Soit U une suite réelle.
Supposons U non majorée. On pose phi(0)=0 et phi(n+1) = inf{k>n / Uk >= Uphi(n)}.

Sinon, soit Mn = sup{Uk / k >= n}.  M est une suite décroissante.
Supposons M non stationnaire à partir d'un certain rang.
Aux indices phi(n) où M change de valeur, Mphi(n) > Mphi(n)+1 et Uphi(n) = Mphi(n).
La suite extraite est strictement décroissante.

Sinon, M est stationnaire à partir d'un certain rang. Il suffit d'approcher la valeur de M avec des valeurs de U de plus en plus près pour obtenir une sous-suite croissante.

Soit P un tel polynôme de degré d.
On caractérise P par P(0), ..., P(d) qui sont des entiers.
On est ramené aux polynômes interpolateurs associés à {0, ..., d} :
Li(X) = produit {(X-k)/(i-k)}, k différent de i.
grâce aux coefficients binomiaux, on montre que les Li envoient Z sur Z (fastidieux à écrire).
 
Conclusion : les polynômes de degré d solution sont ceux qui sont combinaison des Li, avec des coefficients entiers.
 

ça marche mais c'est fastidieux
il y a une base mieux adaptés au problème (et au problème dans IZ[X] en générale je pense)
la base des H_k = k parmi X (défini avec les factoriels, ça revient au produit des (X-i) pour i de 0 à k-1 le tout diviser par k!
c'est un coefficient binomial sur IN et sur IZ en faisant un petit changement de signe c'est aussi un entier
et l'intéret d'avoir cette base des H_k c'est d'avoir H_k(X+1) - H_k(X) = H_k-1(X) c'est la même preuve avec les factoriels que sur les entiers
du coup, on raisonne par récurrence, quand P de degré n+1 envoie IZ sur IZ, on l'écrit dans la base des H_k, on en déduit P(X+1)-P(X) envoie aussi IZ sur IZ mais est de degré égal à n donc par hypothèse de récurrence P a des coeff entiers sur la base des H_k : on récupère le terme constant avec P(0)
donc on a la même conclusion mais dans la base des h_k

En connaissant les polynômes de Hilbert ça se fait effectivement facilement, mais sinon c'est nécessairement fastidieux

entre le cas où M est atteint un nombre infini de fois par la suite ou pas.
Dans le second cas, il faut éviter de prendre des termes de la suite égaux à M.

Soit n un entier.
Soient A1 et A2 deux ensembles disjoints de n éléments, N le nombre de parties de à n éléments.
 

• D'une part, N = [nombre de parties à n éléments de A] = C(n,2n)
• D'autre part, il y a bijection entre l'ensemble des parties de A à n éléments et la réunion des produits des parties de A1 à k éléments et des parties de A2 à n-k éléments, donc N = _k C(k,n) C(n-k,n).

n conclut avec C(k,n) = C(n-k,n).

utiliser le binôme de Newton

commencer par prouver qu'un peu plus généralement :
 
sigma(C(p,k)*C(q,n-k) ,k=0,k=n) = C(p+q,n)
 
avec la convention C(a,b)=0 si b>a.
 

(1+x)^n = c(k,n) x^k
On dérive :
n*(1+x)^{n-1} = k*c(k,n) x^{k-1} (somme à partir de k=1)
Avec x = 1, on trouve n*2^{n-1}.  

sinon on utilise C(n,k)=n/k*C(n-1,k-1) pr k non nul

Chercher f sous la forme d'un produit scalaire

1/ Pour les éléments de la forme cste/2^k par récurrence
2/ G={x tq x=cste/2^k} est un sous groupe de IR qui ne s'écrit pas comme aZ donc il est dense dans IR
3/ D'où l'extension à IR

EDIT: Ou plus simplement pour 2 on utilise la suite d'éléments de G en prenant x réel x_n=E(x*2^n)/2^n qui tend vers x.

f peut trivialement être considérée comme un produit scalaire avec un élément y de E.
 
Soient F_1, ..., F_n les orthogonaux respectifs de x_1, ..., x_n dans E.
 
Comme il existe toujours y dans E n'appartenant à aucun des F, la fonction g(y)=<y|x_1>*...*<y|x_n> n'est jamais nulle.
Cette fonction g
 
Soit ~ la relation d'équivalence sur {1, ..., n} suivante : i~j <=> F_i=F_j.
 
Disjonction de cas.
 
1) Toutes les classes d'équivalence de ~ sont de cardinal pair.
 
Alors la fonction g est de signe constant.
 
Il est de signe positif si S=
/sum_{I classe d'équivalence de ~} \sum_{i\in I} 1 si <x_{min I}|x_i> est positif, 0 sinon
est pair, négatif si S est impair.
 
2) Sinon, soit I une classe d'équivalence de ~ de cardinal impair.
 
Posons i = min I
Il existe u appartenant à F_i qui n'appartient à aucun des autres F. Comme l'union des autres F est fermée, u a même un voisinage U=B(0, neta) disjoint de tous les autres F.
Soit epsilon>0 tel que u+epsilon x_i appartient à U
g(u-epsilon*x_i) et g(u+epsilon*x_i) ont des signes différents et sont non nuls. L'un des deux est donc strictement positif, ce qui conclut.
 
Conclusion : sauf dans un cas très particulier ça existe

G est commutatif ssi est un morphisme.

montrer :