algèbre de Z[x1,...xn] serait isomorphe à Z[u,v] et donc que u et v commutent, tout comme le produit de polynomes.
 
Je suis peut etre a coté de la plaque hein ... a toi de me dire pourquoi.

Je crois comprendre ce qu'il fait.
 
Il commence par supposer que le polynôme charactéristique de UV est celui de VU pour deux endos d'un C-ev (de dimension finie).
En utilisant un plongement d'anneaux Z[x_1,...,x_n] -> C, il en déduit que le polyôme charactérisique de UV est égal à celui de VU pour tout endos d'un Z[x_1,...,x_n]-module libre de type fini.
Ayant prouvé le résultat pour des modules libres de type fini sur Z[x_1,...,x_n], il le déduit pour tout R-module libre de type fini (en utilisant une limite inductive).
 
Donc Z[x_1,...,x_n] n'est pas l'algèbre des endos, mais juste l'anneau de base sur lequel on forme nos modules libres de type fini.

Non, ce que j'appelle relèvement c'est un endomorphisme de Z[X_1,..,X_n] qui dans le quotient donnera bien u.
Peut etre aurais je du preciser un peu. Je note A l'anneau Z[X_1,...,X_n].

Si tu as U un endomorphisme de A^n,  et que I est un idéal de A, alors par tensorisation avec la projection p:A->A/I, U\otimes p est un endo de (A/I)^n. Ce que j'appelle un relevement c'est si tu te donne u un endo de (A/I)^n alors c'est un endo U qui te donne ce u par cette tensorisation. C'est facile de voir que ca existe, par exemple par la propriété d'adjonction du produit tensoriel Hom_(A/I)(A^n\otimes A/I,(A/I)^n)=Hom_A(A^n,(A/I)^n), se donner un morphisme de A/I module de (A/I)^n dans (A/I)^n c'est se donner un morphisme de A-module de A^n dans A/I^n (c'etait evident de toute façon), et le fait que tout endo de A^n dans A/I^n se releve en un endo de A^n dans A^n (tu prends juste un relevement aribitraire de u(1,0..,0) dans A, de u(0,1,0..0), etc... Il est bien clair que tu obtient un endomorphisme U tel que U s'envoit par tensorisation sur u. (J'ai ecrit beaucoup de choses pour pas grand chose ca correpond betement a si tu as une matrice de taille n a coeff ds A/I tu releve chacun des coeff et voila).

Donc tu crée un endomorphise U et V de A^n tel que par tensorisation avec p, ils te redonnent u et v. Bon ben comme le résultat est vrai pour U et V, car A est un ss anneau de C (pour des arguments de dénobrabilité, C possède une base de transcendance infinie), alors le resultat se déduit pour u et v (quand tu reduis mod I la relation Car_UV=Car_VU ou j'appelle Car le polynome carracteristique, il est bien clair que tu obtiens Car_uv=Car_vu, puisque les coeff du polynome carracteristique sont eux meme des polynomes en les coeff de la matrice et que la fleche A->A/I est un morphisme de Z-alg).

En fait si j'avais voulu regler le probleme en 2 minutes (c'est a dire remplacer la démo precedente par une phrase pédante ) j'aurai dit que les modules libres sont acycliques pour le foncteur Ext (si tu sais ce que ca veut dire, alors tu peux zapper la démo si dessus), donc comme tu as une suite exacte de A module
0->I^n->A^n->(A/I)^n->0, tu as une suite exacte 0->Hom(A^n,I^n)->Hom(A^n,A^n)->Hom(A^n,(A/I)^n)->0 et par adjonction tu as
une surjection Hom(A^n,A^n)->Hom_A/I ((A/I)^n,(A/I)^n)
Bref voila plein de façons plus ou moins savantes de voir ce relevement.

