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Auteur Sujet :

Fil maths terminale/sup

n°3426434
VictorVVV
Citation personnelle
Posté le 09-07-2011 à 22:07:28  profilanswer
 

Reprise du message précédent :

System211 a écrit :

Soit P € C[X] non constant.
 
Soit U un ouvert de C. P(U) est-il ouvert ?


J'avais une démo avec de l'analyse complexe, mais j'en ai trouvée une autre.
 

Spoiler :

Sans perte de généralité, on peut prendre P unitaire.
 
Soit a dans U. On veut trouver un voisinage de P(a) dans P(U).
P(x)-P(a)=(x-a)^k(x-z1)^k1...(x-zn)^kn
Pour tout b, P(x)=b admet des racines. On voudrait prouver que si b est proche de P(a), l'une d'entre elles est proche de a.
 
Prenons r>0 tel que la seule racine de P(x)-P(a) sur B(a,2r) soit a et que B(a,r) soit inclus dans U.
Soit m=inf{d(P(x),P(a)) : |x-a|=r}>0. Soit b dans B(P(a), m/2). Par l'absurde, supposons que pour tout x dans B(a,r), P(x)<>b.
 
1/|P(x)-b| est continue sur la boule fermée de centre a et de rayon r, elle y atteint donc son maximum en c. Par construction, il n'est pas atteint sur le bord.
Si on fait un DL de 1/(P(x)-b) en c, on obtient que ce n'est pas un maximum pour |1/(P(x)-b)|. Contradiction, CQFD.


Message édité par VictorVVV le 09-07-2011 à 22:08:21

---------------
Signature des messages
mood
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Posté le 09-07-2011 à 22:07:28  profilanswer
 

n°3437224
Profil sup​primé
Posté le 15-07-2011 à 16:50:23  answer
 


 
On peut commencer par resoudre le cas des applications strictement croissantes: dans ce cas c'est clairement 0 si n<p et sinon c'est p parmi n (car pour avoir une appli strict. croissante de Ip dans In il suffit de choisir les p images et l'appli est completement specifiee).
 
Maintenant pour les applis croisantes:
 
Soit phi l'application qui, a une application croissante f de Ip dans In, associe l'application g de Ip dans I_(n+p-1) telle que g(k)=f(k)+k-1. Alors on voit facilement que g est strictement croissante, donc phi est a valeurs dans les applis strict. croissantes de Ip dans I_(n+p-1), et par ailleurs il est facile de verifier que phi est une bijection.
 
La reponse est donc p parmi n+p-1.

n°3439491
death4578
Zotto Mola
Posté le 17-07-2011 à 09:35:32  profilanswer
 

Nature de la série de terme général s(n)/(n^4) ou s est une permutation de IN

Message cité 2 fois

---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
n°3439521
System211
Posté le 17-07-2011 à 11:07:26  profilanswer
 

death4578 a écrit :

Nature de la série de terme général s(n)/(n^4) ou s est une permutation de IN

 

Convergente.

Message cité 1 fois
n°3439528
death4578
Zotto Mola
Posté le 17-07-2011 à 11:13:10  profilanswer
 

System211 a écrit :


 
Convergente.


Faut le démontrer alors, si t'y arrives :whistle:

Message cité 1 fois

---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
n°3439531
System211
Posté le 17-07-2011 à 11:18:50  profilanswer
 

death4578 a écrit :


Faut le démontrer alors, si t'y arrives :whistle:


 
Non ça peut diverger en fait, l'inverse serait trop dur à montrer [:botman]

Message cité 1 fois
Message édité par System211 le 17-07-2011 à 11:22:35
n°3439532
death4578
Zotto Mola
Posté le 17-07-2011 à 11:22:46  profilanswer
 

System211 a écrit :


 
Non ça diverge en fait, l'inverse serait trop dur à montrer [:botman]


Mais si tu prend s = id, ça converge :o Donc faut donner un contre exemple pour montrer que ça peut diverger aussi :o


---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
n°3439846
Profil sup​primé
Posté le 17-07-2011 à 16:06:34  answer
 

death4578 a écrit :

Nature de la série de terme général s(n)/(n^4) ou s est une permutation de IN

Spoiler :


On prend s(n)=n⁴ si n est pair, et s(n)=min(IN\{s(k),k<n}) si n est impair. Si n est pair, s(n)/n⁴=1 donc :sum: s(n)/n⁴=\infty.

