Reprise du message précédent :
double clic >
j'ai une autre idée de contre-exemple
U : fonction créneau
 
tu prends fn(x)=U(n)-U(n+1) (en gros fn est nulle sur [0,n], vaut 1 sur [n, n+1] et vaut 0 sur [n,+oo[
elle est discontinue (si tu dérives t'as des Dirac en n et en n+1)
 
on est d'accord que qq soit n, l'intégrale de fn vaut 1 (un carré de coté 1)
 
soit f=lim fn (bon tu imagines un carré foutu à l'infini)
ben lim f(x) = 1 (quand x ->+oo)
 
bref f est intégrable sur R et admet 1 comme limite
 
hum...

Juste une question qui m'a été posée à l'oral tipe des ens et à laquelle je n'ai pas réfléchi depuis : comment est définie la distance (usuelle) entre deux parties de R^2.
 
Je m'étais lamentablement embrouillé entre les min les inf et les sup mais je n'étais pas abouti à une définition claire.

 
Distance usuelle : d(A,B) = inf{d(x,y)|x\in A, y \in B} (c'est pas une distance sur l'ensemble des parties : si un ensemble est inclus strictement dans un autre, la distance entre les deux est nulle)
 
Distance de Hausdorff : d_H(A,B) = inf{e > 0 | A \subset B_e et B \subset A_e} où A_e désigne l'ensemble des points dont la distance à A (au sens de l'inf) est plus petite que e. Si l'on se restreint aux compacts non vides, c'est une distance (si on ne prend que les fermés elle peut être infinie). En fait ça se généralise : les fermés bornés d'un espace métrique munis de la distance de Hausdorff forment un espace métrique. Il hérite de la séparabilité (existence d'une partie dénombrable et dense), de la complétude, et de la propreté (un espace est propre si les fermés bornés sont exactement les compacts).  
 
Il y a d'autres notions, dont la très importante distance de Gromov - Hausdorff qui généralise Hausdorff : c'est une distance sur les classes d'isométries des espaces métriques compacts. Gros travail de Gromov depuis quelques années là-dessus.

je comprends pas ce que ça veut dire subset  
merci

je me rappelle un td en spé sur les espaces ultramétriques .
c'est lié à la distance de Haussdorf , non ?

mouais pourquoi pas d'un autre côté, on peut dire que quelque soit n, la limite de fn(x) est 0, donc le passage à la limite il est assez litigieux j'imagine que dans ce cas, faut passer par les epsilon, mais je vois pas trop comment s'en dépatouiller
 
si la limite était 1, alors on aurait :
 
pour tout epsilon > 0, il existe x0, tel que quelque soit x > x0, |x-1| < epsilon
 
le x0 tend vers l'infini dans ce cas, parce que si je prends epsilon = 1/2 on est bien emmerdés pour faire rentrer la fonction là dedans

ça doit être du TeX, mais je me rappelle plus à quelle commande ça correspond

"l'assertion <math>A \subset B</math> signifie "l'ensemble A est un sous-ensemble ou est égal à B" alors que dans la litérature mathématique anglophone, il signifiera plutôt "l'ensemble A est un sous-ensemble strict de B"."

Ca dépend même pas mal de la litterature anglo-saxonne en question, y'en a pour tous les goûts

Oui bon tu poses f=lim fn alors qu'à mon sens ta suite de fonctions fn n'a pas de limite...

bah oui, parce que là c'est pareil que de dire que cos a une limite en +inf

oue c'est un peu capillotracté
 
mais faudra que je redemande à un prof de maths, y'a un exemple célèbre qui ressemble à ce que je viens de dire où l'on envoie un carré à l'infini avec des homothéties et des translations
 
bref

En coordonnées homogènes (sur le quotient de IR^4 \ {0} par x~y <=> x = ly, l \in IR, enfin l'espace projectif quoi) peut-être, parce que sinon je vois pas

Une petite question: lorsqu'une série et une intégrale sont de même nature et qu'elles convergent, la somme de p à +oo et l'intégrale sur [p,+oo[ ont même valeur?

salut,jai un trou de meemoire,quel etait linteret de connaitre la norme triple dune matrice?

