Reprise du message précédent :

u_{n+1}/u_n=sin(1/sqrt(n+1))*sqrt(n+1)=1-1/(6n)+o(1/n) donc la série ne converge pas non ?

Le kholleur m'a dit de montrer après que  
 
u_(n+1)/u_n=1/(1+a/n+O(1/n^2)) => u_n équivalent b/n^a

 
Puisque personne ne se prononce...je me lance
 

 
Cela me semble assez simple, par la méthode des coefficients indéterminés.
On obtient un système «triangulaire» dont la résolution ne nécessite que des opérations arithmétiques.
 
C'est évident sur un exemple, disons  n=4. On cherche  Q,R sous la forme
 

 
Le carré de Q s'écrit  
 

 
où les trois petits points désignent des termes d'ordre au plus 3. Les coefficients de  x^i, i >= 4, donnent progressivement  q_3,...,q_0. Les termes de degré moindre fixent les coefficients de R.
 
En général, si  
 

 
Le coefficient de  x^(n+u), u=0,...,n-1 dans  Q^2 vaut  
 

 
où les trois petits points dépendent de la parité de  u et de  n mais ne font intervenir que des  q_v avec  v>u.
 
Ils permettent donc de déterminer les q progressivement, de  q_{n-1} à  q_0, à l'aide de ceux de  P. Les coefficients restants de  Q^2 sont alors connus et on ajuste  R pour obtenir  P=Q^2+R avec des équations de la forme  
 
r_i + connu = 0
 
Ce qui précède me semble même établir l'unicité des polynômes  Q,R relatif à un polynôme  P donné.
 

C'était évident à priori :
Q²+R=Q'²+R' ->(Q-Q')(Q+Q')=R'-R
où deg(Q)=deq(Q')=n
donc deg(Q+Q')=n (coefficient dominant positif)
et deg(R'-R)<n, donc Q-Q'=0 et R-R'=0

Pour 5/2 :
1) Soit g(t,x) une application réelle vérifiant les hypothèses de Cauchy Lipschitz ou pas.
Montrer que si l'application C1 x vérifie |x'| < g(t,|x|) alors |x|<=r pour t>t0, où r est la solution du problème de Cauchy r'=g(t,r) ; r(t0)=|x(t0)|.

2) Soit phi une fonction continue vérifiant phi(t)<=f(t)+int(g*phi,0,t), avec f et g continues positives. Montrer que phi(t)<=int(exp(int(g,.,t))*g*f,0,t).

 
 j'avais cela aussi en tête mais ce que je voulais dire c'est que l'unicité se constate durant la construction que je propose.
 
Fallait en proposer une, solution, hein

EDIT :
En fait non, mais j'avais envie de faire chier qqun

 
Faut pas me faire chier avec de la pipologie
 
EDIT : Tu as trouvé que ça ??

Mon exo de colle
 
Calculer la somme des séries de terme général 1/(n(n+p)), 1/(n(n+1/2)), 1/(n(n+1/4)) et 1/(Somme de k=0 à n de k^2).

bon, il faut s'y coller

Soit a > 0, suite u_n, définie pour n>=1 par u_1 > 0 et u_{n+1}=[((-1)^{n+1})/(n^a)]*Somme de p = 1 à n des u_p.
Nature de la série de terme général u_n ?
 
Soit u_n une suite à termes positifs. On définit la suite v_n par v_n = (1/n)*Somme de k=n à 2n-1 des u_k.
Montrer que série des u_n et série des v_n sont de même nature.

 
Bon indication pour le premier exo

C'est dégueulasse

Non, la somme s_n vérifie en fait s_{n+1}=(1+[((-1)^{n+1})/(n^a)])*s_n.
Il suffit d'étudier la convergence du produit de (1+[((-1)^{n+1})/(n^a)]).
 
edit : ai changé "-" par "+".

Ah ouais effectivement

Soit.
 
Soit (G, .) un groupe dénombrable. L'ensemble de ses sous groupes est-il dénombrable ?

ok

Salut !  
 
J’ai un exo sur les séries de Taylor, et je n’y comprends à vrai dire rien.  
 
Je dois d’abord donner la série de Taylor autour de 2 de f(x)=1/x (x !=0).  
J’ai trouvé : Somme (de 0 à + infini) (((-1)^n) (x-2)^n)/(2^(n+1))  
 
Ecrit autrement :  
(-1)^n (x-2)^n  
______________  
2^(n+1)  
 
J’ai trouvé comme rayon de convergence R =2 et comme intervalle de convergence ]0,4[.  
 
