Reprise du message précédent :
j'ai jamais vu des ev de dim infinie je crois

Disons que c'est une définition plus général du rg d'une appli linéaire. Si tu travailles qu'avec des ev de dim fini alors il n'y a aucuns problèmes de défintion de rg f puisque forcément Imf sera de dim finie.
 
Un exemple d'espace vectoriel de dimension infinie : l'ensemble des fonctions continues de IR dans IR. Ou encore l'ensemble des suites réelles etc....

y en a qui veille avec moi ce soir ?
 
Je crois que j'ai jamais autant bossé

Moi je vais encore rester un petit peu mais pas trop longtemps quand même
 
Si tes partiels sont lundi, il faut dormir

C'est ça la fac
 
Par contre faut être en forme pour les partiels donc dormir aussi

Je dormirai quand je maitriserais les DL en analyse

Il y a quelque chose que je ne comprends pas
 
Pourquoi as t'on le droit de changer de variable dans les dl
 
ex pour (1+x)^alpha remplacer x par ce qu'on veut comme si ce dl usuelles était une forme generale.

Tant que la quantité que tu mets à la place du x tend vers 0 tu peux faire les changements que tu veux.

pour toutes les DL ?

La règle de composition des DL :
 
Soit f:I->IR, et g:J->IR avec I, J des intervalles réels tq 0 est dans I et existe un voisinage V de 0 tq f(V) inclus dans J.
[ Alors si f admet un DLn(0) et g un DLm( f(0) ) ] => [ gof admet un DLp(0) avec p=min(n,m) ] et
                                                                            [ pour tout x de V, gof(x)=Tp( Fn o Gm (x) ) + x^p * e(x) avec e(x)->0 lorsque x->0 ]
 
Annexe et notations :  
- Voisinage : on dira que V est un voisinage de 0 dans IR pour la valeur absolue, si il existe un alpha > 0 tq pour tout x vérifiant |x| < alpha => x est dans V.
- Fn est la partie polynomiale du DLn de f en 0 ie pour tout x de V on a : f(x)=f(0) + a1*x + ... + an*x^n + x^n*e1(x) (avec e1(x)->0 lorsque x->0), Fn(x)=f(0) + a1*x + ... + an*x^n.
  Idem pour Gm.
- Tp est la troncature à l'ordre p de Fn o Gm. Voir que Fn o Gm va être un polynôme de degrè n+m, tronquer à l'ordre p signifie garder que les termes de degré <= p.
 
Derrière cet définition peut être un peu barbare qu'est-ce qu'il y a :
 - Par exemple la fonction g:x->ln(1+x) admet pour tout n de IN un DLn(0). Soit la fonction f:x->x^2. Cette fonction admet bien un DLn(0) pour tout n de IN (simplement e(x)=0 pour tout x) et on a bien f(0)=0. Donc on peut appliquer la précédente règle, c'est à dire gof admet un DLn(0) pour tout n de IN, donc pour tout x assez proche de 0, ln(1+x²)= Tn( x^2 - (1/2)x^4 + (1/3)x^6 -...) + x^n*e(x).
 
Voilà comment on peut justifier correctement le "pourquoi on peut remplacer x par 2x...". Mais bon c'est presque intuitif, il n'y a pas forcément besoin de tout ça pour le voir.
 
 - Par contre cette règle est importante lorsque tu dois calculer le DL de x->ln(1+sin(x)) en 0 par exemple.
 
 

ça marche merci

J'ai édité mon post.

Donc pour demain, je peux remplacer par tout ce qui tends vers 0 quand x tends vers 0 ?

donc x par sinx mais pas x par cos x ?

PS: on parle bien des dl USUELLES ?

Dans la liste ci-dessus :
 
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3% [...] Formulaire
 
Je peux remplacer x par x^n, sin x, et tout ce qui tends vers 0 quand x tends vers 0 ?

Oui

Merci

J'ai une petite question sur les polynômes :
Dans la feuille de correction que ma prof m'a donné y'a l'exo suivant :
"Déterminer le reste de la division euclidienne dans R[X] de A(X)=(Xcosa+sina)^n par X²+1. où n€IN et a€IR"
Donc on commence par poser A(X)=(X²+1)Q(X)+R avec degR<2
d'où R=bX+c  avec (b,c)€IR²
Puis y'a marqué : "on se plonge dans C, pour prendre la fonction polynôme en i"

On a le droit de passer dans C? puisque l'exercice est posé dans R[X]  

On introduit i pour les calculs mais on reste toujours dans IR :  X²+1=(X-i)(X+i) qui est bien un polynome réel.

 
En fait, quand on dit que c'est un polynôme réel c'est que les coefficients sont réels?
Et on peut utiliser les racines complexes de ce polynôme pour obtenir un résultat?
C'est ça?
 
Mais si on me demande de factoriser un polynôme dans R[X] je dois prendre que les racines réels?
 
C'est ça?

Oui . Si on te demande de factoriser X²+1 dans IR, bah tu peux rien faire de plus.

Okay, merci

 
D'après moi la premiere affirmation est vrai  après je ne sais pas .

Pourriez-vous me donner un coup de main pour une limite ?
 

 
Merci

Faut utiliser a^b = exp(b*ln(a)) j'pense    ('fin faut regarder si tu peux avec le signe de tan(x)/x)

je peux ici du fait qu'au voisinage de 0 x² est plus grand que x^3 ?

Je ne vois pas où ça infirme ce que je dis.

C'est la transformation à faire. Il n'y a pas de problème de définition du ln car c'est la limite en 0+ (pas définie pour x<0). Après on fait le dl. La limite doit être exp(1/3).
1^infini est une forme indéterminée.

Moi qui croyais que 1 puissance n'importe quoi =1

Par contre rien n'indique que c'est 0+

c'est pas vraiment 1, c'est quelque chose qui tend vers 1 à la puissance quelque chose qui tend vers l'infini. C'est comme lim (1+1/n)^n en plus l'infini qui te donne e.
 
Sinon l'ensemble de définition de la fonction c'est ]0, +infini[, donc c'est bien la limite en 0+.

Ah je connaisais pas cette astuce, mais elle rends bien service

J'ai trouvé e(1/6).

edit : mais ma calculette m'infirme

 
Pourquoi ?

Soit a>0. Pour tout x de IR on définie, a^x=exp(xln(a)). Donc tu comprends bien pourquoi il faut a>0 et donc ici tan(x)/x>0.
 
http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle

c'est bien exp de1/6, si le dl de tan est bon

ça doit etre assumé que l'on aille vers 0+ je pense , ou en tout cas faut le mettre sur la copie

 
Ce que je ne vois pas c'est en quoi tan(x)/x>0. => x>0  Tan(-4)/(-4) par exemple ?

Ah oui en effet , sorry

Pas 1/3 plutot ? tanx=x+x^3/3...