Reprise du message précédent :
Montrer que : F fermé <=> Il existe une suite xn de F telle que F =  va(xn)

 
Je passe la main. Ca devient trop simple
 
 
Gato66 pourra sans doute te répondre    
 
Et puis pour aider Gato66, tu pourrai commencer par dire fermé dans quoi ? etc. ; histoire de l'aider un peu

A priori le cadre est les espaces métriques ?

 
Si c'est ça la rigueur qu'on apprend à LLG...

C'est quoi LLG ? (edit : j'ai trouvé...)

 
Rien. C'est caca

 
Des considérations statistique encore ?

Si F est un ensemble fini c'est pas trop dur !

 
Tout sous-espace d'un espace métrique séparable est séparable (alors, il n'y a même rien a prouver...).
 
On suppose qu'il existe une suite u_0,u_1,u_2,... dense dans notre espace métrique E.  
 
Considérons la suite :
 
u_0,u_0,u_1,u_0,u_1,u_2,u_0,u_1,u_2,u_3,...
 
 
Je note (v_n) cette suite. Pour tout  n € N :

 
{v_n,v_{n+1},...} = {u_0,u_1,...}
 
 
Donc, pour tout  n € N,  {v_n,v_{n+1},...} est dense.
 
---------------------------------------
(*)
 
Si on parle bien de l'ensemble des limites des sous-suites convergentes de la suite (x_n, n € N).
Dans ce cas, il faut au minimum que l'espace soit séparable sinon il constitue lui-même un contre exemple.

Wat?

Salut gyptone ,
 
j'espère avoir bien compris que tu suggères de remplacer certains termes de la suite (v_n) par... ad libitum ?
 
(de mon côté je cherchais un dénombrable dense de F à partir d'un dénombrable dense de E lorsque ce dernier existe)

 
Ce que vous voulez faire, c'est exactement ce que je fais dans la première étape de la preuve : montrer que  F possède une partie dénombrable dense (dense dans  F)
 
 
 
Pour prouver cela, on considère un fermé F d'un espace métrique séparable (voir sur wiki la déf de séparable). On commence par montrer que F est lui-même séparable : il contient une partie dense dénombrable {x_1,x_2,x_3,...}. Puis on considère la suite  (x_1,x_1,x_2,x_1,x_2,x_3,...), elle répond à la question (il faut le vérifier).
 

On s'est bien compris ; le cadre semble donc être les espaces métriques séparables et peut être même R.Je cherchais cet ensemble par trace mais sans succès.

Ya les corps.

 
Soit A anneau intègre.
 
pour tout a € A, aA est un idéal de A donc si |{aA, a €A}| est fini alors A est fini donc A est un corps non ?
 
Edit : j'ai sûrement foiré quelque part  

Salut ,
 
j'imagine que l'anneau est supposé commutatif ?

Oui c'est le nombre d'idéaux qui est fini (donc ceux de la forme aA sont aussi en nombre fini) ce qui n'empêche pas à priori qu'un au moins soit engendré par une infinité de "a".
 
Comment prouves-tu aA idéal ?

 
ouais c'est bien ce que je pensais
 
Bon j'arrive pas

 
Ben c'est immédiat que c'est un idéal non ?

Idéal à droite oui; mais bilatère...

Sinon tu n'as que aA idéal à droite.Si l'anneau est commutatif tous les idéaux à gauche sont idéaux à droite , donc bilatères, et réciproquement .Donc celui ci est bilatère puisqu'il est idéal à droite.

De même que idéal seul sous entend bilatère , idéal engendré ca sous entend anneau commutatif ; on a alors aA=Aa pour tout a.
 
Z contient 2Z qui contient 4Z qui contient 8Z et cetera.

Un petit pour la route :
 
Soit A€Mn(C) tq pour tout k entier naturel (non nul) : tr(A^k)=0
Mq A est nilpotente.

Trivial.  

On ne termine pas celui de mookid ?

je l'ai pas fait avec un Vandermonde. Mais si t'as qqch à base de Vandermonde j'suis preneur

 
 
Ma méthode était plus compliquée

Liant les Tr(A^k) avec les coeff du polynôme caractéristique ?

 
 
 
L'idée est celle-ci -- je laisse les détails « au lecteur ». On peut éventuellement triangulariser A si on veut s'en convaincre mais tr(A^k) est la somme des puissances  k-ièmes des valeurs propres de  A. Or on peut exprimer les fonctions symétriques élémentaires en x_1,...,x_n comme polynômes homogènes en les sommes de k-ièmes puissances des x_i. L'hypothèse entraîne donc que le polynôme caractéristique de A est + ou - z^n. Donc A, qui l'annule, est nilpotent.

@System211 : les (2^n)Z forment une famille infinie d'idéaux de Z (la suite étant strictement décroissante).
 
Pour a non nul les (a^n)A forment clairement une suite décroissante d'idéaux de A , a fortiori stationnaire puisque les idéaux de A sont en nombre fini ; il existe donc p tel que (a^p)A=(a^p+1)A.L'inclusion à invoquer maintenant est bien sûr celle qui n'a pas toujours lieu c'est à dire (a^p)A inclus dans (a^p+1)A ; pour tout x dans A il existe donc y dans A tel que a^px=a^(p+1)y soit a^p(x-ay)=0 ; l'anneau ayant le bon goût d'être intègre on en déduit x=ay ; en particulier si x=1 il existe y tel que 1=ay ; a est donc inversible et l'anneau est un corps.
 
Réciproquement dans un corps , qui est un anneau intègre ,les idéaux sont réduits à ceux qu'on ne peut éviter d'où le résultat.

Bon exo de début de sup:
 
Calculer le produit des z²-2zcos(2pPI/n)+1 pour p variant de 1 à n.
 
Suite au topo de gyptone sur les cardinaux :
 
Soit X un ensemble et f une application de X vers P(X).On note A l'ensemble des x tels que x n'appartienne pas à f(x).Montrer qu'il n'existe aucun x tel que A=f(x).En déduire qu'il n'existe aucune application surjective de X dans P(X) et que par suite on a : x<2^x pour tout nombre cardinal x.
(G.Cantor , vous aurez reconnu son style).

oient les fonctions  

 
telles que  
 

 
est croissante et soient des nombres positifs .  
 
Montrer que