C’est là que ça coince : on considère le polynôme de Taylor de degré n autour de 2 de la fonction f (toujours la même). Je dois utiliser l’analyse de taylor (késako ?) pour trouver une borne supérieure de l’erreur d’approximation de f par le polynôme de Taylor de degré n, dans un intervalle quelconque.  
 
J’ai commencé par penser à l’inégalité de Taylor : |f(n+1)(x)|=(n+1) !/|x|^n+2 <= M  
Sauf que je ne sais pas quoi en faire.
 
Et une dernière question : Il faut trouver un intervalle qui permet de dire que la série trouvée est égale à f.
 
Si quelqu'un pouvait m'aider sur ces deux questions, je sèche vraiment. J'ai essayé de demander à une aide en maths de ma fac, mais je n'ai rien compris à ce qu'elle m'a baragouiné (je n'ai pas insisté plus après avoir passé 5 min à lui faire comprendre que l'énoncé précisait l'utilisation de Taylor et non du test de l'intégrale).
 
Merci d'avance  

Tu peux facilement calculer la valeur de la série.

 
Pourtant l'énoncé commence par  
 

Salut, je dois montrer que le signe de l'expression en dessous dépend du signe de (nh-x):

Sachant que : - n ∈ lN*
                     - x ∈ lR tel que n>-x
                     - h ∈ ]-1;+∞[

A part avec le binome de Newton je ne vois pas comment faire et ça me semble pas être la bonne méthode.

Edit: Retrait de l'équivalence.

récurrence
 
Je comprend pas ta question

Remplace équivalent, par égal.
Il veut trouver le signe de l'expression de gauche, qui est égale à celle de droite.

Mon exo de colle sur l'arithémtique/algèbre général si quelqu'un veut s'entrainer
 
Soit G un groupe abélien fini.
Soit a et b respectivement d'ordres m et n.
1. Montrer que si pgcd(m,n)=1 alors ab est d'ordre mn.
2. Montrer qu'il existe un élément d'ordre ppcm(m,n).
3. Montrer qu'il existe une élément d'ordre le ppcm des ordres des éléments de G.
 
4. Soit K un corps commutatif, soit G un sous groupe fini de (K*,x), montrer que G est cyclique.

Mon exo de kholle :

Pn(x) = x +...+x^n

On note u_n l'unique réel de R+ vérifiant Pn(u_n) = 1.

Développement asymptotique de u_n ?

 
1/2 + o(1) Faut aller jusqu'à quel ordre ?

Je suis allé un ordre au dessus

Oui

Un indice ?
J'ai essayé d'évaluer u_n+1 - u_n pour ensuite faire un théorème de sommation des équivalents, mais pas réussi

u_n = 1/2(1-x_n)
Ecrire la relation vérifiée par x_n et (stûûce) passer au ln

Hum P_n(u_n)=1 donc Somme de k=1 à n de (1+k*x_n)*(1/2)^k + o(x_n) = 1.
Donc x_n*Somme de k=1 à n de k*(1/2)^k + o(x_n)=(1/2)^{n+1}.
En passant au ln, j'ai que ln(x_n)+ln(somme)=-(n+1)ln(2)
Mais je vois pas comment évaluer la somme
 
 
Sinon ma colle de today
Soit x €]0,1[
Montrer qu'il existe une unique manière d'écrire x comme somme de n=1 à l'infini de 1/(q_1*q_2*...*q_n) avec (q_n) une suite croissante d'entiers supérieurs à 2.

On l'a fait en cours ton exo

Non mais la somme c'est une somme geométrique hein

Mon exo de colle d'aujourd'hui (avec la major d'ulm en 2008   )

A l'ensemble des suites à valeurs dans {0,1}

On pose pour u,v € A d(u,v) = 1/2^p

avec p= min(k, u_k différent de v_k)

1) Montrer que d est une distance sur A

2) s l'application de A dans A définie par s(u) = v avec v la suite tq v_n = u_{n+1}

Montrer qu'il existe x € A tel que {s^n(x), n€ N} soit dense dans A.

3) f:[0,1]->[0,1] définie par f(x) = 2x (mod 1)

Montrer qu'il existe x € [0,1] tq {f^n(x), n€N} soit dense dans [0,1]

Le terme général cay k*(1/2)^k
 

1) trivial
2) x = 0 1 00 01 11 000 001 010 011 100 110 111 etc
3) Faut que je réfléchisse un peu