Reprise du message précédent :
Soit A€ Mn(R). On suppose qu'il existe k € N tel que  A^(k+1) = transposée(A)
 
Montrer que A est diagonalisable sur C.

Tu es sûr de ton affirmation?  
 
 
Pour moi c'est faux... Peut-tu developper un peu plus ta preuve?

Mais elle ne sont pas cotrigonalisables en base orthonormée... On n'a pas trans(P)=P^-1

 
avec Gram-Schmidt tu peux les prendre unitaire je pense

Gram-Schmidt dans le corps des complexes...

En tout cas c'est bon pour Victor  

 
en adapté

Bonjour
 
Je risque de pas mal vous déranger dans les jours qui viennent, je m'excuse d'avance
Je ne vois pas comment faire un exercice de TD, c'est le 2.3

En fait, je ne vois pas trop comment calculer la valeur des sommes partielles. Moi je suis habitué à trouver les natures des séries en cherchant un équivalent, ou avec Cauchy, d'Alembert et ce genre de théorèmes, si quelqu'un pouvait éclairer en m'indiquant par exemple comment faire pour la première.
 

Trivial.
Au hasard la 5.
 
C'est une série géométrique de raison 1/2.
 
La 2. sommer les ln c'est faire le ln du produit.
Or 1+1/n=(n+1)/n donc ca va faire un produit telescopique.
 
etc.

La 1 tu fais la quantité conjugué jpense.

Merci
 
J'ai du mal à voir le truc pour la 3, ça la l'air d'être la même méthode que pour la 2 je mets le produit dans un ln et ca donne un truc de la forme : ln [(3/4)(8/9)(15/16)(24/25)...( [(n+1)² - 1] /(n+1)²) ] et ça ne m'évoque pas grand chose

 
ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

Merci

Merci, bon sang mais j'ai vraiment du pain sur la planche, je me pensais plus fort que ça.
J'ai un doute sur la manière de conclure en fait, par exemple pour la 2. je trouve que la valeur de la somme partielle est ln(n) et vous dites quoi après ? Que comme c'est croissant et que ce n'est pas "borné" la série diverge  ?

Edit: J'ai oublié de cliquer sur envoyer...

Et je suis desolé Arkin mais je n'arrive pas à voir en quoi cette forme m'aide.... J'ai essayé de l'écrire sous la forme ln(1 - 1/1+n) + ln(1 + 1/1+n) mais c'est pas limpide à mon esprit.

Tu trouves que ta somme partielle vaut un truc qui diverge... (jusqu'à preuve du contraire ln tend vers +oo en +oo)
Donc la série diverge.

Après c'était trivial sans calcul explicite comme demandé dans le truc. En effet ln(1+1/n)~1/n.

En effet
Je bloque vraiment sur la trois 3. en fait, et pour la 4. je vois pas quoi faire de la décomposition en élément simple

 
avec ce que j'ai mis t'as une somme de 2 série téléscopiques et tu trouves facilement non?

Merci!!
Je n'avais pas pensé à sommer, je cherchais à modifier encore l'expression. J'ai du arrêter de travailler car on a besoin de moi, je terminerai l'exercice un peu plus tard ce soir. Pour le 3 je trouve que la somme partielle est ln(1 + 1/n+1) donc la série converge.

t'as un ln(2) qui traine normalement mais c'est ça

1 - Reconnaitre l'application
x'=1/9(x-8y+4z)
y'=1/9(4x+4y+7z)
z'=1/9(-8x+y+4z)

Tu dresses la matrice et tu fais une étude normale ?
 
(+1-8+4)
(+4+4+7)*1/9
(-8+1+4)
 
sqrt(1+4²+8²)=9 et sqrt(4²+4²+7²)=9 aussi.
Donc les colonnes sont unitaires.
Les vecteurs colonnes sont orthogonaux.
etc.
 
(jsais plus l'étude de ces trucs)

C'est des trucs de sup ça ?

Ouais.
Les matrices de O(3) t'as pas fait ?

EDIT:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_orthogonale

J'étais en train de lire ça comme une fraction rationnelle
C'est chiant ces trucs

Je ne connais toujours pas la méthode. (a part ca, un moment faut faire un produit vectoriel pour connaitre le signe de theta, faut utiliser la trace aussi on a tr(f)=1+2*cos(theta) etc.
 
c'est tout ce que je sais )

Ca me rappelle mon partiel d'algèbre que j'ai failé, je connaissais rien en géométrie. On écrit la matrice de la partie affine. Ensuite comme ça appartient à O(3) les valeurs propres sont à choisir parmi 1 ou -1. Puis on cherche des bases des sous-espaces propres en recherchant des combinaison linéraires entre les colonnes et on peut conclure sur la nature et les caractéristiques géométriques de f
 

Mon exercice est indigne de ce topic, mais il fallait augmenter le capital confiance de certains taupins

Tu l'as eu à un oral de concours ?

g ca a l'oral je lui dis de me donner aut chose.

Mines, mais pas moi  

Mon capital confiance est pas resté haut très longtemps

On note A la matrice que StreloK a décrite, pour i,j entre 1 et 3, ||Ci||=1 et <Ci|Cj>=0 donc A appartient à O(3).
On va déterminer Inv(A) en prenant X vecteur colonne (x,y,z) tel que AX=X. Après calculs je trouve y=z=-2x donc Inv(A)=Vect(1,-2,-2).
On a dim(Inv(A))=1 donc A est la matrice d'une rotation d'axe Inv(A)=Vect(1,-2,-2).
Ainsi A s'écrit dans une bonne base cos(theta)  -sin(theta)   0
                                                sin(theta)   cos(theta)   0
                                                     0               0          1
On a tr(A)=2cos(theta)+1=1 donc cos(theta)=0 donc abs(theta)=Pi/2.
Pour le signe de theta, on prend x appartenant à l'orthogonal de Inv(A), par exemple x=(2,1,0) et on fait det(x,Ax,u) avec Ax=(-2/3,4/3,-5/3) et u=(1,-2,-2). On trouve un truc négatif donc sin(theta)<0. D'où theta=-Pi/2.
 
Donc sauf erreur de calcul on trouve la matrice d'une rotation d'axe Vect(1,-2,-2) et d'angle -Pi/2