Message cité 1 fois
n°3439876
death4578
Zotto Mola
Posté le 17-07-2011 à 16:31:14  profilanswer
 


:jap:

Spoiler :

On peut aussi prendre s tel que pour nombre premier p, s échange p et p^4 :o


---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
n°3439888
Profil sup​primé
Posté le 17-07-2011 à 16:36:29  answer
 

Même question avec s(n)/n² au lieu de s(n)/n⁴ :o

mood
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Posté le 17-07-2011 à 16:36:29  profilanswer
 

n°3439925
death4578
Zotto Mola
Posté le 17-07-2011 à 16:54:58  profilanswer
 

J'l'avais déja mis y'a quelques pages je crois :o
http://mathurl.com/5w6xqqa.png
La suite des sommes partielles n'est pas une suite de cauchy, donc elle converge pas :o


---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
n°3439952
Profil sup​primé
Posté le 17-07-2011 à 17:12:32  answer
 

Soit u un endomorphisme continu d'un espace de Banach.
Montrer que Sp(u):={x de C/ u-xI n'est pas inversible} est un compact (partir de : si E est un Banach, GLc(E) est ouvert :o).

Message cité 3 fois
n°3440070
VictorVVV
Citation personnelle
Posté le 17-07-2011 à 18:48:55  profilanswer
 


Avec l'indication c'est trivial.

Message cité 1 fois

---------------
Signature des messages
n°3440127
Profil sup​primé
Posté le 17-07-2011 à 19:43:02  answer
 

VictorVVV a écrit :


Avec l'indication c'est trivial.

Sans l'indication aussi...

n°3445653
death4578
Zotto Mola
Posté le 20-07-2011 à 10:11:33  profilanswer
 


Si Sp(u) est fini, c'est trivial :o
Sinon, il est de cardinal infini, Soit P(X) = det(u-X*Id) qui possède donc une infinité de racines, donc c'est le polynôme nul, donc Sp(u)=K, donc faudrait montrer que K est un compact ce qui me parait bizarre, mais je vois pas où est mon erreur non plus [:transparency] Le déterminant est défini qu'en dimension finie p'tet ? [:transparency]

Message cité 1 fois

---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
n°3445706
System211
Posté le 20-07-2011 à 10:33:36  profilanswer
 

death4578 a écrit :


Si Sp(u) est fini, c'est trivial :o
Sinon, il est de cardinal infini, Soit P(X) = det(u-X*Id) qui possède donc une infinité de racines, donc c'est le polynôme nul, donc Sp(u)=K, donc faudrait montrer que K est un compact ce qui me parait bizarre, mais je vois pas où est mon erreur non plus [:transparency] Le déterminant est défini qu'en dimension finie p'tet ? [:transparency]


 
Heu comment tu définis le déterminant en dimension infinie ?  [:system211:1]

Message cité 3 fois
n°3446085
death4578
Zotto Mola
Posté le 20-07-2011 à 13:03:47  profilanswer
 

System211 a écrit :


 
Heu comment tu définis le déterminant en dimension infinie ?  [:system211:1]


J'en sais rien [:djmb]


---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
n°3446112
Heisenberg​54
Posté le 20-07-2011 à 13:17:12  profilanswer
 

System211 a écrit :


 
Heu comment tu définis le déterminant en dimension infinie ?  [:system211:1]


 
Tu prends le déterminant en dimension n et tu fais tendre n vers +oo :o

Message cité 1 fois
n°3446132
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 13:25:48  answer
 


Spoiler :

Pour montrer que l'ensemble est borné, je pense que tu peux utiliser la déf de la continuité (en 0) pour montrer par l'absurde que les valeurs propres de u sont majorés en module :o
(Si on suppose qu'il existe des vp aussi grandes qu'on veut en module, alors on peut rendre |f(x)-0|=|λ|*|x-0| aussi grand qu'on veut pour |x-0| < ε fixé).

 

Pour montrer qu'il est fermé : l'ensemble M = {u-xI tq x€Sp(u)} = {u-xI tq x€C} ∩ Complémentaire de GLc(E), donc est un fermé de {u-xI tq x€C}, donc par image réciproque (f: x -> u-x*I est continue), Sp(u) est un fermé de C.


Enfin je pense [:poutrella]
Mais c'est vrai que c'est pas infaisable. :o

Message cité 1 fois
Message édité par Profil supprimé le 20-07-2011 à 13:28:23
n°3446136
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 13:26:51  answer
 

System211 a écrit :


 
Heu comment tu définis le déterminant en dimension infinie ?  [:system211:1]


 

Heisenberg54 a écrit :


 
Tu prends le déterminant en dimension n et tu fais tendre n vers +oo :o


 
+1
Vous avez pas vu les formes infini-linéaires ? [:s@ms:2]

n°3446399
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 14:53:10  answer
 


Ta solution ne marche pas, tu parles de valeurs propres là :o

Message cité 1 fois
n°3446419
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 15:01:18  answer
 


C'est un des trucs que je craignais (le fait que u-x*I non inversible ne soit pas équivalent à x valeur propre en dim infinie). :/
Mais j'avais la flemme de vérifier. [:tim_coucou]
Bon tant pis [:poutrella]

 

EDIT :
J'arrive pas à interpréter simplement la non inversibilité en dim infinie (à part en me disant que c'est soit non injectif, soit non surjectif). :/
J'ai pas trop fait d'algèbre en dim infini en même temps (encore moins récemment)...
Considérer des VP revient à considérant le cas non-injectif j'ai l'impression, ptete que c'est possible de faire ça en deux parties en considérant les x ou u-x*I est non injectif, et ceux ou il est non surjectif...

