Reprise du message précédent :

 
Vu que tout le monde y met son ptit mot, moi aussi j'ai un truc à dire    
Déjà, il faut bien voir que les espaces vectoriels (et donc anneaux et compagnies) sont des outils. Donc (enfin, au moins en prépa), tu vois 2 ans d'outils, et une fois entré en école d'ingé, tu t'en sers \o/ (ou tu peux t'en servir).
Maintenant, comment utiliser un espace vectoriel dans la vraie vie ? En fait le but, c'est tu as quelque chose à modéliser de super compliqué (genre prévoir les aurores boréales (position exacte en fonction du temps) en fonction des rayons du soleil et compagnie). La première question c'est : est-ce que c'est modélisable dans un EV ? Si oui, c'est super, parce que tu sais que tout ce que t'as fait en math depuis la primaire va te servir    
Si non ... bin ... t'es dans la merde et il va falloir mieux cadrer ton problème pour pouvoir en faire quelque chose.
 
Sinon, ce que tu as vu au lycée, c'est les vecteurs et les produits vectoriels. En ce qui concerne les vecteurs, ils sont dans un espace vectoriel. Mais l'EV est bien plus général que ça. Toutes les fonctions que tu as fait, les dérivées, intégrales ... tout est dans les EV. Mais bon, c'est un peu normal, c'est le but  

Et puis surtout mathématiquement :  
 
- Toute la géométrie différentielle utilise massivement des espaces vectoriels : pour comprendre une variété on étudie ses champs de tenseurs, qui sont des collections de tenseurs sur un espace vectoriel (avoir une idée raisonnable de comment on fait un changement de base et comment on trouve un produit scalaire sur l'algèbre de Grassmann d'un espace Euclidien est donc en conséquence une chose raisonnable).
- Pour toute une partie de la géométrie "moderne" (i.e. celle des espaces métriques), les espaces vectoriels sont peu fréquents mais en revanche les groupes sont très largement là (plutôt des groupes discrets infinis que des groupes finis - also known as groupes virtuellement triviaux )
- Pour la physique, l'étude des tenseurs est fondamentale (j'veux dire aussi, les équations de Maxwell sous forme de différentielle et d'étoile de Hodge du tenseur de Maxwell, ça a de la gueule et c'est utilisable). Et bon, comme pour la géométrie, pour comprendre un tenseur on n'a pas trop le choix, il faut comprendre un espace vectoriel et son dual.  
- L'analyse fonctionnelle, je vois mal comment on peut se passer des EVN
- En finance on calcule la mesure de Haussdorff du drap brownien et on observe des enveloppes de Snell, faites donc ça sans mesure et intégration, et donc sans tribu ou topologie
- Et caetera.
 
Bref, ces structures sont au centre des mathématiques, pour une immense majorité de domaines (à vrai dire je n'en vois aucun, pas même les stats ou la recherche opérationnelle, où l'on peut s'en passer).

En effet, on s'en sert même en proba et stat, c'est dire

J'ai appris par cœur la définition d'espace vectoriel, mais quand j'essaye d'appliquer ça à un exercice je ne vois pas quoi faire.
 
Par exemple:
 
Soit "a" un réel et E l'ensemble des fonctions numériques f définies sir R telles que f(0)=a.
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a pour que E soit un espace vectoriel sur R
 
Si j'ai bien compris, il faut que l'ensemble des fonctions telle que f(0)=a soit un espace vectoriel.
Il faut donc trouver une condition pour "a" telle que ssi il y a cette condition alors c'est le cas.
 
Mais j'ai beau regardé les définitions et propriétés de l'espace vectoriel dans tout les sens, je vois pas par où commencer

 
Raisonne par condition suffisante. Supposons que E soit un espace vectoriel.  
 
f est non vide car x->a est dans E
 
soit f dans E, alors f+f est dans E comme combinaison linéaire d'élements de E.
 
avec cette indication tu dois pouvoir résoudre l'exercice.
 
