Reprise du message précédent :

 
J'avais loupé ton lien, je te remercie beaucoup !
la solution est assez "décevante", elle peut se faire à la main, mais les listings de nombres qu'il exhibe à chaque étape, c'est ceux qu'on obtient sur ordi.

p-e , identifier les fractions comme des séries, puis inversion lim, somme; mais bon...

ou bien les DL ?

Il me semble plus simple de réduire au même dénominateur : si mes calculs sont bons (ce qui n'est pas sûr), ça fait 1/2.

J'obtiens le même résultat.

Met tout au même dénominateur puis factorise en haut et en bas, et tu devrais pouvoir simplifier pour ensuite faciliter grandement le calcul de la limite.
edit :
 
par contre la limite c'est -1/2

Bonjour,
 
pour la fonction ln, sachant que ln (a.b) = ln(a)+ln(b),  
comment feriez-vous pour prouver que  
ln(a^p) = p ln(a) avec p réel
 
le cas p entier est trivial  (par exemple p>0, ln(a^p) = pln(a) puis par réccurence).  
 
Mais impossible de faire une telle démonstration avec p réel. Comment puis-je faire?
 
Merci

hum, ça date, mais si je me souvient bien, pour les exposants réels la definition de a^p c'est exp[plna] non ?

 
Pour le cas p entier, effectivement ça fonctionne très bien par récurrence.
Dans le cas p réel, en écrivant a^p à l'aide de la fonctionne exponentielle a^p=exp(ln(a)*p) pour tout a>0, le résultat vient immédiatement

tu utilises les identité remarquables

a²- b² = ... et a_cube - b_cube = ...

et ensuite tu réduis au meme dénominateur

enfin c'est comme ça que je partirais

edit : archi toasted

Effectivement, mais je voulais éviter d'utiliser e    
 
Et tu aurais une idée pour démontrer que lim (x-> +oo) ln(x)  = +oo ?
j'ai bien trouvé des preuves du style :
lim x-> +oo ln(x)    =   ln(n->+oo) ln(2^n) =   lim(n->+oo) n ln(2)    
avec ln(2) > 0 car ln(1)=0 et ln strictement croissant.
mais je trouve cela peu rigoureux (à tort peut-être?)
 
 

C'est tout à fait rigoureux car "lim x-> +oo ln(x) = ln(n->+oo) ln(2^n)" est vrai par continuité de ln sur IR+. Puis la dernière égalité s'appuie sur le fait que ln transforme tout produit de réels >0 en somme.

Oui ca doit etre bon, mais tu dois évoquer la croissance de ln avant aussi, parce que quand tu dis que :

Ca ne marche pas si ta fonction n'est pas croissante ( exemple la fonction qui vaut 2^n sur les 2^n et 0 partout ailleurs )

Ah et question rédaction, évite le plus possible d'écrire le symbole "lim" dans des égalités, en général on travaille sans, et on conclut à la fin

edit : @kuartin, c'est plus la croissance que la continuité qui assure l'existence de la limite, par exemple tu peux prendre la fonction que j'ai donnée en contrexemple ( non continue ) et lui foutre des morceaux de droites affines pour la rendre continue

lim x-> +oo ln(x) n'a du sens que si la limite existe. Et c'est vrai puisque ln est croissante. Par contre il faut bien précisé la continuité sinon lim x-> +oo ln(x)    =   ln(n->+oo) ln(2^n)  est faux.
 
Edit : Pas de problème on se comprend. Quand j'ai répondu à sa question je réagissais par rapport à la justification des égalités écrites et non sur l'existence même de la limite (il veut démontrer que lim x->+oo ln(x)=+oo ce qui sous entend que pour lui la limite existe déjà )

tu fais d'abord le cas entier, puis le cas rationnel, puis tu étends à IR par densité (et par continuité du ln). méthode ultra classique et à bien connaître parce que ça ressort souvent

en fait, le passage lim(x-> +oo) ln(x)    =   ln(n->+oo) ln(2^n) est peu rigoureux parce que tu n'as pas prouvé que ln admettait une limite en +oo, et tu ne peux pas te servir de la continuité puisque la continuité en +oo n'a aucun sens : une fonction comme le sinus n'admet aucune limite en +oo alors qu'elle est continue sur IR.
 
si je faisais un raisonnement similaire au tien avec le sinus, je pourrais écrire lim(n->+oo) sin x = lim(n->+oo) sin(n*Pi) = lim(n->+oo) 0 = 0 et en déduire que la limite du sin en +oo est 0, ce qui est bien entendu faux.  
 
le bug, c'est que je n'ai pas prouvé que la limite existait avant de la calculer. pour bien comprendre ce phénomène il faut parler de valeurs d'adhérence et de choses comme ça et je ne sais pas si tu y es encore retiens juste que si tu veux calculer la limite d'une fonction en passant par une suite, faut d'abord t'assurer que cette limite existe.
 
dans le cas présent, la méthode qui me paraît la moins chiante niveau démonstration c'est de repasser par la définition d'une limite : tu prends un M > 0 fixé, et tu dois prouver qu'il existe x0 tel que ln(x) >= M pour tout x >= x0. ben là c'est tout simple, il suffit de prendre x0 = exp(M), et par croissance du ln on a immédiatement ce qu'il faut...

