Reprise du message précédent :

Le terme général cay k*(1/2)^k
 

1) trivial
2) x = 0 1 00 01 11 000 001 010 011 100 110 111 etc
3) Faut que je réfléchisse un peu

Non mais d'abord tu calcule la somme, après tu remplaces par x_n

Putain t'as trouvé direct la 2) ?

Ah ouais, c'est tout de suite plus simple

Suffit juste de remarquer que s décale la suite d'un rang donc s^n décale de n rang
 
3) Soit I_0={0,1} (les points fixes de f)
On définit les I_n tels que I_{n+1}={x€[0,1] / f^n(x) n'appartient pas à I_0}
I_1=]0,1/2[ U ]1/2,1[
I_2=]0,1/4[ U ]1/4,1/2[ U ]1/2,3/4[ U ]3/4,1[
etc
On remarque donc que I_n = ]0,1[\{k/(2^n), 0<k<2^n}
On a I_{n+1} inclus dans I_n, l'intersection des I_n pour n > 0 est donc non vide, puisqu'il contient 1/3 par exemple
 
Soit t: x -> t(x)  
Avec t(x)=u_n la suite dans A telle que u_n=1 si f^n(x) € ]1/2,1] et u_n=0 sinon.
Montrons que t est bijective, soit u_n € A
On note I_{n,u_n}=I_n inter {y€[0,1], f^n(y)€[0,1/2]} si u_n=0 et I_{n,u_n}=I_n inter I_n inter {y€[0,1], f^n(y)€]1/2,1]} sinon.
Les I_{n,u_n} sont des unions d'ouverts de type ]a,b[, on définit J_{n,u_n} comme les  I_{n,u_n} mais avec [a/2,b/2] à la place dans les unions
Soit {x}=intersection des J_{n,u_n} (théorème des fermés emboités)
On a t(x)=u_n par construction, et l'injectivité est claire vu la construction qu'on vient de faire.
on remarque que t o f = s o t, donc t o f^n = s^n o t donc en prenant y tel que t(y)=x avec le x du 2) on a ce qu'il faut
 
 
Y'avait eu un truc du genre dans un de mes ADS l'année dernière, ça parlait d'ensemble de cantor, j'avais trouvé ça cool

T'es un génie en fait

oula

A quelle condition sur a réel la suite u(n+1)=f(un) avec f(x)=x+a mod 1 est-elle périodique ?

Trivial.

 
C'est plus que trivial.

édité

 
Dense dans quoi ?
 
Si a est irrationnel, elle est dense dans l'intervalle réel [0,1].  
 
Si a est rationnel, cette suite "arithmétique modulo 1" est finie.

Mon exo de colle, l'est facile
On dit qu'un anneau est noethérien ssi toute suite croissante d'idéal pour l'inclusion est stationnaire.
Montrer que Z et K[X] sont noethériens.

Mes exos de kholle de cette semaine :
 
Exo 1 : Trouver tous les sous groupes compacts de (C*, x)
 
Exo 2 : E banach, a € K (=R ou C),|a| < 1
 
x_0, x_1 € E et x_{n+2} = x_{n+1} + a^n x_n
 
Montrer que (xn) converge.

oula

Ouais, toujours le coup de la division euclidienne

La 1.
Soit G un tel groupe, s'il existe x tel que |x| > 1 alors G n'est pas borné, donc pas compact.
Donc pour tout x € G, |x| <= 1, s'il existe x tel que |x| < 1 alors G n'est pas fermé (x^n -> 0), donc pas compact.
S'il existe x tel que x = exp(i*2Pi*a) avec a irrationnel alors gr(x) est dense dans le cercle unité donc G aussi.
Sinon G est de la forme racine n-ième de l'unité.
La réciproque est claire.
 
J'vais réfléchir un peu après ma série pour la 2.
 
 
 
 
Ouais c'était trivial, mais j'ai passé 20 minutes après sur le truc classique de f nilpotente d'indice p, montrer qu'il existe x tel que x,f(x),...,f^{p-1}(x) libre

Non, par exemple pour a=Pi.

Corrigé

Mais en fait si G est dense dans U, G=U

Un jeu d'enfant vos exos,...  
 
La prépa ce n'est plus ce que c'était...

Euh ouais, vu que G est fermé, j'ai oublié de remarquer
 
Sinon pour la 2., on a x_{n+p}-x_{n+1} = somme de k=0 à p-2 de x_{n+k+2}-x_{n+k+1}= somme de k=0 à p-2 de a^{n+k}*x_n
Il suffit donc de montrer que (|x_n|) est borné pour avoir la convergence, vu que E est complet.
EDIT : Erreur de calcul

Effectivement la difficulté c'est de montrer que (xn) est bornée

Ma colle du jour, H un hyperplan de M_n(K), montrer que H contient une matrice inversible.

Classique

Vu que je procrastine le reste, je m'y colle :

Il manque le cas ou a est inversible
 
Sinon, soit f définie de M_n(K) dans K telle que pour tout (A,B)€M_n(K), f(AB)=f(A)f(B) et non constante. Déterminer f^-1({0}).

Aucun suspens dans ce genre d'exo.  

Dans ce cas le bloc inférieur est nul

On suppose que tout polynome complexe non constant est une application ouverte.
Montrer que C est algébriquement clos.

Je ne pense pas que ça soit ce que tu attends...

Soient x et y C1 sur un intervalle I, telles que x''+rx=0, y''+sy=0 où r(t)<=s(t) sur I (x et y non nulles).
On suppose que x(t) s'annule aux bords de I.

Prouver que x et y sont proportionnelles, ou bien que y s'annule à l'intérieur de I.

Tiens je l'avais eu en colle celui là.
Ou alors un qui y ressemblait fortement.

C'est vraiment pas mal comme résultat

Soit G un groupe, soit phi : G -> G un automorphisme involutif admettant uniquement e (élément neutre de G) comme point fixe. Montrer que G est abélien.
 
Quelqu'un aurait une indication à donner, j'ai toujours rien trouvé de bien pertinant

C'est faux. (groupe libre engendré par 2 éléments, phi inversant les 2 éléments)
 
Il manque une hypothèse ?

T'es assez grand pour la trouver non?

Oui, désolé, j'ai oublié le involutif en recopiant

Mon application est une involution.

T'as oublié "fini" aussi. Ça devient vrai.
2 indices (exo 12)

Soit Q appartenant a Rn[x]
1) Montrer qu'il existe un unique P avec P appartenant a Rn[x] tel que P-P'=Q
2) Mq si Q>=0 alors P>=0
3) Exprimer P en fonction de Q et de ses dérivées.