N'oublie pas, une fois la condition necessaire sur a établie, qu'il faut verifier qu'elle est également suffisante.

un espace vectoriel, c'est un ensemble qui a une opération interne (souvent une "addition", qui additionne deux éléments de ton espace vectoriel) et une opération externe (souvent une "multiplication", qui te permet de multiplier un élément de ton espace par un élément d'un corps de base - en général, au départ, on ne considère que IR ou IC comme corps de base). et ces deux opérations doivent vérifier un certain nombre de propriétés pratiques.
 
mais la grande propriété fondamentale, c'est qu'un espace vectoriel est stable par ces deux opérations. en gros, si tu fais la somme de deux éléments, tu restes dans ton espace, et si tu multiplies par un élément du corps de base, tu obtiens un truc qui est encore dans ton espace.
 
demande-toi ce qui se passe si tu additionnes deux fonctions de ton espace, et tu obtiendras déjà une condition nécessaire (qui sera en fait suffisante, il suffira de vérifier tous les axiomes).
 
maintenant, en pratique, on revient très rarement aux axiomes pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel. on a des espaces vectoriels bien connus (l'ensemble des fonctions de IR dans IR en est un, par exemple), et pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, on se contente de montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu, ce qui est plus simple.
 
en effet, si tu as un espace vectoriel E et un sous-ensemble F de E, alors pour que F soit un espace vectoriel, il suffit que F soit non vide et stable par les deux opérations de l'espace E (c'est-à-dire que la somme de deux éléments de F est toujours dans F, et (un élément du corps de base)*(un élément de F) = (encore un élément de F)).
 
bref, pour ton exo, il suffit que E vérifie :
 
(f,g) \in E => f + g \in E
(lambda,f) \in IR x E => lambda*f \in E
 
(\in = appartient à)
 
(je crois que c'est pas clair du tout )

A quoi correspond les x?

Sinon voici mon cours:

Je ne comprends pas pourquoi elle ecrit x et "." alors que sur wikipedia c'est la même chose il me semble.
Pour les + entourés, je crois que c'est parce que c'est pas une somme de reels. :/

ps: pour a le seul truc que j'ai trouvé c'est que a ne doit pas être nul, je suis dans une bonne voie?

il correspond à un un nombre réel (la variable quoi)
 
 
"x->a", C'est l'application de R dans R qui à tout réel x associe le réel a.
 

le . correspond à la multiplication entre en scalaire et un vecteur. la croix correspond à la multiplication dans le corps K (entre éléments de K)
 

 
exactement! un "+" correspond à l'addition dans le corps K, alors que le + entouré correspond à l'addition entre deux vecteurs.

 
On note des + entourés et des . comme on pourrait noter des trèfles à quatre feuille et des $.
 
Dis toi simplement que ton corps K, c'est l'ensemble des réels R, que le + entouré, c'est l'addition que tu connais, et que le ., c'est la multiplication (le hasard fait bien les choses).
 
T'es en présence d'un espace vectoriel si tu vérifies les conditions énoncées, en gros si la somme d'éléments de E reste dans E, et si la multiplication d'un élément de K (un réel, dans notre exemple) par un élément de E reste dans E
 
 
Imagine que E, c'est l'ensemble des couples (a,b) dans R². Ce sont les coordonnés d'un vecteur du plan, t'es d'accord ?
 
Si je prends deux vecteurs u = (a,b) et v = (a',b'), ma somme w = u+v = (a+a', b+b'), qui est toujours un vecteur du plan R². C'est donc stable par la loi +
 
En plus de ça, la multiplication d'un réel par un vecteur se comporte bien, et vérifie les conditions 1-4 de ta définition. Genre k.u = (ka, kb), qui est toujours un vecteur du plan.
 
Ca marche bien comme on t'a toujours appris, c'est sympa, tu peux faire des combinaisons linéaires, t'es dans un espace vectoriel.
 
 
 

Oui mais où est-il dit que le + entouré c'est l'addition et le . la multiplication.
Parce que ok ce sont juste des symboles mais faut bien définir que c'est l'addition et la multiplication non?
edit= à moins le fait que (E,$ ou tréfle 4 feuilles) soit un groupe abélien oblige que + soit l'addition et que si le . doit verifier toutes les conditions alors ça doit être la multiplication.

Sinon par rapport à l'exo j'avais trouvé a<>0 car si a=0 1xX n’est pas toujours=X donc a<>0

On te dit que le + entouré c'est la loi de composition interne de ton groupe abélien E.
 
Regarde ce qu'est un groupe abélien, et tu vas voir que cette loi t'es pas inconnue

mais il n'y a que la loi additive qui permet à un groupe d'être abélien?

Ben non, R-{0} muni de la multiplication usuelle est un groupe abélien :

Groupe
- élément neutre = 1
- pour tout x dans R-{0}, 1/x est dans R-{0}
- pour tout x, y, z dans R-{0}, x(yz) = (xy)z

Commutatif
- pour tout y, z dans R-{0}, yz = zy

De manière générale, si tu prends un corps (K,+,.), tu as un groupe (K,+) et un groupe (K*, .)

