Reprise du message précédent :

 
Et ?    
 
D'ailleurs il faudrait B continue

Si B est continue, mon argument marche. (Il nous donne AB=Id.)

 
OK  

System va encore dire qu'il les a fait en cours, mais voila mes exos de colle
Soit E un K-ev de dim n > 0.
Montrer que pour tout (x1,...,xn)€E^n.
f un endomorphisme de E.
Somme de j=1 à n de det(x1,...,x(j-1),f(xj),x(j+1),...xn) = tr(f)*det(x1,...,xn)
 
et le deuxième qu'est trivial.
Soit A l'ensemble des suites réelles bornées et f endomorphisme de A tel que f(u) = (u_(n+1)-u_n).
Déterminer les espaces propres.

On a pas encore commencé l'algèbre

Montrer que tout fermé de R est l'ensemble des points de continuité d'une fonction de R dans R. (pas trop dur )

Pas compris le truc en gras J'étais parti sur formes n-linéaires alternées = Vect(det) perso

C'est un théorème de mon cours

N_j=M*(e1,...,e{j-1},cj,e{j+1},...,en) pardon.  
Les ei forment la base canonique de R^n.
(e1,...,e{j-1},cj,e{j+1},...,en) est une matrice (séquence de vecteurs colonnes).
M*(e1,...,e{j-1},cj,e{j+1},...,en) est un produit de deux matrices.

Soit E un ensemble, montrer que E infini <=> pour tout f : E -> E, il existe une partie stable autre que E et l'ensemble vide.

Il est sympa

Soit P € R[X] et A={x € R, P(x) = exp(x)}

Mq A est finie.

Ça marche, on arrive même à majorer le nombre de zéros par 1+degré de P.

Lol jme rappelle je l'avais eu en kholle y a genre 2 ans, comme quoi la mémoire c'est puissant

n € N*

A = {1,..n}

f:A->A

Mq f permutation circulaire <=> pour toute partie X non vide de A,( f(X) = X ) => X = A

Par exemple, n=4, f(x)=x+2 mod 4, X={1,3} ?

 
Par permutation circulaire j'implique qu'aucun élément ne doit être inchangé par f, (sinon on prend X={p} si f(p) = p )

Ben f(1)=3 et f(3)=1 non ?

hmm

Non, f(2)=2+2=0 modulo 4
Le fourbe, il a édité

Ce n'est pas une permutation circulaire :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation_circulaire

ok

Colle de la semaine
 
Soit E un C-ev de dimension finie et u un endomorphisme
Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
1. u est diagonalisable
2. Tout sous espace vectoriel de E admet un supplémentaire stable par u
3. Tout sous espace vectoriel stable par u de E admet un supplémentaire stable par u
 
Soit M une matrice réelle antidiagonale (0 partout sauf sur la diagonale allant de en haut à droite à en bas à gauche).
A quelles conditions sur (a1,..an) les éléments de la diagonale M est elle diagonalisable dans R ? dans C ?

Exo de mon TD ( quand je l'ai vu ) :

Existe t-il une série entière de rayon de convergence infini de somme S telle que pour tout p € N, S(p) >= (p!!!)^(p!!!!!) ?

Soit (un) tq pour p,q€IN u_(p+q)=<u_p+u_q

Mq (un/n) CV vers inf{un/n} si (un/n) est minorée.
Mq sinon elle diverge vers -oo

Ma kholle  
 
Soit tn le nombre d'involution de {1,...,n} dans {1,...,n}.  
 
Soit f(x)=sum((tn/n!)*x^n,0..infinity)
Déterminer tn a l'aide de f (trouver sur quel interval la somme a un sens etc...)

Ptain j'ai eu le même aujourd'hui en kholle

 
La série de Taylor (en 0) de la fonction exp^48(o) (puissance 48 pour la composition)

J'ai pas compris comment utiliser f perso
Perso, j'ai juste calculé t_n en disant que avec a_0=1 et a_k le nombre d'involution de {1,...,k} qui ne possède aucun point fixe. On remarque facilement que a_{2p+1}=0 et a_{2p}=(2p)!/((2^p)*p!). Après j'sais pas si c'est simplifiable

T'obtiens que t_{n+1} = t_n + n t_{n-1}

donc t'obtiens que f vérifie une équa diff assez simple puis tu trouves la solution toussa

C'est comme les nombres de catalan (l'un des trucs que j'ai eu à lix ).

Colle de la semaine que j'ai fail à mort
 
Soit (E,||.||) un espace normé.
Soit K un compact de E. On suppose qu'il existe f: K -> K continue vérifiant pour tout (x,y), ||f(x)-f(y)||>= ||x-y||. Montrer qu'il y a en réalité tout le temps égalité dans l'inégalité.

C'est chaud ?

Pas vraiment, faut juste introduire les bons trucs et ça passe tout seul