Reprise du message précédent :
Bonjour, je recherche les développement limités de arctant, arcsin et arcos.

J'ai acheté un bouquin-formulaire pour la sup/spé, et il me semble qu'il y ait des erreurs:
http://www.texify.com/img/%5CLARGE [...] %7D%29.gif

la fin en http://www.texify.com/img/%5CLARGE [...] 2B1%7D.gif  et http://www.texify.com/img/%5CLARGE [...] %7D%29.gif  me semble des plus illogique... Je verrais plutot du http://www.texify.com/img/%5CLARGE [...] %7D%29.gif  ce qui me semble etre vérifié ici

Mon bouquin fait des erreurs similaires à arctan arcsin arccos argth argsin et argcos. Who's right??

ton livre a raison (mais ça n'est pas la seule solution) et tu as tord de penser qu'il a tord.

 Faut se rappeler un minimum de propriétés concernant les développements limités, en particulier celle qui dit que le développement limite d'une fonction impaire ne comportera que des termes en puissance impaire de x, et que le DL d'une fonciton paire de x ne comportera que des termes en puissance paire de x.

 en l'occurance, dans le développement de arcsin (impaire) jusqu'à l'ordre x^(2n+1) les "prochains termes" seront (au moins) de l'ordre de x^(2n+3). on peut donc écrire le DL jusqu'à l'ordre 2n+1 puis ajouter un symbole de landau, au choix O(x^(2n+2)) ("de l'ordre de x^2n+2" : le rapport de ce qu'il reste sur x^2n+2 tend vers k constant quand x tend vers 0) O(x^(2n+3)) ou o(x^(2n+2)) ("négligeable devant x^(2n+2)" : le rapport de ce qui reste sur x^2n+2 tend vers 0 en 0 ) ou o(x^(2n+1)). Les 4 options sont vraies, en particulier, les deux concernant le o.

Okay!! merci joran!!
Si je comprends bien:
- une fonction impaire aura le même DL (excepté le reste) à l'ordre 5 et 6.
- une fonction paire aura le même DL (excepté le reste) à l'ordre 6 et 7.

oui.

Mais je ne comprend pas pour arccos car la fonction n'est ni paire, ni impaire! Et il y a tjrs cette même histoire que je ne comprends pas:

La encore je mettrais un o[x^(2n+1)]...
Même chose pour argth argsh(elles sont impaires donc c'est ok) et argch.

pi/2- cette fonction est impaire, donc on peut appliquer la règle précédente pour son DL.

pareil pour arccos, tu vois que arccos-pi/2 est impaire.

il est difficile de parler de parité de arcch, étant donné que cette fonction est définie sur [1:+l'infini[

Le développement limité d'Arccos est obtenue en intégrant celui de sa dérivée, qui est paire. Le DL qu'on intègre est donc pair lui aussi, ce qui donne un DL ne comportant que des termes impairs, mis à part la constante.

Merci merci!!
Sinon des intégrales/primitives de cotangente, arccos, arcsin, arcth et des fonctions arg, il en existe des simples? J'ai essayé de chercher par des intégration par partie, changements de variables etc jai rapidement bloqué!
Ou alors, intégre t on leur DL?

Pour arcsin, arccos et arctan, tu fais une IPP du style :

arcsin = arcsin x 1, tu dérive arcsin et tu intègres 1 et tu vas trouver des primitives pour tes fonctions (qui dépendent de ces mêmes fonctions)

Edit :
Attention, arcsin et arccos sont définies sur [-1 ; 1] mais dérivables que sur ]-1 ; 1[.
Par contre leur primitives le sont sur [-1 ; 1]

D'ailleurs je me souviens plus d'un truc là    
 
Quand on connait le DL d'une fonction en 0, on le connait aussi en n'importe quel point ?? Si oui comment ?

 
bah non, connaître le comportement d'une fonction en un point ne te donne pas d'information sur un autre point quelconque.
 
