Reprise du message précédent :

Parce qu'on peut définir un ouvert sur un espace non métrique ? M'enfin, ouais, j'ai compris que c'était parce qu'on définissait les fermés à partir des ouverts

Tiens lis ça : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espac [...] es_ouverts

C'est une définition.
Il y a des topologies non métriques.
Exemple trivial : la topologie sur X intervalle de R pour laquelle les ouverts sont X et vide. Si x et y sont dans X, un seul ouvert contient x et y, ce qui n'est pas possible dans un espace métrique.

Ah euh ouais d'accord, j'avais pas vu ça comme ça pour définir des ouverts Merci

death je te sens chaud pour la 5/2 là

Ouais, j'vais essayer de faire un peu de maths tous les jours

 
Fais plutôt du français

Faudrait que je sache la liste des bouquins à lire que j'aille les acheter d'abord, c'est pas gagné

Pfff les prépas et leurs espaces métriques...

Bon allez il est temps de s'y remettre
 
Oral mines 2011
 
E ev euclidien, u € L(E) sym défini positif, v € E, non nul.
 
f(x) = (u(x)|x)/2 - (v|x)
 
f admet t-elle un maximum ? Un minimum ? Si oui les déterminer

f:[a,b]->[a,b] dérivable telle que pour tout x |f'(x)| < 1
 
c € [a,b]
u_0 = c et u_(n+1) = f(u_n)
 
On montre qu'il existe un unique l tq f(l) = l.
 
On suppose que pour tout n, u_n différent de l
 
Montrer que u_n tend vers l.

TAC pour montrer qu'elle est contractante + Point fixe.
(Cela dit, tu peux juste faire TAC + récurrence, mais ça ressemblera bcp à la première partie de la démo du point fixe)

EDIT : J'ai dit de la merde au début, elle peut ne pas être contractante.
Mais la sol non barrée marche quand même (par contre, ça ressemblera pas tant que ça au point fixe, c'est plus compliqué).

Tu poses Vn=|Un-l|, tu montres que Vn converge (car décroissante par TAC), tu montres par l'absurde qu'elle peut pas converger vers autre chose que 0.

 
Facile à dire    
 
 
 
C'est beau, mais j'ai rien compris  

Supposons que |Un-l| converge vers a>0.
Alors on a deux cas (trois en fait, mais les deux premiers c'est le même ) :
1)Un converge vers l2 = l+a (ou l-a).
2)Un diverge et admet deux valeurs d'adhérence : l+a et l-a (et pour n suffisamment grand, Un est dans des voisinages aussi proches qu'on veut de l+a ou l-a)

1) l2 est point fixe différent de l et l'absurdité se montra par TAC.

2) Par l'absurde (de l'absurde dans de l'absurde, lolz ) et en utilisant le truc en gras plus haut (et ptete la continuité, j'ai pas fait ça proprement, mais ça se fait sans problème), f(l+a)=l-a et f(l-a)=l+a
(en gros, si tu supposes que f prends des valeurs qcqs différentes ces deux là, ça foire parce que qqsoit n, Un peut sortir des voisinages ou elle est censé rester, et la continuité de f ne permet pas ça, par que sinon ça lui fait un autre valeur d'adhérence que celles possibles).
Contradiction encore avec le TAC appliqué à [l-a,l+a]

Je pense que ça marche, mais c'est p-e pas la solution attendue

J'ai simplifié (et corrigé ) ma solution : cf edit.

 
Ouais c'est plus clair    
 
Mais pour le 2e cas au lieu de faire avec les termes pairs et impairs et fof il suffit de dire comme Dracs que (u_n) admet une valeur d'adhérence différente de l et donc un point fixe différent de l ce qui est impossible non ?  

Le problème, c'est qu'une valeur d'adhérence de u n'est pas forcement un point fixe de f.

 
 
 
Je précise juste que j'ai pas dit ça dans ma démo (d'ailleurs, le 2ème cas, c'est justement le cas ou les valeurs d'adhérence ne sont pas des points fixe).

 
Ah effectivement    
 

Soient z1,...,zn € C tels que la suite
u_p = (z1)^p +...+(zn)^p converge.

Montrer que pour tout i, zi € B(0,1)u{1}

Il suffit de le montrer pour z_1=1, |z_2|=|z_3|=...=|z_n|=1 (*)
 
Posons {v_1,v_2,...,v_k}={z_1,z_2,...,z_n} où les v_i sont tous distincts et v_1=1. Supposons par l'absurde k>1.
 
Soit M_p=

 
|det M_p|=|(Le déterminant de van der monde des v_i)*(produit des v_i^{p+1})| est constant non nul.
Or la convergence de (z2)^p +...+(zn)^p vers l implique que somme(\lambda_i u_i^p, i=1..k)->0, avec l'un des \lambda_i non nul.
On arrive alors à trouver N inversible tel que det(M_p*N)-> 0. Le module est censé rester constant, contradiction.
 
