Reprise du message précédent :
mais enorme quoi! j'm'étais jamais posé la question, et je me lamente tout le tmps pour retrouver ces #*@"!/# de formules... (ouai j'ai jamais réellement eu envie de les apprendre... a l'oral ca la fout mal mais à l'écrit ca passe à l'aise )
d'un coup j'suis tout content la (il en faut peu... )

Hum une petite question sur le calcul des rangs d'une matrices.
En fait, bon j'ai bien compris le principe de la diagonale inférieur (le rang de la matrice est egale au nbre de chiffre différent de zero present sur la diagonale quand tous les chiffres en dessous sont egaux a zero). Masi les problème arrive pour des trucs soit disant evident:  
par exemple comment on voit immédiatement le rang de cette matrice :
1 0 -1
2 0 -2
3 0 -3
(je vois bien quand meme que C1=-C3 , mais en quoi ca aide pour calculer le rang
 
ou encore celle-ci:
1 0  0  0
4 -5 1  -6  
0 5  -1 6
(alors celle ci c'est l'imconpréhension la plus totale)
 
Bon, on m'a deja donné deux trois explications, mais ca reste tjs aussi flou; donc merci d'etre patient si j'ai quelques difficultés de comprehension! (Et c'est pas la peine de resortir la defintion du cours avec "le linéairement indépendant" et tout le blabla qui s'en suit).  
Merci

bah la premiere déja tu sais qu'elle est pas de rang 3
comme y'a pas que des zeros bah tu sais qu'elle est au moins de rang un, il te reste plus beaucoup de choses a montrer....
 
la deuxieme, bah le rang ca peut pas etre 4 vu que t'as que 3 lignes, tu vois qu'elle est de rang au moins 1, apres tu cherches un déterminant 2x2 non nul etc....

moi on m'a appris à faire des opérations élémentaires sur lignes/colonnes (ca donne des matrices équivalentes, donc de meme rang) jusqu'à arriver à quelque chose qui ressemble à l'identité (que des 1 sur la diagonale et des 0 en dessous)
 
donc pour la 1ere par exemple, tu fais  
C2<- C2+C1
C3<- C3+2C1
et ensuite L3 <- L3-3L1  et L2 <- L2-2L1
et comme matrice tu as  
1 2 3
0 0 0
0 0 0
et rulzz
 
pour la deuxieme, je pense que le meme genre de méthode marche, meme si les opérations sont moins evidentes

La reponse je la connais deja c'est une matrice de rang 1, mais pourquoi?????? Blocage total (dsl j'ai vraiment du mal). La deuxième s'en est une de rang 2, mais cette notion de "tu cherches un déterminant 2x2 non nul" me semble des plus obscures....

Ouai j'ai aussi cette méthode mais la les deux matrices données ont deja subit ces oprérations, et on doit "tout de suite" voir le rang de la matrice.... et c'est la que ca coince.
 
EDIT : on peut faire des opératioons sur les colonnes, puis ensuite sur les lignes

il me semble,, tu peux meme les entremeler comme bon te semble je crois
 
jvoudrais pas dire de conneries, donc si quelqu'un peut me corriger en cas d'erreur... (ca peut me servir a moi aussi en + ! )
 
 
EDIT : quand ils disent qu'ils le voient de suite, je pense qu'ils font dans leur tete ce raisonement qui leur parait évident et rapide, et qu'ils balancent ca à l'oral sinon jvois pas oO

 
Vi c'est ça, puisque tu fais des combinaisons linéaires sur des vecteurs de l'image de ton application linéaire représentée par ta matrice dans une certaine base.  
 
Ce qui fait que cela ne change pas le rang de ta matrice.

d'apres mes vieux souvenis quand on cherche a calculer un déterminant on peut le faire mais seulement pour montrer que le déterminant est différent de 0, a vérifier bien sur

ça remaonte à un petit moment mais il me semble que le rang d'une matrice correspond aussi à la dimension de l'espace généré par les vecteurs de la matrice (arrêtez-moi si je dis une c*nnerie).
 
Pour la première il est évident que tous les vecteurs-lignes sont colinéaires, la dimension de l'espace généré est donc 1 .
 
Pour la 2eme, la 2eme ligne est clairement une combinaison linéaire de la 1ere et la 3eme ligne, qui elles sont indépendantes. Donc rang 2.
 
Vieux souvenirs et peut-être grosse c*nnerie.
 
[edit] après une bréve recherche, il semble que mes vieux souvenirs soient fiables.

ouaip c'est ca

 
C'est un théorème.
 
Si tu veux calculer le rang d'une matrice quelconque de M_pq(K), tu extrais toutes les matrices carrées les plus grandes possibles (de taille n = min(p,q) en fait) et tu calcules leur déterminant. Si l'un de ces déterminants est non nul, le rang de la matrice est égal à la taille de cette matrice carrée (n donc). Si tous les déterminants sont nuls, tu extraits toutes les matrices carrées qui sont de taille n-1 et tu recommences.
 