[avec K* = K privé de l'élément absorbant pour ta multiplication]

ah ouais en effet
 
Dans la définition de mon cours xxxxxxxxx est un espace vectoriel si xxxxxxx
 
Peut-on remplacer le si par ssi?
 
Pour l'exo c'était bien a<>0?
 
Encore une fois merci à tous, vous me faites gagner un temps precieux.

non pour l'exo la réponse c'est a=0 justement.

la condition que tu cite est "pour tout x dans E" dans ce cas x est une fonction!

Ce ne sont pas nécessairement l'addition et la multiplication que tu connais. L'addition de deux vecteurs (composante par composante) et la multiplication d'un vecteur par un nombre comme tu en as l'habitude en sont simplement des exemples.

Pour l'exo avec l'ensemble des f telles que f(0) = a, il faut t'appuyer sur le fait que l'ensemble des fonctions f de R dans R est un espace vectoriel. Donc l'ensemble des fonctions f telles que f(0) = a est un espace vectoriel si et seulement si c'est un sous-espace de E, et donc si et seulement si le critère du sous-espace est rempli : pour tout f,g dans E et k,l deux réels, tu dois encore avoir kf + lg dans E (donc tu dois avoir kf(0) + lg(0) = a, c'est à dire ka + la = a pour tous nombres réels k,l. C'est donc possible seulement dans le cas où a = 0.

 
C'est pas élément absorbant?

 
et il faut le savoir que le "." est par défaut la multiplication?
 
 

Je n'ai pas compris. Un K.ev c'est un ensemble muni de deux lois, dont une interne qui lui confère une structure de groupe abélien, qu'on peut noter "+" sans être obligé de le faire, et d'une loi externe qu'on peut noter . sans être obligé de le faire, et ces deux lois sont soumises à une liste d'axiomes.

Il se trouve que R^n muni de l'addition de vecteurs que tu connais et de produt d'un vecteur par un nombre que tu connais est justement un R-espace vectoriel. Mais ça n'est pas parce que tu te donnes un ensemble avec deux lois qui vérifient ces axiomes que ton ensemble c'était R^n muni de l'addition et de la mulitplication standard, ça peut être plein de choses (notamment et en particulier, des espaces de fonction).

Des exemples d'espaces vectoriels, il y en a des paquets, s'il n'y en avait qu'un seul on n'aurait pas pris la peine de définir une notion pour ça.

Je sens qu'il faut que je révise ce soir.
 
Des le début je commence à bloquer:
 
dans l'énoncé: ...pour que E soit un espace vectoriel sur IR, mais il n'est même pas specifier l'ensemble E est muni de quelles lois,  
 

Donc je vois pas en quoi un ensemble peut être un espace vectoriel.
 
 
sinon pour le reste j'avoue que ça devient logique, l'exo peut se resumer à dire f(0)=a il faut que kf(0)=a pour k dans IR or ça marche que si a=0

En général, si on ne précise pas, c'est que ce sont les lois qu'on trouve "tout le temps" dessus. Par exemple si on te dit "on considère l'espace vectoriel R^n" sans dire "dont les lois sont définies par..." c'est que ce sont les lois dont tu as l'habitude.

C'est un petit manque de rigueur, pas trop méchant.

Si E est un ensemble, et F est un K espace vectoriel de loi interne + et de loi externe *, tu as une structure naturelle de K ev sur l'ensemble des applications de E dans F définie ainsi :

• Si f,g sont des applications de E dans F, alors f + g est la fonction détinie par (f+g)(x) = f(x) + g(x) pour tout x dans E. Remarque qu'à l'aide de l'addition sur E (dans la partie à droite de la parenthèse) tu as pu définir une addition pour les applications
• Si l est un élément de K et f : E -> F une application, alors l*f est l'application définie par (l*f)(x) = l *f(x).

C'est ça qu'il faut utiliser dans ton exercice, avec E = F = R.

Voilà. En d'autres termes, ce que tu veux c'est que si tu prends f,g des fonctions et k,l des nombres, la fonction kf + lg doit toujours être de ton ensemble et ne pas en sortir.

Tu utilises implicitement le fait suivant : quand tu t'intéresses à un sous-ensemble d'un espace vectoriel, c'est lui-même un espace vectoriel (avec les lois qui proviennent du plus grand) si et seulement si les combinaisons linéaires restent dedans.

"Les lois qu'on trouves tout le temps", je comprends pas cette phrase.