 
Mais ce n'est plus la même fonction dans ce cas
 

 
Non, on le connait seulement en 0. Par exemple, le developpement limité en 0 de la fonction x--> ln(1+x) est egal a la fonction seulement entre -1 et 1 bien que la fonction soit definie de -1 à +oo
 
Edit : pour des valeurs superieures a 1, le developpement ne converge plus.

Lien de ma signature: http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 1740_1.htm  
==> Maxima:

 
Ouais c'est ce que mon intuition "graphique" me disait, pourtant je crois que dans le cours on c'est débrouillé pour faire des DL ailleurs qu'en 0 avec les DL en 0, mais c'était ptet des cas particuliers bizars  

@ Ben_be, je te remerci pour ce logiciel!! Il semble ne pas avoir les DL?!

Quelque chose comme ça: Par ex pour la fonction exp, si tu veux le connaitre au point a tu pose y=x-a => x= y+a et donc y tend vers 0 lorsque x tend vers a.

D'où: e^x = e^(y+a) = e^y.e^a puis DL de y en 0. Et je crois que a la fin tu peux remplacer y par x-a.

Développable en série entière plutôt. i.e. C infini + reste de Taylor qui converge comme il faut je crois.
 
Auquel cas tu as les DSE sur tout le disque ouvert de convergence ou un truc comme ça

C'est à vérifier, je suis pas trop matheux.
 
Mais le contre-exemple typique c'est exp(-1/x²) dont toutes les dérivées en zéro sont nulles alors que la fonction est C infini et non nulle en dehors de zéro.

Euh, oui, faut prolonger par continuité en zéro, j'ai oublié de préciser (quand je dis que je suis pas matheux)

tu peux prolonger par continuer la fonction et toutes ses dérivées.

si elle est holomorphe (dérivable par rapport à z, complexe, et pas seulement par rapport à ses parties réelles ou imaginaires etc.), à partir de la connaissance de la fonction et de toutes ses dérivées en 1 point (donc de la fonction sur un ouvert, genre l'intérieur du disque de convergence) tu peux prolonger sur tout C modulo quelque point. L'exemple d'arnaudr ne marche pas justement parce que exp(-1/x^2) n'est pas holomorphe en 0
dans ce cas, si tu te donnes toutes les dérivées en 0 qui valent 0, tu obtient une fonction holomorphe : constante et valant 0 sur tout C

 
Si:

tu démontres que toutes fonction holomorphe sur un ouvert sont développables en séries entière, (et vice versa, mais ça c'est plus facile). Ensuite on a des théorèmes de prolongement. C'est assez hasardeux d'essayer de prolonger des cas particulier, mais on peut avoir de l'espoir.

Bonjour, je viens de faire ma rentrée en PSI, seulement en sup on a vu ce qu'était un groupe, un anneau, un corps, un espace vectoriel mais c'est très flou au niveau de ce qu'est un/une algèbre. Notamment sa caractérisation. Donc si vous pouviez me donner sa définition ainsi que la caractérisation d'un sous-algèbre (distributivité, associativité, commutativité, élément neutre, stabilité ?) merci !

Un algèbre sur un anneau ou sur un corps ?

Sur un anneau. En fait c'est plus la définition qui m'intéresse pour la caractérisation je montre que c'est un espace vectorielle (non vide, stable par CL) ce qui concerne les lois "+" et "." et je montre la stabilité par multiplication, x*y renvoie à l'ensemble de départ quoi.

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Bah si tu veux être vraiment précis, l'expression elle-même n'est pas définie sur [0;pi], mais la fonction est prolongeable par continuité en 0 et pi, donc on le fait.

Sinon, ça marche avec des formules de trigo (tu connais Tchebychev hein ?). Demande si tu veux la solution complète.

edit : tiens, je ne connaissais pas les polynômes de Tchebychev de seconde espèce. C'est exactement tes Qn

Ca se resoud par recurrence sur la propriete (Qn(arccosx) est un polynome de degre n). Ca fait intervenir les polynomes de Tchebychev.
 
La parité se résoud à part, assez simplement.
 
