Fil maths terminale/sup

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Auteur	Sujet : Fil maths terminale/sup

kuartin

Reprise du message précédent :
:jap:

Spoiler :

Il fallait en effet utiliser la non dérivabilité de x->|x| en 0.

Par contre :

Spoiler :

C'est la fonction x->|x-ai| et pas x->|x-i|. Faute de frappe certainement .
Mais sinon tu n'es pas obligé de débuter la rédaction directement par un raisonnement par l'absurde :

Notre famille est (fi)i dans IN.

Soit (fj) j variant dans [1,k] (avec k>=1) une sous famille finie de (fi), et (ej) des réelles tq sum( ej*fj, j de 1 à k) = 0.
Donc e1*f1 = - sum (ej*fj, j de 2 à k). Or sum( "" ) dérivable en a1 (les ai sont distincts deux à deux) et e1*f1 ne l'est pas => e1=0.
On itère l'opération => pour tout j de 1,k : ej=0.
Vrai pour toute sous famille finie, donc par définition la famille (fi) est libre dans C(IR, IR).

Il y a pas mal d'autres exemple : (x->exp(ai*x)), (x->x^ai) avec ai>=0 etc... C'est toujours un peu la même chose après.

Message cité 1 fois
Message édité par kuartin le 10-05-2009 à 16:28:29

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mystiko

kuartin a écrit :

:jap:

Spoiler :

Il fallait en effet utiliser la non dérivabilité de x->|x| en 0.

Par contre :

Spoiler :

Il y a pas mal d'autres exemple : (x->exp(ai*x)), (x->x^ai) avec ai>=0 etc... C'est toujours un peu la même chose après.

Okay :jap:
Si t'en a d'autres, j'suis preneur

Message cité 1 fois

jadou2291

mystiko a écrit :

Okay :jap:
Si t'en a d'autres, j'suis preneur

t'en as d'autres du même genre avec intégrale et suite ?

---------------
Topic vente : https://forum.hardware.fr/forum2.ph [...] #t15273601

System211

J'ai un exo sympa à proposer pour les terminales particulièrement. :jap:

Indication (à ne lire que si vraiment vous ne voyez pas par où commençer :jap: ) :

Spoiler :

(x-y)² = |(x-y)(x-y)|

Message cité 1 fois
Message édité par System211 le 11-05-2009 à 19:12:44

System211

C'est pas marrant si je le dit. :jap:

Message cité 1 fois

System211

J'ai rajouté une indication.

s@ms

sto bbq alg

Spoiler :

|f(x) - f(y)| =< |(x-y)(x-y)|
<=> (|f(x) - f(y)|)/|(x-y)| =< |(x-y)|

on pose:
x=a+h
y=a

d'où:

(|f(a+h) - f(a)|)/|h| =< |h|

alors:
quand h->0

f'(a) =< 0

on integre.

pour l'instant c'est bon [:strelok] ?

Message cité 1 fois

System211

s@ms a écrit :

Spoiler :

|f(x) - f(y)| =< |(x-y)(x-y)|
<=> (|f(x) - f(y)|)/|(x-y)| =< |(x-y)|
OK jusque là c'est la bonne voie, mais tu dois encore trafiquer la valeur absolue (question de rigueur pour après, rien de bien méchant)

on pose:
x=a+h
y=a

d'où:

(|f(a+h) - f(a)|)/|h| =< |h|

alors:
quand h->0

f'(a) =< 0

on integre.

Du coup c'est incorrect, mais y'a de l'idée. :jap:

pour l'instant c'est bon [:strelok] ? Voir spoiler

s@ms

sto bbq alg

Spoiler :

je vois pas en quoi la bidouille des valeurs absolus peut apporter qque chose.
jcontinue à chercher

Message cité 1 fois

System211

s@ms a écrit :

Spoiler :

je vois pas en quoi la bidouille des valeurs absolus peut apporter qque chose.
jcontinue à chercher

Spoiler :

Non mais c'est tout bête : la t'as |a| / |b|. Tu peux pas simplifier juste un peu ?