Je veux dire qu'il y a certains ensembles dont tu as l'habitude depuis longtemps (par exemple l'ensemble des nombres réels, le plan, l'espace R^3, etc...), et si on en parle comme d'espaces vectoriels sans dire quelles sont les lois, il y a toutes les chances pour que la loi interne soit l'addition naturelle que tu as toujours utilisée sur ces ensembles, et de même pour la loi externe.

ok donc par défaut c'est la loi + pour l'interne et x pour l'externe.

Désolé mais je suis lâché depuis les anneaux où les lois sont appelés addition et multiplication sans que ce soit forcement vraiment l'addition et la multiplication.

Oui, au début c'est un peu étrange. Il faut simplement te dire que ce que tu appelais "addition" et "multiplication" aujourd'hui s'appeleront souvent "addition usuelle" et "multiplication usuelle" quand l'ensemble auquel tu t'intéresses est un ensemble dont tu as l'habitude (les nombres réels, les fonctions, etc...), et que les termes "addition" et "multiplication" seront souvent utilisés pour désigner les deux lois de ton anneau, quand bien même ce ne sont pas les usuelles.
 
M'enfin dès que tu comprends qu'il peut y avoir plusieurs choses désignées, c'est pas très compliqué au final de savoir ce qui est quoi (et au pire si ça n'est pas clair une petite question à l'examinateur...).

il faut une virgule avant le "quand l'ensemble..." ?

non

 
donc (A,+,X) n'est pas forcement un ensemble muni de l'addition et de la multiplication que tout le monde connait ?
Si oui pourquoi ne pas mettre (A,*,T) ?
 
Mais dans l'exo suivant:
 

 
On ne sait pas de quel loi est muni E, donc comment savoir si ça peut être un espace vectoriel?

On note (A,+,×) car les propriétés des opérations dans l'anneau sont très proches des propriétés de l'addition et de la multiplication usuelles. On pourrait noter (A,*,T) mais à chaque fois faudrait réfléchir, pour la distributivité notamment, pour savoir comment ça se passe...
Pour l'exercice, si on ne précise pas, c'est l'addition et la multiplication par un scalaire usuelles (à savoir pour tout x, (f+g)(x)=f(x)+g(x)...)

On suppose un minimum de reflexion de la part du lecteur:
L'addition de deux fonctions est connue: f+g: x -> f(x)+g(x)
La multiplication d'une fonction par un scalaire est connue: k.f: x -> k.f(x)
[noter que les notations +, . a gauche et a droite de la -> notent des opérations différentes: a gauche, ce sont des operations dans un ensemble particulier de fonctions de R dans R, et a droite, dans l'ensemble des réels]
On suppose que le lecteur va considérer ces opérations usuelles.
A+,

L'addition des vecteurs n'est pas toujours l'addition habituelle, ni le produit par les scalaires le produit usuel.
Par exemple, on peut prendre pour E l'ensemble des réels > 0.
On définit dans E la loi "+" par  
                        a "+" b = ab (dans le second membre, c'est le produit usuel des réels)
et une multiplication externe par les nombres réels (de signes quelconques) notée "." par :
                        k "." a = a^k (dans le second membre, a exposant k).
Muni de ces deux lois, E est un espace vectoriel sur IR.
Dans la définition formelle de l'espace vectoriel, on garde les notations + et x pour rappeler les exemples usuels, ce qui peut favoriser l'intuition.

ok mais est ce que le "." et le "x" c'est pareil?

Oui, les deux notations désignent la multiplication externe des vecteurs par les scalaires.

Le contenu de ce message a été effacé par son auteur

Une puissance naturelle d'un nombre transcendant est un nombre transcendant.  
Pi est un nombre transcendant. Une puissance naturelle de pi est donc un nombre transcendant. Ce n'est donc pas un nombre algébrique. Comme l'ensemble des nombres rationnels est contenu dans l'ensemble des nombres algébriques, une puissance naturelle de pi ne peut donc être un nombre rationnel.
A+,

ah, tiens, une question à la con : sqrt(2)^sqrt(2), c'est rationnel ou pas ?

 
Personnellement, j'ai commencé par me demander s'il était transcendant. Et puis j'ai eu un doute. Et puis je suis tombé sur ça.
 
Le tient est un cas particulier résolu, voir ici.
 
++

merci

vous savez où est ce que je peux trouver quelqu'un qui veuillent bien m'aider au téléphone ou via skype moyennant finance?
 
Car je suis sur qu'il faut juste un déclic pour que ce soir plus clair les espaces vectoriels.
 

quel genre de finance ?

des sous via paypal.
 
A moins que quelqu'un veuille bien m'aider pour le plaisir d'aider quelqu'un qui veut apprendre.