(*) s'ils sont tous de module <=1 c'est bon, on enlève ceux de module <1 et on rajoute 1, sinon on divise par l'un d'entre eux de module maximal, ça va converger vers 0.

 
 
L'idée est de procéder par récurrence. Le cas de base étant trivial, je passe à l'induction.
 
Avant toute chose, voici une remarque qui pourrait servir plusieurs fois. On note  u la limite de la somme des puissances des z_i.
 
Si u # 0 alors un des z_i vaut 1.
 
Voici pourquoi. Formons le polynôme unitaire P dont les  z_j sont les zéros :  
 

 
On a  
 

 
Donc, si u n'est pas nul, c'est que 1 annule P. D'où la remarque.
 
Par récurrence, si un des z_i vaut 1, ou est de module strictement plus petit que 1, alors les autres vérifient la propriété annoncée. Par conséquent, nous pouvons supposer que u est nul et que les |z_i| > ou = 1 pour tout  i.
 
Voici alors ma seconde remarque.
 
On peut supposer que |z_i|=1 pour tout i.
 
En effet, supposons, par exemple, |z_n|>1. Supposons de plus que z_k=...=z_n pour un  0<k<n, les autres  z étant différents de z_n.  
 
Alors  
 

 
D'après la remarque, on a donc z_i=z_n pour un i<k, ce qui est absurde.
 
Voilà, nous sommes donc ramenés au cas où les z sont sur le cercle unité, distincts de 1 et où la limite considérée est nulle.
 
Juste une observation : si |z|=1, alors si la suite p -> z^p n'est pas périodique, son image est dense dans le cercle unité.
 
 
@ VictorVVV :
 
 - Pour (*), quand on a divisé par un  z de plus grand module, on a une info sur les quotients z_i/z_j. Pas sur les z_i. A clarifier...  
 
 - En fait, on peut éviter de passer par le déterminant de Vandermonde, à condition d'utiliser le fait que les :  
 

 
engendrent l'algèbre des polynômes symétriques en les x_j
 
En particulier, il existe un polynôme (nul en l'origine)  P tels que  
 

 
D'après cela,  
 

 
ce qui contredit le fait que les z sont de module 1.
 
le raisonnement fonctionne si on  sait seulement que le module des  z est >= 1, à condition de savoir que si aucun z ne vaut 1 la limite de la somme de leurs puissances  p-èmes est nulle, comme je l'ai prouvé plus haut.

J'ai démontré au début que pour tout z_1,z_2,...,z_n tel que z_1=1, |z_2|=...=|z_n|=1, alors z_1^p+...+z_n^p converge => z_1=z_2=...=z_n=1  
Je pense que tu es capable de te rendre compte tout seul que n*x^p converge ssi x=1 ou |x|<1.  
 

 
 A mourir de rire
 
Faut être rigoureux. Surtout un ULM.

 
Je ne suis pas certain car si on est obligé de passer au quotient par un z de module maximum, alors on a des renseignements sur les quotients, desquels on déduit des choses du genre
|z_i| =< |z_j|
 
sans pour autant conclure que |z_i| =< 1.
 
Ou alors, je n'ai pas bien saisi la démarche...

Si on divise par z_max, on obtient des z'_i. On supprime ceux de module <1, on obtient des z"_i. On applique mon théorème à ces derniers, ça tend vers nombre de z"_i qui est supérieur strict à 0, contradiction.

Soit n € N*
 
Soit P € Z[X], unitaire de degré 2n.
 
Montrer qu'il existe Q € Q[X] au coefficient dominant positif et R € Q[x] de degré inférieur à n-1 tels que P = Q² + R.

 
désolé mais il n'est pas clair du tout ton raisonnement...

 
Trivial

Ben écrit le si c'est trivial

J'allais le dire

Nature de la série de terme général  
 
u_n=sqrt(n!)*sin(x)*sin(x/sqrt(2))*...*sin(x/sqrt(n))

Faux.

x>0 d'ailleurs (omission de ma part).

 
Euh

J'ai montré que c'était un o(sqrt(n!)), mais la flemme d'en faire plus

Je suis d'accord que sin(x/sqrt(n)) équivalent x/sqrt(n), donc sin(x/sqrt(n-1)) équivalent à x/sqrt(n-1) etc...
Mais sin(x) c'est pas équivalent à x par exemple

Ma démarche (je l'ai eu en kholle cet aprem)

Critère de D'alembert.
Ca coince pour x=1
Il faut donc utiliser un critère plus fort dans ce cas.

u_{n+1}/u_n=sin(1/sqrt(n+1))*sqrt(n+1)=1-1/(6n)+o(1/n) donc la série ne converge pas non ?