En passant par l'exponentielle comme j'avais proposé précédemment, ça va pas?
Je trouve ça plus direct

ça marche, mais ça suppose que tu connais l'exponentielle et ses propriétés, ce qui enlève beaucoup de fun à la démonstration

tiens j'ai une petite question,mais je ne sais pas si elle a sa place ici ... c'est de l'auto/physique mais ca reste des maths quand meme    
 
pour le diagramme de bode, quand on trace le gain, mes profs m'ont toujours dit de prendre 1/to pour trouver les frequences de cassure, avec par exemple (1+ to p)...
 
j'ai lu un bouquin dernierement sur l'auto,et dans les exemples de bode, ils prenaient simplement le to pour definir la cassure...
 
mais ca change quoi concretement ?  
 
j'ai pris un exemple au hasard,et les 2 cas me donnent des bodes tres differents evidemment,que represente l'un et que represente l'autre ?  
 
 
ps;si la question n'a rien a faire ici je l'effacerai, mais je voyais pas l'interet de creer un topic pour une question qui est surement tres bete.  

to est homogène à un temps, donc 1/to correspond à une fréquence ( de cassure ) , to correspondant simplement à un temps et non à une fréquence

suis je bete,je n'avais pas fait le rapprochement  
 
merci pour l'explication  

 
Là ça marche parce que, comme il l'a dit, on peut prouver que ln a une limite en +oo de par sa croissance (qui est évidente via sa définition comme primitive de 1/x).

Soit M > 0, alors pour tout x > exp (M), ln(x ) > M (ln fonction croissante), ce qui est la définition d'une fonction tendant vers l'infini, en l'infini.

Quelque chose me gêne dans ton argument et dans celui de double clic donné plus haut : si on définit l'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme, pour affirmer que exp(M) existe pour tout M,  il faut savoir que la fonction ln n'est pas bornée, en d'autres termes qu'elle tend vers l'infini puisqu' elle est croissante. Il y a une odeur de cercle vicieux ...

tout à fait
je cherche à prouver la limite en +oo de ln sans passer par exp...

Tu définis ln comment ?

 
ln c'est une fonction f, tel que pour tout couple de réel (a,b) positifs on a:
 
1) f(a*b) = f(a)+f(b)
2) f(e) = 1
 
Normalement ca suffit a la caractériser totalement..

je dis au point 2 que f(0)=1
comme ca je ne dois même pas introduire e...

Définie comme ca, je dirais a priori que le point clé est de prouver sa croissance.  
 
Une fois ca prouvé, on aura existence de la limite, et par continuité ( faut voir si c'est une hypothèse ou que ca reste a prouver ) , on peut choisir n'importe quelle suite tendant vers +oo pour trouver la valeur de la limite.
 
Alors avec la suite (e^n), on a f(e^n) = n*f(e) = n qui tend vers +oo et c'est bon
 
Je cherche toujours pour la croissance

Bah non.. parceque toutes les fonctions logarithmes vérifient f(0) = 1, il n'y a pas que ln !
Par contre seul ln verifie ln(e)=1...

Bon par contre c'est vrai que la limite en +inf ne dépend pas de la base du logarithme.

quelqu'un a la réponse au probleme de math posé dans millenium?

 
Par l'absurde, non ?

au temps pour moi, je définis en fait le logarithme comme une primitive de 1/x avec f(1) = 0  

en l'introduisant comme primitive de 1/x, la croissance est triviale vu que la dérivée de la fonction est 1/x, qui est tjs > 0 dans ]0,+inf[

Soit u une application linéaire de E dans F.
u est injective si et seulement si Ker(u)={0_E}
 
Dans la démonstration, où intervient l'injectivité ?
 
merci

Dans le sens direct :
soit x € ker(u), alors u(x)=0=u(0)
donc x=0 par injectivité

edit : grilled, mais c'est mieux mis en forme

Dites soit {Xn}, n= 1 à l'infini un système orthogonal dans un Hilbert H, comment prouver que sa série converge dans H si et seulement si la série de sa norme au carré converge dans R ?  
Ca doit être tout con mais je bloque bêtement là

 
merci j'avais de la ***** dans les yeux  

||somme(Xn)||² = somme(||Xn||²) avec Pythagore, non ?