Non

Petite question de niveau Ts  
 
Je dois trouver la période de cette fonction:  
 
f(x) = 2sin(3x)-3cos(2x)+6sinx  
 
Je pensais en sachant que les fonctions sin et cos sont 2pi périodiques, j'en est déduit que:
2sin(3x) est 2pi/3 périodique
-3cos(2x) est pi périodique
6sinx est 2pi périodique
 
mais après pour en déduire la période de la fonction?
 
Parcequ'en général on nous demande de montrer qu'une fonction est périodique en utilisant la relation f(x+p) = f(x)
 
Mais là, dans ce cas je ne vois pas trop  
 
Donc si quelques âmes charitables peuvent m'éclairer   ....

période 2pi, vu que c'est le plus petit multiple commun à 2pi/3, pi et 2pi

 
 
merci merci!    
 
 

Question sur les distances qui m'avait tracassé quand je faisais mon tipe et à laquelle je repense maintenant je sais pas trop pourquoi :
 
J'étudiais les courbes de Von koch (flocon) de dimension 4/3 .
Je disais que les courbes de von koch (après n occurences de l'opération consistant à remplacer chaque trait de longueur x par 4 traits de longueur x/3 ...) tendaient vers le flocon (qui est la fractale de Von koch) mais je me demande pour quelle distance on pouvait dire ça et surtout comment mesurer la distance entre deux occurrences successives de la construction et avec la courbe "finale".
 
Merci

C'est une application assez directe de ce que j'ai dit au dessus : c'est pour la distance de Hausdorff, la suite des itérées de Von Koch forme une suite de Cauchy (pas dur à montrer). Par complétude, elle converge. Pour les distances, il est trop tard pour que je me hasarde à un calcul

merci

hello.
 
Halvas, la limite de l'intégrale des fn est 1 et et l'intégrale de la limite des fn est zéro.
 
les fonctions fn convergent ponctuellement vers la fonction nulle (uniformément sur tout compact aussi blabla...)
Elles ne confergent uniformément vers rien du tout sur [0,+oo[. donc pas d'interversion d'intégrale et de limite avec riemann.
Idem avec lebesgue, pas de convergence dominée parceque  la seule focntion qui les domine c'est 1.
C'est un classique pour illustrer le fait qu'il faut prendre des précautions pour intervertir le signe somme et la limite.
 
Ce que dit double Clic se prouve simplement:
si f a pour limite L>0 en +oo, alors il existe A tel que f(x)>L/2 pour x>A. Reste plus qu'a intégrer l'inégalité entre A et +oo pour voir que l'intégrale de f est +oo sur [A;+oo[.

 
Hello.
D'après la définition de Stephen (distance de hausdorff, je connaissais pas), tes flocons qui sont bien compacts convergent vers la fractale finale.
Si Kn est le flocon à l'étape n, la distance de hausdorff entre Kn et Kn+1 est d(Kn,Kn+1)=(sqrt(3)/2)*(1/3^(n+1)) parcequ'on rajoute un petit triangle équilatéral de coté (1/3^(n+1)) et donc de hauteur (sqrt(3)/2)*(1/3^(n+1)).
Au final, si K la fractale, et avec l'inégalité triangulaire:
d(Km,K)< somme_sur_n>m_de:d(Kn,Kn+1) qui est fini et tend vers zéro lorsque m tend vers l'infini comme reste d'une série géométrique de raison 1/3. (ca ressemble serieusement a la dem du th du pt fixe pour des fctions k-contractantes)
reste a trouver la valeur exacte de d(Km,K)...

tout le monde s'en fout mais en fait avec un dessin, on voit que d(Kn,K)=d(Kn,Kn+1)=(sqrt(3)/2)*(1/3^(n+1)).

merci !
 
Moi je m'en fous pas et je suis désolé si ça a gêné les autres .

ok, je me doute bien que tu t en branle, c pas grave tu sais
moi ca m amuse bien.