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s@ms

sto bbq alg

bon alors, je trouve ça:

Spoiler :

|(f(x)-f(y))/(x-y)| =< ||a|-|b||=<|a-b|

mais je sais pas quoi faire avec.

Message cité 1 fois

System211

s@ms a écrit :

bon alors, je trouve ça:

Spoiler :

|(f(x)-f(y))/(x-y)| =< ||a|-|b||=<|a-b|

mais je sais pas quoi faire avec.

Spoiler :

Tu t'éloignes, refais ton raisonnement avec cette fois-ci |(f(x)-f(y))/(x-y)|. :jap:

Message édité par System211 le 11-05-2009 à 20:49:45

s@ms

sto bbq alg

Spoiler :

on pose x=y+h
0 =< |(f(y+h)-f(y))/h| =< |h|

System, ne dis rien. je sens que je chauffe [:shay]

je continue:

Spoiler :

si h -> 0:

f'(y)=0

donc l'ensemble des fonctions f est tel que f'(y)=0 <=> f(y)= C où C € IR

c'est bon là?

Message cité 1 fois
Message édité par s@ms le 11-05-2009 à 21:01:24

System211

s@ms a écrit :

Spoiler :

on pose x=y+h
0 =< |(f(y+h)-f(y))/h| =< |h|

System, ne dis rien. je sens que je chauffe [:shay]

je continue:

Spoiler :

si h -> 0:

f'(y)=0

donc l'ensemble des fonctions f est tel que f'(y)=0 <=> f(y)= C où C € IR

c'est bon là?

GG [:implosion du tibia]
Enfin bon t'as un peu parachuté le résultat.

s@ms

sto bbq alg

la version rigoureuse donne quoi?

Message cité 1 fois

System211

s@ms a écrit :

la version rigoureuse donne quoi?

Je tape la solution, je le poste dès que j'ai fini :jap:

Edit :

[:elwe calafalas] s@ms qui a trouvé la solution et mention à nans' qui était sur la bonne voie.

Solution

Les relations d'équivalences ne sont pas toujours rigoureuses, mais c'est pour aller plus vite. Bon c'est parti :

Pour tous (x,y) € IR², avec x différent de y :

$http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%7Cf%28x%29%20-%20f%28y%29%7C%20%5Cleq%20%28x-y%29%5E2%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20%7Cf%28x%29%20-%20f%28y%29%7C%20%5Cleq%20%7C%28x-y%29%28x-y%29%7C%5C%5C%5CLeftrightarrow%20%7Cf%28x%29%20-%20f%28y%29%7C%20%5Cleq%20%7Cx-y%7C%20%7Cx-y%7C%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%20%7B%7Cf%28x%29%20-%20f%28y%29%7C%7D%7B%7Cx-y%7C%7D%20%5Cleq%20%7Cx-y%7C%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20%7C%20%5Cfrac%20%7Bf%28x%29-%20f%28y%29%7D%7Bx-y%7D%7C%20%5Cleq%20%7Cx-y%7C%20.gif$

Cette inegalite doit être vérifiée pour tous réels x,y. On fixe alors y dans R. On fait tendre x vers y et on obtient :

$http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%5Clim_%7Bx%5Cto%20y%7D%20%7C%5Cfrac%7Bf%28x%29-f%28y%29%7D%7Bx-y%7D%7C%20%5Cleq%20%5Clim_%7Bx%5Cto%20y%7D%20%7Cx-y%7C%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20%7Cf%27%28y%29%7C%20%5Cleq%200.gif$

Or, une valeur absolue ne peut être négative.
Donc on a forcément f'(y) = 0 quelque soit y dans R.
Donc par intégration, f doit être une fonction constante.

Réciproquement on vérifie bien que toute fonction constante, c'est à dire de la forme f(x) = k (k € IR), est solution.

