Reprise du message précédent :
Je cherche les fonctions dérivables de R dans R telles que :
f'(x)+f(-x)=exp(x)
Est-ce qu'il y a moyen de faire l'exercice sans supposer que f est deux fois dérivable ?
 
Pareil pour l'équation : f'(x)=f(pi-x)

f'(x)=exp(x)-f(-x) donc f est deux fois dérivable

   
 
Même genre de raisonnement pour l'autre donc

Oui. Attention : tu raisonnes par conditions nécessaires, il faut ensuite vérifier (au moins dire que tu as vérifié ).

Si elle existe elle est deux fois dérivable, on la trouve et on constate qu'elle est deux fois dérivable (car dérivable autant de fois que l'on veut, comme dirait  ExerK )

Donc c'est infiniment dérivable en fait ?
 
Genre f''(x)=exp(x)+f'(-x) et exp et f' sont dérivables
f(x)^(3)=exp(x)-f''(-x) et exp et f'' sont dérivables
etc...
Donc par récurrence immédiate f est infiniment dérivable ?

Ouais
En même temps ça ne sert pas à grand chose de le savoir, on peut résoudre l'équation différentielle

f''(x)-f'(-x)=exp(x)
f'(x)+f(-x)=exp(x)
Donc f'(-x)+f(x)=exp(-x)
 
Donc f''(x)+f(x)=exp(x)+exp(-x)
 
C'est ça l'exo en fait ? Genre une eq diff ?

Petit exo de sup
 
Soit f de [0,1] dans IR continue tq f(0)=f(1)
 
mq que pour tout n€IN il existe xn€[0,1] tq f(xn+1/(n+1))=f(xn)
 
Indice

stp te moque pas on est pas en mp** chez moi  

Ouais, il est marrant celui là

Non en fait c'est parce que j'avais lu x_(n+1) au lieu de x_n + 1

 
J'attends ta réponse  

Moi aussi au début, du coup je comprenais pas trop.  

no shit  

Soit K un compact de [0,1]x[0,1]
 
Pour x € [0,1], on pose I(x) = {y € [0,1], (x,y) € K}  
On suppose que pour tout x, I(x) est un segment.
 
Montrer qu'il existe x € [0,1] tq x € I(x).

Segment non vide ?

 
C'est toujours non vide un segment non ?  

Soit n un entier naturel impair. Donner le nombre de polynomes de R[X] vérifiant :
- X^n -1 divise P^2 -X
- deg(P)<n

2^n ?

Salut,

J'aurais besoin d’éclaircissements sur un exemple de cours

La famille (u, v) est libre, ok pour ça. Mais après on nous dit que c'est une base de S (a, b) et c'est là que je pige plus trop. En fait, je suis d'accord avec ça,  à partir du moment où c'est libre on en déduit que c'est une base, mais je crois que ce qui me bloque c'est que j'ai du mal à piger pourquoi* u_n et v_n sont des éléments de S (a, b). Si quelqu'un pouvait m'expliquer..

L'an dernier, on bossait quasiment que sur des sev et c'était des sev de R^n, alors les espaces de fonctions et de suites c'est pas trop mon fort...

C'est pas uniquement parce que c'est libre que c'est une base
Y a aussi la dimension (2 via l'isomorphisme).

a et b ne sont absolument pas des éléments de S(a,b)...
S(a,b) a pour éléments des suites vérifiant une relation de récurrence.

EDIT: Correction effectuée.
Ben on te dit que (un) et (vn) sont 2 éléments de S(a,b) y a rien a comprendre.

J'ai édité
Je voulais dire u_n et v_n.

Voir edit.

 
Je croyais qu'il fallait être capable de le déduire de leur définition et de celle de S (a, b)

Ben non, mais quand tu dis définis une suite qui suit une relation de récurrence à 2 niveau tu dois forcément définir le rang 0 et 1 sinon t'as pas de rang 2.

Merci pour ton aide!

Exo de colle cette semaine    :
 
Soit E un Banach séparable (il possède une partie dénombrable dense).
Soit A un endomorphisme continu de E.  
On dit qu'un élément x de E est hypercylique si {A^n (x), n € N} est dense dans E.
On note HC(A) l'ensemble des éléments hypercycliques de E.
 
1) Montrer que HC(A) est soit vide soit dense.
 
2) Montrer que HC(A) est une intersection dénombrable d'ouverts.
 
3) On suppose qu'il existe X,Y parties denses dans E et une application B:E->E tels que :
 
Pour tout x € X, A^n(x) -> 0
Pour tout y € Y, B^n(y) -> 0
Pour tout y € Y, AB(y)=y
 
Montrer que HC(A) est non vide.

C'est illisible ton truc
 
Relance avec un problème

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Mais comme ça tu rentres ça dans ton éditeur latex et c'est très clair!!§§!  

 
Mais en fait il faut (AB)^n (y) = A^n B^n (y) mais je vois pas pourquoi c'est vrai

{y|AB(y)=y} est un fermé dense.

 
Et ?    
 
D'ailleurs il faudrait B continue