C'est exactement ça!

tiens, j'ai une question est-ce qu'il existe une certaine relation de continuité entre les valeurs propres d'une matrice et ses coefficients ? je veux dire, si deux matrices ont des coefficients très proches, alors a priori leurs valeurs propres sont elles aussi proches.
 
en fait, comme on peut voir les valeurs propres comme les racines du polynôme caractéristique, et que les coefficients du polynôme caractéristique varient de manière continue avec les coefficients de la matrice, ça se ramène simplement à une question sur les polynômes, à savoir "les racines d'un polynôme varient-elles de manière continue avec les coefficients dudit polynôme ?".
 
il me semble que ce dernier résultat est vrai, mais je ne me rappelle plus du tout de comment on fait pour le montrer quelqu'un pourrait me rafraîchir la mémoire ?
 
merci

 
oui je crois bien que c'est vrai, y avait un séminaire dessus dans mon lycée
par contre je sais pas du tout comment on fait
 

Tu peux montrer des continuités locales (ie sur certains sous ensembles de matrices), ça me semble difficile de définir une continuité globale, car par exemple tu peux avoir deux matrices topologiquement proches et qui n'ont pas le même nombre de valeurs propres (si on est dans R par exemple): difficile de définir quoi que ce soit dans ce cas-là.

Mais si tu te places par exemple sur l'ensemble des matrices réelles qui ont n valeurs propres distinctes, là tu peux montrer ce genre de trucs. En le voyant en termes de polynômes comme tu as des relations coefficients racines continues, si tu tapes doucement sur les coefficients, les racines vont rester proches aussi

Quelqu'un aurait acces a cet article ?
http://www.informaworld.com/smpp/c [...] 8108817379
 
Il y a un bouquin, abordable au pauvre chimiste que je suis, qui traite des dual homomorphismes ?

Je pense qu'il faut des hypothèses un peu plus forte. Si tu prend un polynôme de degré 1, mettons ax+b, la racine est -b/a et je doute de sa continuité vers 0.

Oui et ça rejoint ce que je disais: en gros ce genre de discontinuité va se produire lorsqu'on change le nombre de valeurs propres de la matrice par exemple. Il faut rester sur des sous-espaces (ou plutôt des sous-ensembles) sympas

oui, mais là tu ne perds la continuité qu'en a = 0, et en 0 tu n'as plus un polynôme de degré 1. une matrice n*n reste toujours une matrice n*n, et son polynôme caractéristique est toujours unitaire de degré n  
 
en gros, de manière plus formelle, ce que je veux savoir c'est si la proposition suivante est vraie ou pas :
 
soit A une matrice n*n (dans Mn(IC) si on veut, pour pouvoir trigonaliser sans se prendre la tête). si je prends epsilon > 0, alors il existe delta > 0 tel que ||A - M|| < delta => quelle que soit la valeur propre de M lambda_m, quelle que soit la valeur propre de A lambda_a, alors |lambda_a - lambda_m| <= epsilon.

qui va être fausse comme toutes les autres

Les cadors (Gowers, Terry Tao, ...) se penchent dessus depuis quelques jours, mais déjà il semble clair qu'elle n'est pas suffisante. Cependant ils reconnaissent que des idéees nouvelles ont été introduites.
 
Commentaire de Tao :
 
"I think there are several levels to the basic question “Is the proof correct?”:
 
1. Does Deolalikar’s proof, after only minor changes, give a proof that P != NP?
 
2. Does Deolalikar’s proof, after major changes, give a proof that P != NP?
 
3. Does the general proof strategy of Deolalikar (exploiting independence properties in random k-SAT or similar structures) have any hope at all of establishing non-trivial complexity separation results?
 
After all the collective efforts seen here and elsewhere, it now appears (though it is perhaps still not absolutely definitive) that the answer to #1 is “No” (as seen for instance in the issues documented in the wiki), and the best answer to #2 we currently have is “Probably not, unless substantial new ideas are added”. But I think the question #3 is still not completely resolved, and still worth pursuing"
 
Précision au passage, ce que le gars se propose de démontrer c'est P=/= NP

Bonne remarques, j'avais sauté ton message    

Si tu restreint à un polynôme de degré constant avec a=1, il me semble qe le résultat est vrai dans C mais non trivial.

il me semble aussi, mais je sais pas/plus comment on fait les relations coefficients-racines ça donne la continuité des coefficients en fonction des racines, mais a priori ça ne suffit pas pour montrer la réciproque

Comment vous définissez la notion de variation continue des racines?

A la différence des coefficients, il n'y a pas de première racine, de seconde racine, etc... alors que les coefficients, on peut les étudier individuellement et considérer la variation continue, avec les racines il me semble que l'on est borné à étudier un ensemble avec n ou moins élements, où n est le degré du polynôme considéré. Après, je vois bien plusieurs façons de formaliser ça (après une variation de moins de delta des coefficients, le nouvel ensemble est contenu dans le voisinage de distance epsilon autour de l'ancien ensemble), mais je ne suis pas certain de leur utilité.