Note que cette méthode est en général beaucoup plus lente que la méthode qui consiste à échelonner connement la matrice.

Pour cos(a+b) et sin(a+b) :
 
exp(a+b) = cos(a+b) + i*sin(a+b)
exp(a+b) = exp(a)*exp(b) = [cos(a) + i*sin(a)]*[cos(b) + i*sin(b)] = cos(a)cos(b) + i*cos(a)sin(b) + i*sin(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i*[sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)]
 
d'où les formules recherchées par identification.
 
Bon ok je suis un peu grillé mais moi je donne les deux formules en une fois.
 

tain la bande de bourrins avec leur pivot de gauss ça se comprend une matrice bourdail
 
bon alors avant de commencer, on va dire pour la première que c'est un endomorphisme d'un espace E muni d'une base (e1,e2,e3)
 
la première matrice est
 

 
ce qui veut dire que :
 
le vecteur e1 est envoyé sur le vecteur 1*e1 + 2*e2 + 3*e3 = (1,2,3) = v1 (on lui donne un nom pcq y va servir )
le vecteur e2 est envoyé sur le vecteur 0*e1 + 0*e2 + 3*e3 = (0,0,0)
le vecteur e3 est envoyé sur le vecteur -1*e1 + (-2)*e2 + (-3)*e3 = (-1,-2,-3) = -v1
 
on rappelle que par exemple vect(e1) = l'ensemble des multiples de e1 = {a*e1 / a € IR } (je préfère la première définition )
et que vect(e1,e2) = l'ensemble des combinaisons linéaires de e1 et e2 = {a*e1 + b*e2 / (a,b) € IR² }
 
on pourrait conclure immédiatement en disant que l'image du vecteur (a,b,c) est a*v1 - c*v1 = (a-c)*v1, donc l'espace image est Vect(v1) (lorsque a et c décrivent IR, a-c décrit IR donc c'est bon) et le rang est 1, mais on va détailler un peu plus :
 
il faut bien comprendre que le fait que le vecteur e1 soit envoyé sur le vecteur v1 implique que vect(e1) est envoyé sur vect(v1). donc de même pour e3, vect(e3) est envoyé sur vect(-v1). seulement vect(v1) et vect(-v1), c'est un peu la même chose et c'est là que le fait que les deux colonnes sont proportionnelles prend son sens ! deux droites vectorielles, indépendantes à la base, sont envoyés sur la même droite vectorielle ! on perd donc une dimension dans l'histoire, le rang n'est plus que de 2 au maximum !
 
seulement, le vecteur e2 est envoyé sur 0, donc on perd complètement la droite vectorielle engendrée par e2 dans l'histoire, donc on perd encore une dimension : le rang est de 1 au mieux. s'il était de 0, on aurait la matrice nulle, ce qui est idiot. donc le rang est 1
 
matrice numéro 2 :
 

 
là encore, on voit 3 vecteurs qui sont envoyés sur un multiple du même vecteur (c'est à dire un multiple de (0,1,-1)), donc ça fait 3 droites vectorielles indépendantes envoyées sur une seule => on perd 2 dimensions, on passe de 4 à 2 (au mieux). donc le rang est au plus 2.
 
est ce que c'est moins ? non ! parce qu'on a deux vecteurs indépendants de l'image : (1,4,0) et (0,1,-1) (l'indépendance est évidente pcq y en a qui a un 0 là où l'autre n'en a pas, et avec ça essaye de trouver l'un = k * l'autre...), ce qui assure un rang au moins égal à 2.
 
donc le rang est 2.
 
sur le coup c'était carrément bourrin de sortir le pivot de gauss junior barbare

bourrain

 
Je vois pas ce que ça a de bourrin. Ça fait exactement ce que tu dis, sans les phrases.
 
Mais je plussoie pour ton explication qui est importante pour comprendre comment ça marche.

mais pas pour comment faire  

si tu sais comment ça marche tu sais comment faire le pivot de gauss est souvent utile quand y a aucune relation de dépendance linéaire évidente, mais sur le coup on voit tout directement

ouaip, mais je pense pas que tu lui aies donné une pure méthode, enfin c'est un avis perso

je lui ai expliqué comment voir le rang sur ces deux matrices là, c'est ce qu'il demandait non ? la méthode générale c'est le pivot de gauss, et ici c'est bourrin...

 
Oui mais quand les relations de dépendance sont évidente, ça va aussi vite avec le pivot de Gauss hein.
 

