En utilisant |.|² sur C, j'ai dénombré les (x,y) de (Z/pZ)^2 tels que x^2 + y^2 =d pour tout d.

Pour p=2, 2 couples.
pour tout autre p, le multiple de 4 le plus proche. (pour d=1 comme pour tout d dans ]0,p[)

Je vois le rapport avec |.|² mais après pour passer de C à Z/pZ ?

|.|² est un morphisme de monoïde entre { x+iy : x,y \in Z/pZ} (pas tout à fait C, ni inclus dans C) et (Z/pZ, x).
C'est également un morphisme de groupe entre { x+iy : x,y \in Z/pZ}-{ x+iy : x,y \in Z/pZ et x²+y²=0} et (Z/pZ*, x).
Son image est un sous groupe de Z/pZ*, de cardinal strictement supérieur à (p-1)/2 (il contient les carrés donc >=(p-1)/2, il contient 1 et les carrés+1 donc au moins un non-carré), donc égal à p-1 car son cardinal divise p-1.
Par les propriétés des morphismes de groupe,  le cardinal des ensembles antécédents sont les mêmes. Ce que l'on cherche est donc card({ x+iy : x,y \in Z/pZ}-{ x+iy : x,y \in Z/pZ et x²+y²=0})/card (Z/pZ*, x).
card({ x+iy : x,y \in Z/pZ}-{ x+iy : x,y \in Z/pZ et x²+y²=0})= p² -card({ x+iy : x,y \in Z/pZ et x²+y²=0})
card({ x+iy : x,y \in Z/pZ et x²+y²=0})= 1+2(p-1) ou 1 suivant si (-1) est un carré ou pas donc suivant si (-1)^(p-1)/2 = 0.

Au fait, pourquoi tu n'étais pas au meeting?

Il fallait que je débute une matière pour un examen le 4.

1/On résout l'equa diff (on pose h(x)=f'(x)+af(x) variation de la constante etc.) et on s'occupe de la limite.

2/On pose f=g'+bg
Donc f'+af=g''+(a+b)g'+abg
On prend donc b tq a+b=1 et ab=1 (on arrive à b²-b+1=0)
Ce b existe et on a même Re(b)>0 et Re(1/b)=Re(a)>0. (c'est exp(ipi/3))
On a lim(f'+af)=0 (car lim(g''+g'+g)=0), donc d'après le 1/ on a lim(f)=0, cad lim(g'+bg)=0 on applique de nouveau 1/ donc lim(g)=0.

 
soit eps>0
tu prend A suffisamment grand pour que |f'+af|<eps*Re(a)
tu poses g = f*exp(at)
g' = (f'+af)*exp(at)
pour x>A g(x) = g(A) + int(g'(t),t=A..x)
|g(x)| <= |g(A)| + eps*Re(a)*int(exp(Re(a)*t),t=x..A)
d'où |f(x)| <= [ |g(A)| - eps*exp(Re(a)*A) ]*exp(-Re(a)*t) +eps
donc pour x suffisament grand |f(x)|<eps
 
ça revient un peu au même je crois même tu parles pas d'équadiff en faite vu que je trouve toujours ça bancale de résoudre f'+af=h avec h = f'+af    

l'image contient les kId+Nilpotente grâce à la série entière du log, puis s'en servir via une décomposition adéquate.

on a en posant u=-ln(1-x) :
I=int_0^1 x dx/ln(1-x)=-int_0^inf (1-exp(-u))exp(-u)du/u
=-lim{r->0}(int_r^inf exp(-u)du/u-int_2r^inf exp(-u)du/u)
=-lim{r->0}int_r^2r exp(-u)du/u
 
int_r^2r exp(-u)du/u est la moyenne de exp(-u) avec le 'poids' du/u,
elle est donc comprise entre exp(-r) et exp(-2r).
Lorsque r->0 : I=-ln 2.

Propriété : Pour tout u non nul dans V A(u)=V (A(x) est défini par {Mx : M \in A}), car A(u) est un espace stable par tous les éléments de A et contient u.
 
Supposons qu'il existe a de rang 1 dans A. a a pour image I. Posons E=ensemble des éléments de A ayant pour image I. L'intersection de tous les noyaux des éléments de E est {0} ( la multiplication à droite de a par une application envoyant x sur un élément du complémentaire du noyau de a prouve que x n'appartient pas à cette intersection.)
E est donc de dimension n (en y rajoutant la fonction nulle) et contient donc tout les éléments de L(V) ayant pour image I. AE contient donc tous les endomorphismes de rang 1 d'après la propriété, donc A contient tout car E inclus dans A.

Je voulais dire que vect (E) est de dimension n. Démonstration :
 
Tu prends une famille génératrice. Si elle a strictement moins de n (=dim V) éléments, l'intersection de leurs noyaux est de dimension >0 (plus précisément, au moins n-card(famille_génératrice) ), car elles sont de rang 1. La dimension est donc supérieure à n.
Hors, l'ensemble des matrices ayant l'image incluse dans une droite vectorielle est de dim n. La dimension est donc n.

Montrons qu'il existe dans A une application linéaire de rang 1.
 
Prenons c dans A de rang minimum >0. Si c est de rang 1, c'est bon.
Sinon, c est de rang au moins 2 et donc on peut prendre u non nul dans im(c) et v dans V tel que c(v) n'est pas dans vect(u). D'après la propriété, il existe d dans A tel que d(u)=v.
cdc a son image dans celle de c et son noyau contient celui de c. On peut donc comme c les voir comme une application linéaire entre un supplémentaire de Ker c et Im c.
On peut définir sur l'espace de ces applications linéaires l'application déterminant comme sur les matrices carrées. det(c) est non nul, donc le polynôme P(X)=det(cdc-Xc) est non constant et admet donc une racine t (on est dans C). cdc-tc est non nulle (en l'antécédent de u par c, grâce aux définitions de d et u), de rang inférieur à celui de c et dans A. CQFD.