Message cité 2 fois
Message édité par System211 le 11-05-2009 à 22:12:15

System211

C'était pas si dur finalement, la preuve : s@ms a eu 10/20 au bac blanc de maths [:hahaguy]

s@ms

sto bbq alg

merci. :jap:

et jvous l'ai dit, j'ai fait la moitié, j'ai eu la note que je méritais. [:biiij]

Profil supprimé

System211 a écrit :

T'as solution n'est pas rigoureuse. Si |x-y|=0, tu ne peux pas diviser par |x-y| dans tes deux dernières équivalences. Rigoureusement, il faut distinguer les cas |x-y|=0 et |x-y|!=0.

Message cité 1 fois

mystiko

On cherche les fonctions de IR dans IR continues vérifiants :
pour tout (x,y)€IR² f(x+y)=f(x)+f(y)

C'est un classique

Message cité 3 fois

Profil supprimé

mystiko a écrit :

On cherche les fonctions de IR dans IR continues vérifiants :
pour tout (x,y)€IR² f(x+y)=f(x)+f(y)

C'est un classique

Expo

Édit: mince j'ai mal vu daube d'itouch

Message cité 2 fois
Message édité par Profil supprimé le 11-05-2009 à 21:50:13

jadou2291

c'est un + aussi

edit: :jap:

Message édité par jadou2291 le 11-05-2009 à 21:50:36

---------------
Topic vente : https://forum.hardware.fr/forum2.ph [...] #t15273601

s@ms

sto bbq alg

démo

mystiko

exp(a+b) = exp(a)+exp(b) [:implosion du tibia]

s@ms

sto bbq alg

han j'ai trouvé

Profil supprimé

Ln(2+2)=ln(2)+ln(2)

:sol:

Message cité 1 fois

s@ms

sto bbq alg

Spoiler :

f(x+y)-f(x)=f(y)

On fixe x dans IR, et on tend y vers 0, d'où:

f(x)-f(x)=f(0)
f(0)=0

<=> f(x)=Cx où C € IR

cay bon ?

Message cité 2 fois

Profil supprimé

Toi tu mérites des baffes

Message cité 1 fois

s@ms

sto bbq alg

c'est une singularité. il a raison.

Message cité 1 fois

mystiko

s@ms a écrit :

Spoiler :

f(x+y)-f(x)=f(y)

On fixe x dans IR, et on tend y vers 0, d'où:

f(x)-f(x)=f(0)
f(0)=0

<=> f(x)=Cx où C € IR

cay bon ?:o

Non

Message cité 1 fois

System211

Effectivement :jap:

mystiko a écrit :

Non

[:blessure]
s@ms, la technique des limites ne marchera pas à tous les coups. [:bledi51]

s@ms

sto bbq alg

pourtant ça marche

edit:

ouai system, c'est la demo faite à l'arrache et bien foireuse. me suis inspiré de ce que j'avais encore en tête. [:strelok]

mais au final ça marche quand meme

Message cité 1 fois
Message édité par s@ms le 11-05-2009 à 22:12:57

System211

s@ms a écrit :

pourtant ça marche

D'après mystiko, non [:fading]

Message cité 1 fois

Profil supprimé

s@ms a écrit :

c'est une singularité. il a raison.

Oui c'est vrai, ca peut aussi ce faire avec 2 ln 2 d'ailleurs non ?

Message cité 1 fois

mystiko

C'est la bonne réponse mais je suis très loin d'accepter ta demo (que je n'ai même pas compris) :jap:

Message cité 1 fois

s@ms

sto bbq alg

System211 a écrit :

D'après mystiko, non [:fading]

Spoiler :

bah si f(x)=x, alors f(a+b)=a+b=f(a)+f(b)
donc ça marche pour toute fonction linéaire

bah ln2 + ln2 = 2ln2

Message cité 1 fois

s@ms

sto bbq alg

mystiko a écrit :

C'est la bonne réponse mais je suis très loin d'accepter ta demo (que je n'ai même pas compris) :jap:

ok. :jap:
je m'y remet pour ameliorer ça.

mystiko

Je donnerai sûrement un indice ou un fil conducteur demain, c'est pas forcement évident la méthode

Message cité 1 fois

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