 

Enfin, je dis p-e de la merde [:transparency]


Message édité par Profil supprimé le 20-07-2011 à 15:22:30
n°3446529
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 15:32:08  answer
 

Je propose

Spoiler :

Il s'agit de montrer que si |z| est assez grand, u-zI est inversible.
Or (u-zI)⁻¹=-1/z*(I-u/z)⁻¹=-1/z*(I+u/z+(u/z)²+(u/z)³+...) existe dès que |z|>||u||, car comme E est complet, Lc(E,E) est complet et convergence normale => convergence.

Message cité 2 fois
Message édité par Profil supprimé le 20-07-2011 à 16:09:32
n°3447596
Jbfactor
Posté le 20-07-2011 à 20:48:52  profilanswer
 

 

Dire que GL(E) est ouvert, c'est un bon début. Maintenant, il faut faire le rapprochement avec le spectre de u.

 

Pour ça, tu remarques que Sp(u) n'est autre que le complémentaire de f^-1(GL(E)) où f : x |-> x.Id-u. f est continue car u l'est, donc....

 

Je te laisse réfléchir au caractère bornée. Pour cette partie, il faut faire un peu plus de calculs pour le caractère fermé.

 

T'est en 3/2 ?

Message cité 1 fois
n°3447610
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 20:53:44  answer
 


Bien vu :o
C'est ce genre de raisonnement en dim infinie que j'ai pas l'habitude de chercher [:tinostar]

Jbfactor a écrit :


Dire que GL(E) est ouvert, c'est un bon début. Maintenant, il faut faire le rapprochement avec le spectre de u.
Pour ça, tu remarques que Sp(u) n'est autre que le complémentaire de f^-1(GL(E)) où f : x |-> x.Id-u. f est continue car u l'est, donc....
Je te laisse réfléchir au caractère bornée. Pour cette partie, il faut faire un peu plus de calculs pour le caractère fermé.
T'est en 3/2 ?


La suite de la démo (Sp(u) fermé) a été déjà été faite plus haut (enfin je pense pas m'être trompé sur cette partie [:transparency]) :D
Et mookid est à l'X. :o

 

Par contre, je vois pas pourquoi tu dis qu'il faut que u soit continue pour que f le soit, si u ne l'était pas, f:x -> u-x*Id serait quand même continue. [:transparency]

Message cité 1 fois
Message édité par Profil supprimé le 20-07-2011 à 20:55:37
n°3447620
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 20:57:38  answer
 


On utilise ce genre d'astuces un bon nombre de fois, en particulier pour montrer que GLc(E) est ouvert. En fait on cache l'utilisation de la complétude par l'utilisation de séries normalement convergentes, c'est plus propre (cf preuve de la complétude de Lp, lp et ses potes :o) mais ça fait un peu boîte noire.

Message cité 1 fois
n°3447655
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 21:12:42  answer
 


Un peu comme quand on prend l'habitude d'étudier l'absolue convergence au lieu de la convergence pour les suites dans R ou C, j'imagine :jap:

 

Mais t'es tombé là-dessus dans un cours de l'X ? (tain, ça me manque la topo  [:spdm:5] )
Sinon si t'as un lien vers les démos dont tu parles (complétude de Lp, GLc(E) ouvert), je veux bien voir :jap:

Message cité 1 fois
Message édité par Profil supprimé le 20-07-2011 à 21:22:13
n°3447694
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 21:25:47  answer
 


Ouais, en fait la convergence "absolue" c'est un truc moins trivial que ce qu'on voit en prépa. Dans un evn, il y a équivalence entre "être complet" (=espace de Banach) et "toute série normalement convergente est convergente".
Du coup, au lieu d'étudier des suites de Cauchy (relou :o) on étudie des séries.

 

Par exemple la preuve de la complétude de L^1 donne, en gros :

Citation :

Soit u_n une suite de L^1, telle que :sum: :int: |u_n|<infini.
D'après les théorèmes de Fubini et Tonelli, :sum: u_n est mesurable et :int: | :sum: u_n|<= :int: :sum: |u_n| = :sum: :int: |u_n| < infini donc :sum: u_n est dans L^1.

