Reprise du message précédent :

On note A la matrice que StreloK a décrite, pour i,j entre 1 et 3, ||Ci||=1 et <Ci|Cj>=0 donc A appartient à O(3).
On va déterminer Inv(A) en prenant X vecteur colonne (x,y,z) tel que AX=X. Après calculs je trouve y=z=-2x donc Inv(A)=Vect(1,-2,-2).
On a dim(Inv(A))=1 donc A est la matrice d'une rotation d'axe Inv(A)=Vect(1,-2,-2).
Ainsi A s'écrit dans une bonne base cos(theta)  -sin(theta)   0
                                                sin(theta)   cos(theta)   0
                                                     0               0          1
On a tr(A)=2cos(theta)+1=1 donc cos(theta)=0 donc abs(theta)=Pi/2.
Pour le signe de theta, on prend x appartenant à l'orthogonal de Inv(A), par exemple x=(2,1,0) et on fait det(x,Ax,u) avec Ax=(-2/3,4/3,-5/3) et u=(1,-2,-2). On trouve un truc négatif donc sin(theta)<0. D'où theta=-Pi/2.
 
Donc sauf erreur de calcul on trouve la matrice d'une rotation d'axe Vect(1,-2,-2) et d'angle -Pi/2

Il manque juste l'orientation de l'axe  

Dire qu'un endomorphisme est injectif, c'est toujours la même que dire qu'il est surjectif non ? (Comme espace de départ = espace d'arrivée, et on peut pour conclure que c'est un automorphisme si on a l'un des deux?)

en dimension finie oui, en dimension infinie non

Qu'est ce qui change en dimension infinie ?

Exercice:
 
Montrer que en dimension fini:
 
1)Injectivité
2)Surjectivité
3)Bijectivité
 
sont équivalents.

Bah c'est faux

Il voulait sans doute un contre exemple.
 
Mais de toute façon si dans la preuve t'utilise fortement le caractère fini des ensembles tu te doutes que (même si on aurait peut être pu trouver une preuve sans) ca va être difficile en dim infinie.

Par exemple, sur {polynômes réels}, l'application P-> XP est injective mais pas surjective ;
l'application P-> P' est surjective mais pas injective.

J'ai essayé de la refaire mais je ne comprends pas pourquoi on doit passer le sev F. Pour la partie injective j'aurais juste écrit:
0=a1.e1+a2.e2+a3.e3 => a1=a2=a3=0 et à vrai dire dans la deuxième partie je ne comprends pas non plus pourquoi tu fais intervenir la famille libre.

Après, ça doit aussi être parce que y a un truc de fond que je comprends pas, ça m'a toujours bloqué de montrer la surjectivité. J'ai le graphique dans ma tête de ce que signifie la surjectivité, mais comment dire, je ne sais pas vraiment quelles propriétés on peut tirer en disant qu'une application est surjective et du coup je ne sais pas comment commencer les démonstrations.

Par exemple quand on vous dit: une suite est croissante, montrer tel truc, vous vous appuyé sur le faire que u_{n+1} > u_{n}, mais moi quand on me dit l'application est surjective, montrer tel truc, je ne sais quels éléments (ou propriétés) la surjective m'apporte, je sais pas de quoi je pars en fait d'un point de vue des calculs.

En écrivant ça je viens d'avoir une lumière
Comme c'est surjectif, le ker est censé ne pas être réduit qu'à {0} mais tu as prouvé que c'était le cas c'est bien ça ?!
Donc là, la propriété en question sur laquelle fallait s'appuyer c'est que le ker n'est pas réduit à {0} pour une application surjective ?

La surjectivité ca te dit juste que pour tout élément de l'arrivé tu peux trouver un antécédent.
 
Pour une application surjective t'en sais rien si le ker est réduit à 0 ou pas.
Mais ouais pour les applications linéaire ker réduit à 0 c'est équivalent à injectif.
Donc si il suppose surjectif et arrive à ker=0 il arrive à l'injectivité.

Mais si t'en sais rien de si ker est réduit à zéro ou pas, comment tu supposes la surjectivité ?  
J'arrive pas à comprendre ce qui suppose que l'application est surjective dans ce qu'il a écrit.