Cette définition n'est pas très intéressante car elle implique en particulier que toutes les valeurs propres de A sont proches entre elles.
 
 

 
Effectivement. C'est pour ça qu'il faut se restreindre à des sous-ensembles de matrices pour pouvoir définir une vraie notion de continuité: en particulier, comme je le disais, si tu prends une matrice qui a n valeurs propres distinctes, et que tu tapes un peu sur les coeffs de la matrice, ça va rester une matrice à n valeurs propres distinctes et les valeurs propres vont bouger continûment.

euh oui, je l'ai mal posé je voulais dire "quelle que soit la valeur propre de M lambda_m, il existe une valeur propre de A lambda_a telle que |lambda_a - lambda_m| <= epsilon" en gros, si on s'éloigne pas trop de A, alors ça ne fait pas apparaître de valeur propre extrêmement différente.

Ca non plus ça ne marche pas en général. Imagine qu'on pose n=3 (matrices 3x3), et les valeurs propres de M sont 0,0,1. Imagine que l'on change très subtilement les coefficients de M, et que l'on se retrouve avec 0.001, 0.998 et 10000.
Edit: Pardon, j'avais inversé les rôles de A et M. On prend A avec valeurs propres 0.001, 0.998 et 10000, et on change A un peu pour obtenir M avec valeurs propres 0,0,1.

C'est pour moi là qu'est le problème; comme le dit fixio on peut se restreindre au sous-ensemble des matrices qui n'ont que des valeurs propres distinctes, on ramène le problème aux notions usuelles de continuité. Mais j'aimerais aussi connaître la résolution de ce problème dans le cas général!

ben justement, ce que je veux savoir c'est si ça c'est possible ou pas qu'une même valeur propre se splitte en deux valeurs propres différentes (genre 0,1 => 0.001, 1.001, 0.999), ça ne me dérange pas, je veux juste être sûr que ça ne va pas en faire apparaître de nouvelles vachement différentes.

Oui, ce que je voulais dire, c'est que selon ta définition de changement continu, le changement décrit au dessus est un changement continu; intuitivement, c'est la mauvaise notion.

ah non, selon ma notion ça ne marche pas, parce que M a une valeur propre (10000) qui ne diffère pas d'un epsilon d'une valeur propre de A

Oui, j'ai édité, j'avais inversé les roles de A et M.

Et si tu comptes modifier la définition en la faisant symmétrique (Pour toute racine de A il en existe une de M assez proche, et pour toute racine de M il en existe une de A assez proche), ça ne marche pas:
On commence avec A avec valeurs propres 0,1,1 pour obtenir M avec valeur propres 0,0,1 après un très petit changement.

Pour toute racine de A il en existe une de M assez proche, et pour toute racine de M il en existe une de A assez proche. Cependant une racine a subitement changé de 1 à 0.

Oui

Nan mais ils font quoi dans ton école de nos jours ?...

Tu veux peut-être une démo ?

Pour la démo, tu prends un polynôme P(z), tu prends une de ses racines z_i ; pour \epsilon assez petit, tu prends la fonction
 
P \mapsto 1/(2 i \pi)\int_{\partial B(z_i,\epsilon)} P'(z)/P(z) dz  
 
qui a le bon goût d'être continue en les coefficients de P et qui est à valeurs dans N donc localement constante. Et voilà le travail à peu de chose près... Je te laisse finir la démo.

 
comment on fait pour trouver la puissance d'un nombre ?

quoi qui va pas?

qu'est-ce que tu veux dire par puissance d'un nombre? parce que là, ça veut rien dire  

Euh... si tu sais la définition de ce que tu demandes, à savoir la puissance d'un nombre, tu as la réponse dans la définition, non ?  

par exemple, comment je fait pour trouver 6 a partir de 36 ? Donc la puissance de 36...

En utilisant les logarithmes.

non, parce que si tu utilises le logarithme, ça revient à inverser la fonction x^x = exp(x*ln x), et il me semble qu'il n'y a pas de solution simple à ce problème
 
dans son cas, s'il parle uniquement de nombres entiers, je pense que la décomposition en facteurs premiers serait un outil plus approprié.