Ben on ne parle plus du tout de suites de Cauchy.

 

Bon dès qu'on sort de gentils espaces complets, ça tombe en miettes (genre R[T] muni de n'importe quelle norme, il est jamais complet celui là :o).

Message cité 2 fois
Message édité par Profil supprimé le 20-07-2011 à 21:26:11
n°3447706
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 21:29:56  answer
 


 
On avait un peu fait ça en taupe nous. :o  
(Mais je sais plus si on avait fait les deux sens de l'équivalence [:transparency] )

Message cité 1 fois
n°3447742
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 21:41:58  answer
 


Il n'y a pas de grande idée dans la démo, mais l'un des sens est plus technique à écrire.
 
Le sens : complet => (convergence normale => convergence) est facile.
Dans l'autre sens, si v(n) est de Cauchy, alors il existe n(1) tel que ||v(n(1))-v(0)||<1/2, n(2) tel que ||v(n(2))-v(n(1))||<1/4, ...
Alors par hypothèse, v(n()) converge, donc v admet une valeur d'adhérence ; comme c'est une suite de Cauchy elle converge.

n°3447748
System211
Posté le 20-07-2011 à 21:44:06  profilanswer
 


 
Ouais d'après le théorème de Baire [:poutrella]

Message cité 1 fois
n°3447753
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 21:45:00  answer
 

System211 a écrit :


 
Ouais d'après le théorème de Baire [:poutrella]


Ouais. Exercice : le montrer avec les moyens de taupe :o

Message cité 1 fois
n°3447760
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 21:48:29  answer
 


On l'avait eu en DM. :o  
Mais je sais pas si je saurais le refaire de but en blanc. [:transparency] (je pense, mais je galèrerais un moment [:tinostar] )

Message cité 1 fois
n°3447780
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 21:54:49  answer
 


Spoiler :


Plus généralement tu montres que si un evn a une base dénombrable (e1, ...) alors il n'est pas complet).


Spoiler :


en fait ça tient en une ligne :
 
:sum: ek/(2^k*||ek||) est normalement convergente.
De plus la projection pi sur Vect(ei) parallèlement à Vect(tous les ek sanf ei) est constante à partir d'un certain rang (et continue car 1 lipschitzienne).
Si la série était convergente, alors pi(limite) serait non nul pour tous les indices i, ce qui montre qu'on sort de l'espace en question.
 

Message cité 1 fois
n°3447786
VictorVVV
Citation personnelle
Posté le 20-07-2011 à 21:58:19  profilanswer
 


Faux, pi n'est pas forcément continue.

Message cité 1 fois

---------------
Signature des messages
n°3447790
Profil sup​primé
Posté le 20-07-2011 à 21:59:35  answer
 

VictorVVV a écrit :


Faux, pi n'est pas forcément continue.


Merde :whistle:

n°3447824
VictorVVV
Citation personnelle
Posté le 20-07-2011 à 22:09:57  profilanswer
 

J'ai fait une démonstration ici : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=395550#p395550


---------------
Signature des messages
n°3448295
bogoss91
Posté le 21-07-2011 à 01:16:42  profilanswer
 

Tain, à la base je kiffe tout ça, mais depuis que je suis en école j'ai tellement pas envie d'y réfléchir...  [:tim_coucou]

n°3450998
death4578
Zotto Mola
Posté le 21-07-2011 à 21:56:14  profilanswer
 

Dites, quand on parle de topologie d'un ensemble, c'est les ouverts de cet ensemble, mais pourquoi pas les fermés ? Y'a une explication ou on a choisi ça au pif ? :o

Message cité 2 fois

---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
n°3451003
bogoss91
Posté le 21-07-2011 à 21:57:22  profilanswer
 

death4578 a écrit :

Dites, quand on parle de topologie d'un ensemble, c'est les ouverts de cet ensemble, mais pourquoi pas les fermés ? Y'a une explication ou on a choisi ça au pif ? :o


C'est quoi la définition d'un fermé dans un espace non métrique? :o

Message cité 1 fois
Message édité par bogoss91 le 21-07-2011 à 21:57:40
n°3451150
death4578
Zotto Mola
Posté le 21-07-2011 à 22:30:39  profilanswer
 

bogoss91 a écrit :


C'est quoi la définition d'un fermé dans un espace non métrique? :o


Parce qu'on peut définir un ouvert sur un espace non métrique ? [:transparency] M'enfin, ouais, j'ai compris que c'était parce qu'on définissait les fermés à partir des ouverts [:strelok]

Message cité 1 fois

---------------
And finally, because brain cycles are a finite resource, there is only so much complexity we could put into the champion's actual kit--most of its complexity budget would be eaten up already by the mere fact that you're controlling two independent units.
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