 
Sinon tu peux dire "on voit clairement que C2 et C3 sont colinéaires, de même que C2 et C4. De plus C1 et C2 sont linéairement indépendantes donc le rang de la matrice est 2". C'est une question de choix à mon avis, ça va pas forcément plus vite que d'écrire une succession de matrices (qui a le mérite d'être beaucoup visuel ).

pour un mec qui a l'air perdu j'pense qu'il vaut mieux parler simplement et en terme de déterminants

on doit pas avoir la même notion de la simplicité alors

bourdail mais ici il ne s'agit pas de rédiger, il s'agit de VOIR, de comprendre en regardant la matrice... tu fais des pivots de gauss dans ta tête toi ?

 
lol, faut pas pousser non plus. S'il cherche une explication intuitive du calcul du rang d'une matrice, celle de double clic me semble adaptée. Je ne vois pas ce qu'il y a d'intuitif avec les déterminants.

c'est a lui qu'il faut demander, moi son truc je le rédige clairement en 2 lignes

 
Ok ok pour "voir". Mais bon ça dépend aussi de la définition que tu donnes du rang d'une matrice. Si donnes celle qui est "dimension de l'espace image" en effet en revenant à chaque fois à des applications linéaires, c'est plus clair pour expliquer ce qui se passe. Si la définition est simplement "le nombre de colonnes (ou lignes selon) non nulles quand on échelonne la matrice" (qui tombe du ciel je te l'accorde), alors le pivot est tout ce qu'il y a de plus visuel.

c'est juste que pour résoudre un exo jp'ense que c'est plus rapide de le faire par les déterminants

bah étant donné que les deux définitions sont équivalentes, et qu'ici on cherche une méthode pour voir le rang sans aucun calcul, ça en laisse qu'une de valable... les applications linéaires je les ai introduites que pour expliquer pourquoi le fait que les colonnes proportionnelles faisaient "perdre" de la dimension, une fois que tu as compris ça tu n'y penses plus quand tu regardes ta matrice, tu cherches juste les colonnes proportionnelles.

 
Passer par le déterminants des matrices extraites pour calculer le rang d'une matrice c'est pas tout ce qu'il y a de plus lent sauf cas particuliers ?  
 
Surtout que là on voit immédiatement sur les colonnes que le rang est 2 (ça ne dispense pas de justifier bien sûr), alors lui parler de déterminants 2x2 (d'ailleur t'as montré que tous les déterminants 3x3 étaient nuls ? ), c'est lui compliquer la vie.

le rang d'une matrice c'est la taille du plus gros déterminant non nul qu'on peut extraire, on est d'accord??
 

c'est peut être vrai, mais j'ai jamais vu ça ni en sup ni en spé, et de toute manière le calcul de déterminants est tout sauf intuitif et agréable

 
Joli truisme.
 

 
Une fois que t'as compris que le rang c'est le nombre de colonnes (ou lignes) non nulles dans une matrice échelonnée, tu cherches juste les colonnes (ou lignes d'ailleur ce qui n'est pas évident avec la vision "applications linéaires" !) proportionnelles, c'est pareil.

 
Oui et le plus gros déterminant qu'on puisse extraire de la deuxième matrice c'est des déterminants 3x3.

hem, t'as raison la, ca fait quelques temps que j'ai pas pratiqué sur des trucs comme ca, bah on voit une triangulaire sup 2x2 en bas a gauche donc c'est au moins égal a 2, on sait que ca peut pas etre plus de trois, bon apres on grille qu'a chaque fois y'a une colinéarité.... la ca revient au meme que ce que vous faites

c'est vrai qu'on peut faire aussi sur les lignes d'ailleurs, quand j'y pense, question con comme ça, le rang il est invariant par transposition non ?  
 
enfin pour moi la vision application linéaire et dimension de l'espace engendré est de loin la plus intuitive, maintenant tout le monde n'a pas la même notion d'intuitivité... alors bon chacun le voit comme il le préfère, l'important c'est que ça soit compris

 
Oui, une justification se trouvant dans la première partie de ta phrase.

je m'en doute bien c'était idiot ma question je sais mais j'avais un doute jsais pas pourquoi donc la vision application linéaire marche ici aussi, tu transposes et ça marche bon ok faut juste justifier que la transposition ne change pas le rang

Les opérations de type I (échange de deux lignes) changent le det d'un signe, et les opérations de type III (ajout à une ligne d'un multiple scalaire d'une autre) ne changent pas le déterminant.

ouaip mais tu as le droit de changer deux lignes puis deux colonnes?? c'était ca sa question

C'est même plus que ça : le rang-ligne c'est le nombre de lignes non-nulles dans une forme ligne-échelonnée, le rang-colonne c'est le nombre de colonnes non-nulles dans une forme colonne-échelonnée. On peut montrer que les deux sont égaux, et ce nombre est alors appellé le rang.
 
Ensuite, on montre qu'il est égal à la dimension de l'espace image de l'application linéaire associée (après choix d'une base).