J'aurais pas répondu si je m'en branlais
mais bon peut être que tu es un espion et que tu lis (mal) dans mes pensées!
 
Je te dis merci vraiment : je n'aurais pas posté au départ sinon

desole, je ne le pensais pas !  non ! Reviens S IL TE PLAIT!
p.s. ne te fie pas a ce que j'ai ecrit parceque g peut etre compris completement de travers cette distance de hausdorff !

Je te fais confiance pour ce que tu as écrit (tu vois, je suis revenu )
En fait je voyais bien ce que pouvait être la distance mais je n'arrivais pas à le formaliser d'où ma question sur le topic (je remercie à nouveau stephen).
Voila!  
je crois qu'on a fait le tour de la question, je vais me coucher    
Bonne nuit

citation----------------------------------------------------
je me rappelle un td en spé sur les espaces ultramétriques .
c'est lié à la distance de Haussdorf , non ?
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une distance ultramétrique c une distance telle que:
d(x,z)<=Max{d(x,y),d(y,z)} pour tous points x, y, z.
l'exemple classique c'est dans Z ou tu prends un nombre premier p et tu définis une valeur absolue pour tout n entier relatif:
|n|=p^(-vp(n)) ou vp(n) est la puissance de p qui intervient dans la décomposition de n.
quand on a une vateur absolue, la distance de x à y c'est |x-y|.
Tu vérifie, c bien ultramétrique.
 
tu vérifie aussi que pour des singletons, hausdorff c'est la distance usuelle, pas ultramétrique.

d'abord, cette distance de hausdorff, je la regarde que pour des compacts, les inf et les sup existent et sont des min et des max.
 
ce que j'ai compris personnellement de la distance de hausdorff c'est que c'est la distance du point le plus éloigné d'un des 2 ensembles à l'autre ensemble.
 
exemples:
deux disques concentriques de rayons r<R.
leur distance, c'est la distance entre le bord du gros disque et le petit disque : R-r.
 
deux disques de meme rayon r et dont les centres sont éloignés de d:
la distance est celle entre le point le plus a droite du disque de droite et le disque de gauche, i.e.: d.
 
allez, bonne nuit.

Je vérifie pas tes calculs, mais ça m'a l'air correct dans le principe. Par contre, tu ne sais pas à l'avance que la limite existe, tu supposes la convergence non ? Bon, ton raisonnement montre que la suite est de Cauchy, et la complétude (héritée de celle de IR^n) fait le reste, donc à petite phrase près je n'ai rien à dire  
 
Comme cela à l'air de t'intéresser : pour la distance de Hausdorff (et plus généralement pour les espaces d'espaces métriques) : Analysis in Metric Spaces, Burago, Burago, Ivanov

/Merci, donc j'avais inventé un nouveau théorème faux

J'ai une autre question...  
 
J'arrive pas à montrer à partir tjs de f(x)=2sin(3x)-3cos(2x)+6sinx
que x=pi/2 est un axe de symétrie  
 
il faut avoir je pense f(pi/2+x)=f(pi/2-x)
 
Mais comment démontrer que:
 
2sin(3pi/2+3x)-3cos(pi+2x)+6sin(pi/2+x)=2sin(3pi/2-3x)-3cos(pi-2x)+6sin(pi/2-x)

 
ben formules de trigo :
 
2sin(3pi/2+3x)=-2cos(3x)
-3cos(pi+2x)=3cos(2x)
6sin(pi/2+x)=6cos x
 
pour l'autre membre :
2sin(3pi/2-3x)=-2cos(3x)
-3cos(pi-2x)=3cos(2x)
6sin(pi/2-x)=6cos x

Hello.
J'ai effectivement utilisé sans le voir la complétude (que tu avais précisée) de l'espace des compacts munis de la distance de hausdorff pour affirmer l'existence et la compacité de la fractale finale.
 
sinon, merci pour la référence !

Quelqu'un pourrait m'aider a trouver l'intégrale de:
 
Int(1/(cos²5x)dx) en utilisant un changement de variable ?

 
tu me rappelles la dérivée de tan(x) ?

1+tan²(x)