La surjectivité ca n'a rien a voir avec le ker.
Si une application est surjective alors comme dit plus haut l'ensemble d'arrivé est totalement atteint (chaque élément de l'ensemble d'arrivé a au moins un antécédent). (et donc Im(f)=ensemble d'arrivé)
Quand il dit que {f(e1),f(e2),f(e3)} engendre E ????

En effet l'image d'une famille génératrice de E par f est une famille génératrice de F ssi f est surjective.

On le voit rapidement dans le sens qui nous intéresse.
Soit x€E alors x=b1*e1+b2*e2+b3*e3 on applique f: f(x)=b1*f(e1)+b2*f(e2)+b3*f(e3) or f(x)€Im(f)=E donc...

Aaaah d'accord    
Desolé, je le comprenais pas comme ça sans les parenthèses, je pensais que f était un coefficient
Effectivement tout s'explique du coup! Merci pour votre aide

 
Ça se fait pas en une ligne avec le théorème du rang ?  

Oui.

J'ai pas eu à utiliser ce théorème depuis si longtemps que l'avais presque oublié.

Je viens de tomber sur un petit exercice de TD qui me pose des problèmes. L'énoncé dit:

Pour le non fermée, j'ai dit que la suite (1/n;0) converge vers (0,0) qui n'est pas dans l'ensemble. Par contre pour le côté non ouvert je crois qu'il y a quelque chose que je n'ai pas compris.

Dans le cours ils disent qu'un ensemble est ouvert si pour tout point x de l'ensemble il existe un rayon r tel que B(x,r) soit contenue dans l'ensemble. Moi j'ai dit que l'ensemble est une demi-droite et que par nature il ne pouvait pas contenir de boule Mais dans le corrigé ils disent :

J'aimerais être sûr de bien comprendre. Il ne peut pas être inclus à cause du ]-beta, beta[ sur lequel varie y mais y=0 dans l'ensemble c'est bien ça ? Donc ça revient à dire mon histoire sur la boule non ?

Ensuite le corrigé dit que l'intérieur est vide mais je pensais qu'un point de l'ensemble faisait partie de l'intérieur

Merci pour votre aide!

Bien sûr, tous les théorèmes se résolvent en une ligne en invoquant le théorème idoine. Cependant, ça aide rarement à comprendre ce qu'on fait
L truc avec le non ouvert ça explicite de manière précise ce que tu soupçonne, à savoir qu'une demi droite ne contient par de boule.

Pour l'intérieur, exactement pareil : si x est dans l'intérieur de E, il existe une boule [contenant x] de rayon non nul dans E mais tu as vu que c'était pas possible.

Pour mémoire : l'intérieur de E c'est la réunion des ouverts inclus dans E (donc c'est une partie de E), la fermeture de E c'est l'intersection des fermés contenant E (donc ça contient E).

Merci

Une question d'algèbre que j'aime bien
 
Soit E un K-ev où K est un corps infini. Montrer que E n'est pas la réunion d'un nombre fini de sous-espaces stricts.

EDIT: Grilled.

Question un poil plus générale :
Trouver à partir de quel cardinal E est la réunion de cette quantité de sous-espaces stricts, en fonction de E et du cardinal du corps.

Soit ||.|| norme euclidienne de R^n.
 
Soit A € Mn(R) telle que pour tout X € R^n, ||t(A)X||<=||AX||
 
Montrer A commute avec t(A) (transposée de A).
 
Première question d'un oral des mines mais j'arrive pas

J'ai eu ça au CCP  

MP** LLG.

 
Je voulais la poser après    
 
A noter que la question que tu poses est valable pour K fini et K infini (la cardinalité étant comprise au sens large).

Personne ne rédige de corrigé ?

Hint :

Hint2 :

En fait il y a beaucoup plus simple que mes indices précédents.

 
Effectivement    

J'étais arrivé à là mais j'avais pas pensé à la trace. Je me fais vieux.  

euh.

Il est monstrueux sur ce coup  

Un problème pris dans le bon sens est toujours simple

J'arrive pas à montrer que B= t(A)A-At(A) est positive. Ça doit être le seul moment où l'hypothèse avec l'inégalité sert mais je vois pas