Edit : pas assez rapide  

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Dites, j'ai une question, voilà je vais être amené à faire des maths genre Calculs booléens, tableau de karnaugh et enfaite je me demandais quelle est la calculatrice "idéale" pour quelqu'un en licence d'informatique; je pensais à la ti89 mais le pb c que je trouve ps grand chose comme programme qui pourrait m'aider.
 
J'aimerais avoir votre avis.
 
D'avance merci bcp

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sin((n+1)A)=sin(nA)*cos(A) + cos(nA)*sin(A)
 
Donc Qn(A)=Q{n-1}(A)*cos(A)+cos(nA), ce qui te permet de dire que Qn(A) est un polynôme en cos(A), puisque Q{n-1} et cos(nA) le sont.

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Bah Qn(A) est un polynôme "en cos(A)", donc quelque chose de la forme (somme de k=0 à n) de bk*cos(A)^k
 
En posant X=cos(A) (donc A=arccos(X)), on a un polynôme en X, qui est exactement Qn(arccos(X)).

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J'ai un petit problème de math que je suis incapable de résoudre, j'ai beau tourner le problème dans tout les sens je n'ai absolument aucune idée de comment venir à bout de ceci :
 
Sachant que n est un entier naturel, on pose:
 
A = (4+racine(2))^2n+1
B = (4-racine(2))^2n+1
 
Démontrer que A+B est un entier pair  
 
J'aimerai avoir quelques indices pour me mettre sur la piste, n'ayant aucune idée de la méthode à suivre

Bah tu peux faire un calcul direct en développant comme un bourrin.
 
Ca doit aussi marcher par récurrence, en démontrant en même temps quelque chose sur A-B

 
J'ai tenté de develloper en utilisant le binôme de Newton suite à un MP d'un forumeur (que je re-remercie   ) mais je n'y suis pas arrivé, quant à la récurrence, ça fonctionne au rang n = 0 puisque ça donne 4, mais je n'arrive pas à démontrer l'hérédité
 
En revanche, qu'est ce que tu entends par démontrer quelque chose sur A-B ?

Le calcul bourrin fonctionne bien. Tu développes pour k de 0 à 2n+1, tu sépares en deux sommes pour k pair et k impair. La partie en k pair te donne un entier pair, la partie en k impair va s'annuler.
 
Sinon, par récurrence, tu montre que A{n+1}+B{n+1}=20(An+Bn)+8*racine(2)*(An-Bn)
 
Tu pose donc comme propriété de récurrence : An+Bn est un entier pair et An-Bn est racine(2) fois un entier. Et là ça marche

 
pour le calcul bourrin, je develloppe ceci, en utilisant Newton :
 
A+B = sigma(2n+1, k=0) (binom 2n+1/k) 4^2n+1-k * (racine de 2)^k + sigma(2n+1, k=0) (binom 2n+1/k) 4^2n+1-k * (- racine de 2)^k  
 
Mais je n'arrive pas à pousser plus loin  
J'ai du mal avec le devellopement des "sigma"

 
Tu écris A sous la forme A = sigma (k=0 à n) (binom...) 4^(2n+1-2k)*racine(2)^(2k) + sigma (k=0 à n) (binom...) 4^(2n+1-2k-1)*racine(2)^(2k+1)
 
donc A = un nombre pair + sigma (k=0 à n) (binom...) 4^(2n+1-2k-1)*racine(2)^(2k+1)
 
De même B = un nombre pair + sigma (k=0 à n) (binom...) 4^(2n+1-2k-1)*(-racine(2))^(2k+1)
 
ce qui revient à dire B=un nombre pair - sigma (k=0 à n) (binom...) 4^(2n+1-2k-1)*racine(2)^(2k+1) puisque le -racine(2) n'apparait qu'à des puissances impaires
 
A+B est alors un nombre pair.  
 
AMHA, la solution récurrente est quand même bien plus élégante.

 
je te remercie (ainsi que o_BlastaaMoof_o qui m'a répondu par MP), maintenant je comprend clairement le mécanisme ^^
 
Bon ça a été laborieux mais à ma décharge c'est la première fois que je fais ce type de problème